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Exercices Physique Chimie

Lois de Newton pour la Rotation

Lois de Newton pour la Rotation - Dynamique d’un Système Poulie-Masse

Lois de Newton pour la Rotation : Dynamique d’un Système Poulie-Masse

Comprendre la Dynamique de Rotation

La dynamique de rotation étudie les causes du mouvement de rotation des objets. De la même manière que la deuxième loi de Newton (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)) régit le mouvement de translation, son analogue pour la rotation, la relation fondamentale de la dynamique de rotation (\(\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = I\vec{\alpha}\)), décrit comment les couples (ou moments de force) appliqués à un objet modifient son accélération angulaire. Cette relation implique le moment d'inertie (\(I\)) du corps, qui représente sa résistance à la rotation, et l'accélération angulaire (\(\alpha\)), qui est le taux de changement de sa vitesse angulaire. De nombreux systèmes réels, comme les moteurs, les roues, ou les systèmes poulie-masse, peuvent être analysés en combinant les lois de Newton pour la translation et la rotation.

Données de l'étude

Une poulie, assimilable à un disque plein homogène de masse \(M_p\) et de rayon \(R_p\), est montée sur un axe horizontal fixe passant par son centre O, sans frottement. Un fil inextensible et de masse négligeable est enroulé autour de la gorge de la poulie. Une masse \(m\) est suspendue à l'extrémité libre du fil. Le système est initialement au repos, puis la masse \(m\) est lâchée.

Caractéristiques du système :

  • Masse de la poulie : \(M_p = 2,0 \, \text{kg}\)
  • Rayon de la poulie : \(R_p = 0,10 \, \text{m}\)
  • Masse suspendue : \(m = 1,0 \, \text{kg}\)
  • Intensité de l'accélération de la pesanteur : \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)

Rappel : Le moment d'inertie d'un disque plein homogène de masse \(M\) et de rayon \(R\) par rapport à un axe passant par son centre et perpendiculaire à son plan est \(I = \frac{1}{2} M R^2\).

Schéma : Système poulie-masse
Poulie R_p m P_m T T' α Système poulie-masse.

Le fil est supposé ne pas glisser sur la poulie.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie \(I_p\) de la poulie par rapport à son axe de rotation.
  2. Faire le bilan des forces s'exerçant sur la masse \(m\) et appliquer la deuxième loi de Newton pour obtenir une première équation reliant l'accélération \(a\) de la masse et la tension \(T\) du fil.
  3. Faire le bilan des couples s'exerçant sur la poulie et appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation pour obtenir une deuxième équation reliant l'accélération angulaire \(\alpha\) de la poulie et la tension \(T'\) exercée par le fil sur la poulie. On admettra que \(T' = T\).
  4. Quelle est la relation entre l'accélération linéaire \(a\) de la masse et l'accélération angulaire \(\alpha\) de la poulie, si le fil ne glisse pas sur la poulie ?
  5. À partir des équations obtenues, déterminer les expressions littérales puis les valeurs numériques de :
    1. L'accélération linéaire \(a\) de la masse.
    2. L'accélération angulaire \(\alpha\) de la poulie.
    3. La tension \(T\) du fil.
  6. (Bonus) Si le système part du repos, quelle distance la masse \(m\) aura-t-elle parcourue après \(1,5 \, \text{s}\) ?

Correction : Lois de Newton pour la Rotation - Dynamique d’un Système Poulie-Masse

Question 1 : Moment d'inertie de la poulie (\(I_p\))

Principe :

La poulie est assimilée à un disque plein homogène. Son moment d'inertie par rapport à un axe passant par son centre et perpendiculaire à son plan est \(I_p = \frac{1}{2} M_p R_p^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_p = \frac{1}{2} M_p R_p^2\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Masse de la poulie : \(M_p = 2,0 \, \text{kg}\)
  • Rayon de la poulie : \(R_p = 0,10 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} I_p &= \frac{1}{2} \times (2,0 \, \text{kg}) \times (0,10 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 2,0 \times 0,0100 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &= 1,0 \times 0,0100 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &= 0,010 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment d'inertie de la poulie est \(I_p = 0,010 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Question 2 : Deuxième loi de Newton pour la masse \(m\)

Principe :

La masse \(m\) est soumise à son poids \(\vec{P}_m\) (dirigé vers le bas) et à la tension du fil \(\vec{T}\) (dirigée vers le haut). On applique la deuxième loi de Newton (\(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}\)) selon un axe vertical orienté positivement vers le bas (sens du mouvement).

Bilan des forces et application :

Forces sur \(m\) : \(\vec{P}_m\) et \(\vec{T}\).

En projection sur un axe vertical descendant :

\[P_m - T = m a\]

Avec \(P_m = mg\), on obtient :

\[mg - T = ma \quad \text{(Équation 1)}\]
Résultat Question 2 : L'application de la deuxième loi de Newton à la masse \(m\) donne l'équation : \(mg - T = ma\).

Question 3 : Relation fondamentale de la dynamique de rotation pour la poulie

Principe :

La poulie est soumise à la tension du fil \(\vec{T}'\) qui exerce un couple moteur. On néglige les frottements sur l'axe. La relation fondamentale de la dynamique de rotation est \(\sum \tau_{\text{ext}} = I_p \alpha\).

Bilan des couples et application :

Le poids de la poulie et la réaction de l'axe ne créent pas de couple par rapport à l'axe de rotation O. Le seul couple est dû à la tension \(\vec{T}'\) du fil, qui agit tangentiellement à une distance \(R_p\) de l'axe.
Le moment de la force \(\vec{T}'\) par rapport à O est \(\tau = T' R_p\). Si on considère que le fil ne glisse pas et que sa masse est négligeable, la tension est la même tout le long du fil, donc \(T' = T\).

\[T R_p = I_p \alpha \quad \text{(Équation 2)}\]
Résultat Question 3 : L'application de la relation fondamentale de la dynamique de rotation à la poulie donne : \(T R_p = I_p \alpha\).

Question 4 : Relation entre accélération linéaire et angulaire

Principe :

Si le fil ne glisse pas sur la poulie, l'accélération linéaire \(a\) d'un point du fil (et donc de la masse \(m\)) est égale à l'accélération tangentielle d'un point sur la circonférence de la poulie. Cette accélération tangentielle est liée à l'accélération angulaire \(\alpha\) par \(a = R_p \alpha\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[a = R_p \alpha \quad \text{(Équation 3)}\]
Résultat Question 4 : La relation entre les accélérations est \(a = R_p \alpha\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si une roue de rayon R roule sans glisser avec une accélération angulaire \(\alpha\), l'accélération linéaire de son centre est :

Question 5 : Détermination de \(a\), \(\alpha\), et \(T\)

Principe :

Nous avons un système de trois équations à trois inconnues (\(a\), \(\alpha\), \(T\)) :
1) \(mg - T = ma\)
2) \(T R_p = I_p \alpha\)
3) \(a = R_p \alpha\)

On peut substituer \(\alpha = a/R_p\) (de l'Éq. 3) dans l'Éq. 2 pour exprimer \(T\) en fonction de \(a\), puis substituer cette expression de \(T\) dans l'Éq. 1 pour trouver \(a\).

a) Calcul de l'accélération linéaire \(a\) :

De l'Éq. 3, \(\alpha = a/R_p\). En substituant dans l'Éq. 2 :

\[ \begin{aligned} T R_p &= I_p \left(\frac{a}{R_p}\right) \\ T &= \frac{I_p a}{R_p^2} \end{aligned} \]

Substituons cette expression de \(T\) dans l'Éq. 1 :

\[ \begin{aligned} mg - \frac{I_p a}{R_p^2} &= ma \\ mg &= ma + \frac{I_p a}{R_p^2} \\ mg &= a \left(m + \frac{I_p}{R_p^2}\right) \end{aligned} \]

D'où l'expression littérale de \(a\) :

\[a = \frac{mg}{m + \frac{I_p}{R_p^2}}\]

Calcul numérique de \(a\) :

  • \(m = 1,0 \, \text{kg}\), \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(I_p = 0,010 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\), \(R_p = 0,10 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} a &= \frac{1,0 \times 9,81}{1,0 + \frac{0,010}{(0,10)^2}} \\ &= \frac{9,81}{1,0 + \frac{0,010}{0,010}} \\ &= \frac{9,81}{1,0 + 1,0} \\ &= \frac{9,81}{2,0} \\ &= 4,905 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

Arrondi à 2 chiffres significatifs (dû à \(R_p\)) : \(a \approx 4,9 \, \text{m/s}^2\).

b) Calcul de l'accélération angulaire \(\alpha\) :

On utilise l'Éq. 3 : \(\alpha = a/R_p\).

\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{4,905 \, \text{m/s}^2}{0,10 \, \text{m}} \\ &= 49,05 \, \text{rad/s}^2 \end{aligned} \]

Arrondi : \(\alpha \approx 49 \, \text{rad/s}^2\).

c) Calcul de la tension \(T\) du fil :

On utilise l'expression \(T = \frac{I_p a}{R_p^2}\) ou \(mg - T = ma \Rightarrow T = m(g-a)\).

Avec \(T = m(g-a)\) :

\[ \begin{aligned} T &= 1,0 \, \text{kg} \times (9,81 \, \text{m/s}^2 - 4,905 \, \text{m/s}^2) \\ &= 1,0 \times 4,905 \, \text{N} \\ &= 4,905 \, \text{N} \end{aligned} \]

Arrondi : \(T \approx 4,9 \, \text{N}\).

Résultat Question 5 :
  • a) \(a = \frac{mg}{m + I_p/R_p^2} \approx 4,9 \, \text{m/s}^2\)
  • b) \(\alpha = a/R_p \approx 49 \, \text{rad/s}^2\)
  • c) \(T = m(g-a) \approx 4,9 \, \text{N}\)

Question 6 : (Bonus) Distance parcourue par la masse \(m\) après \(1,5 \, \text{s}\)

Principe :

Le mouvement de la masse \(m\) est rectiligne uniformément accéléré, partant du repos (\(v_0 = 0\)). La distance \(d\) parcourue après un temps \(\Delta t\) est donnée par \(d = v_0 \Delta t + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 \quad (\text{car } v_0 = 0)\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(a \approx 4,905 \, \text{m/s}^2\) (valeur non arrondie)
  • \(\Delta t = 1,5 \, \text{s}\)
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{2} \times (4,905 \, \text{m/s}^2) \times (1,5 \, \text{s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 4,905 \times 2,25 \, \text{m} \\ &\approx 5,518 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondi à 2 chiffres significatifs : \(d \approx 5,5 \, \text{m}\).

Résultat Question 6 : La masse \(m\) aura parcouru environ \(5,5 \, \text{m}\) après \(1,5 \, \text{s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si une poulie a un moment d'inertie plus grand (tout le reste étant égal), l'accélération linéaire de la masse suspendue sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La relation fondamentale de la dynamique de rotation énonce que le couple net est égal à :

8. Pour un fil enroulé sur une poulie de rayon \(R_p\) qui ne glisse pas, la relation entre l'accélération linéaire \(a\) du fil et l'accélération angulaire \(\alpha\) de la poulie est :

9. Si la masse \(m\) suspendue à la poulie était plus grande, la tension \(T\) dans le fil (pendant l'accélération) :

Glossaire

Dynamique de rotation
Étude des causes du mouvement de rotation des objets, impliquant les couples et les moments d'inertie.
Poulie
Roue avec une gorge sur sa circonférence, utilisée pour transmettre un mouvement ou une force par l'intermédiaire d'un fil ou d'une courroie.
Moment d'inertie (\(I\))
Mesure de la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation. Unité : \(\text{kg} \cdot \text{m}^2\).
Couple (ou Moment de force) (\(\tau\))
Action tendant à provoquer une rotation. Unité : \(\text{N} \cdot \text{m}\).
Accélération angulaire (\(\alpha\))
Taux de variation de la vitesse angulaire. Unité : \(\text{rad/s}^2\).
Accélération linéaire (\(a\))
Taux de variation de la vitesse linéaire. Unité : \(\text{m/s}^2\).
Tension (\(T\))
Force transmise à travers un fil, une corde, une chaîne, etc., lorsqu'il est tiré par des forces agissant à partir des extrémités opposées. Unité : Newton (N).
Deuxième loi de Newton (pour la translation)
\(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}\).
Relation fondamentale de la dynamique de rotation
\(\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = I\vec{\alpha}\).
Fil inextensible
Fil dont la longueur ne varie pas sous l'effet des tensions qu'il subit.
Masse négligeable
Masse si petite qu'elle peut être ignorée dans les calculs sans affecter significativement le résultat.
Lois de Newton pour la Rotation - Exercice d'Application (Niveau Université)

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