Lancement d'une fusée artisanale

Une fusée artisanale (ou micro-fusée) est un petit projectile propulsé par un moteur à propergol solide. Nous allons étudier de manière simplifiée les premières phases de son lancement vertical.

Données du Problème

Une fusée artisanale est lancée verticalement depuis le sol.

Masse totale de la fusée (avec moteur avant combustion) : \(m = 100 \, \text{g}\)
Poussée moyenne du moteur : \(F_p = 5,0 \, \text{N}\) (supposée constante)
Durée de combustion du moteur (phase de propulsion) : \(\Delta t_p = 2,0 \, \text{s}\)
Intensité de la pesanteur : \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)
On négligera la variation de masse de la fusée due à la combustion du propergol et les frottements de l'air pendant la phase de propulsion pour simplifier les premiers calculs. La fusée est lancée depuis une altitude initiale \(h_0 = 0 \, \text{m}\) avec une vitesse initiale \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\).

Forces agissant sur la fusée pendant la phase de propulsion (poussée \(\vec{F}_p\) et poids \(\vec{P}\)).

Simulateur de Lancement de Fusée

Temps: 0.00 s

Altitude: 0.0 m

Vitesse: 0.0 m/s

Phase: Prêt

Questions

Convertir la masse de la fusée en kilogrammes.
Calculer la valeur du poids \(P\) de la fusée.
Pendant la phase de propulsion, déterminer la valeur de la force résultante \(F_{res}\) s'exerçant verticalement sur la fusée.
En utilisant le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton, \( \sum \vec{F} = m\vec{a} \)), calculer l'accélération \(a\) de la fusée pendant la phase de propulsion.
Calculer la vitesse \(v_f\) de la fusée à la fin de la phase de propulsion (à \(t = \Delta t_p\)).
Calculer l'altitude \(h_p\) atteinte par la fusée à la fin de la phase de propulsion.
Calculer l'énergie cinétique \(E_{c,f}\) de la fusée à la fin de la phase de propulsion.
Après l'extinction du moteur, la fusée continue sa montée en "vol libre" (on néglige toujours les frottements de l'air). En utilisant le principe de conservation de l'énergie mécanique, calculer l'altitude supplémentaire \(\Delta h_{libre}\) que la fusée va atteindre à partir de la fin de la phase de propulsion jusqu'à son apogée (point où sa vitesse s'annule).
Quelle est l'altitude maximale totale \(H_{max}\) atteinte par la fusée ?

Correction : Lancement d’une fusée artisanale

1. Conversion de la Masse

La masse est donnée en grammes (g). Il faut la convertir en kilogrammes (kg) pour les calculs en physique. \(1 \, \text{kg} = 1000 \, \text{g}\).

Données pour cette étape

Masse \(m = 100 \, \text{g}\)

Calcul

\begin{aligned} m &= 100 \, \text{g} \\ &= 100 \times 10^{-3} \, \text{kg} \\ &= 0,100 \, \text{kg} \end{aligned}

Résultat

La masse de la fusée est \(m = 0,100 \, \text{kg}\).

2. Calcul du Poids \(P\) de la Fusée

Le poids \(P\) est la force exercée par la Terre sur la fusée. Il se calcule avec \(P = m \times g\).

Données pour cette étape

Masse \(m = 0,100 \, \text{kg}\) (calculée à l'étape 1)
Intensité de la pesanteur \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)

Calcul

\begin{aligned} P &= m \times g \\ &= 0,100 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg} \\ &= 0,98 \, \text{N} \end{aligned}

Résultat

Le poids de la fusée est \(P = 0,98 \, \text{N}\).

3. Force Résultante \(F_{res}\) pendant la Propulsion

Pendant la propulsion, deux forces verticales s'exercent sur la fusée : la poussée du moteur \(\vec{F}_p\) (vers le haut) et le poids \(\vec{P}\) (vers le bas). La force résultante est la somme vectorielle de ces forces. En projection sur un axe vertical orienté vers le haut : \(F_{res} = F_p - P\).

Données pour cette étape

Poussée du moteur \(F_p = 5,0 \, \text{N}\)
Poids de la fusée \(P = 0,98 \, \text{N}\) (calculé à l'étape 2)

Calcul

\begin{aligned} F_{res} &= F_p - P \\ &= 5,0 \, \text{N} - 0,98 \, \text{N} \\ &= 4,02 \, \text{N} \end{aligned}

Résultat

La force résultante s'exerçant sur la fusée pendant la propulsion est \(F_{res} = 4,02 \, \text{N}\) (dirigée vers le haut).

4. Accélération \(a\) pendant la Propulsion

D'après la deuxième loi de Newton, la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse par son accélération : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\). En projection sur un axe vertical orienté vers le haut, \(F_{res} = m \times a\). Donc, \(a = \frac{F_{res}}{m}\).

Données pour cette étape

Force résultante \(F_{res} = 4,02 \, \text{N}\) (calculée à l'étape 3)
Masse \(m = 0,100 \, \text{kg}\)

Calcul

\begin{aligned} a &= \frac{F_{res}}{m} \\ &= \frac{4,02 \, \text{N}}{0,100 \, \text{kg}} \\ &= 40,2 \, \text{m/s}^2 \end{aligned}

Résultat

L'accélération de la fusée pendant la propulsion est \(a = 40,2 \, \text{m/s}^2\).

5. Vitesse \(v_f\) en Fin de Propulsion

Le mouvement est rectiligne uniformément varié (accélération constante). La vitesse \(v(t)\) à un instant \(t\) est donnée par \(v(t) = v_0 + a \times t\). Ici, la vitesse initiale \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\). On cherche la vitesse \(v_f\) à la fin de la propulsion, c'est-à-dire à \(t = \Delta t_p\).

Données pour cette étape

Accélération \(a = 40,2 \, \text{m/s}^2\) (calculée à l'étape 4)
Durée de propulsion \(\Delta t_p = 2,0 \, \text{s}\)
Vitesse initiale \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)

Calcul

\begin{aligned} v_f &= v_0 + a \times \Delta t_p \\ &= 0 \, \text{m/s} + (40,2 \, \text{m/s}^2 \times 2,0 \, \text{s}) \\ &= 80,4 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat

La vitesse de la fusée à la fin de la phase de propulsion est \(v_f = 80,4 \, \text{m/s}\).

6. Altitude \(h_p\) Atteinte en Fin de Propulsion

Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, l'altitude \(h(t)\) à un instant \(t\) est donnée par \(h(t) = h_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\). Ici, \(h_0 = 0 \, \text{m}\) et \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\). On cherche \(h_p\) à \(t = \Delta t_p\).

Données pour cette étape

Accélération \(a = 40,2 \, \text{m/s}^2\)
Durée de propulsion \(\Delta t_p = 2,0 \, \text{s}\)
Altitude initiale \(h_0 = 0 \, \text{m}\)
Vitesse initiale \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)

Calcul

\begin{aligned} h_p &= h_0 + v_0 \Delta t_p + \frac{1}{2} a (\Delta t_p)^2 \\ &= 0 + (0 \times 2,0) + \frac{1}{2} \times 40,2 \, \text{m/s}^2 \times (2,0 \, \text{s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 40,2 \times 4,0 \\ &= 80,4 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

L'altitude atteinte par la fusée à la fin de la phase de propulsion est \(h_p = 80,4 \, \text{m}\).

7. Énergie Cinétique \(E_{c,f}\) en Fin de Propulsion

L'énergie cinétique est donnée par \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\).

Données pour cette étape

Masse \(m = 0,100 \, \text{kg}\)
Vitesse en fin de propulsion \(v_f = 80,4 \, \text{m/s}\) (calculée à l'étape 5)

Calcul

\begin{aligned} E_{c,f} &= \frac{1}{2} m v_f^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0,100 \, \text{kg} \times (80,4 \, \text{m/s})^2 \\ &= 0,050 \times 6464,16 \\ &\approx 323,208 \, \text{J} \end{aligned}

Résultat

L'énergie cinétique de la fusée à la fin de la propulsion est \(E_{c,f} \approx 323,2 \, \text{J}\).

8. Altitude Supplémentaire \(\Delta h_{libre}\) en Vol Libre

Après l'extinction du moteur, la fusée est en vol libre (seul le poids agit, frottements négligés). L'énergie mécanique se conserve. Au début du vol libre (fin de propulsion, point F) : \(E_{m,F} = E_{c,F} + E_{p,F}\). À l'apogée (point AP, vitesse nulle) : \(E_{m,AP} = E_{c,AP} + E_{p,AP} = 0 + m g H_{max}\). Conservation : \(E_{m,F} = E_{m,AP}\). L'énergie potentielle à la fin de la propulsion est \(E_{p,F} = m g h_p\). L'énergie cinétique à la fin de la propulsion \(E_{c,F}\) est convertie en gain d'énergie potentielle \(\Delta E_p = m g \Delta h_{libre}\). Donc, \(E_{c,F} = m g \Delta h_{libre}\), d'où \(\Delta h_{libre} = \frac{E_{c,F}}{mg}\).

Données pour cette étape

Énergie cinétique \(E_{c,f} \approx 323,208 \, \text{J}\) (calculée à l'étape 7)
Masse \(m = 0,100 \, \text{kg}\)
Intensité de la pesanteur \(g = 9,8 \, \text{N/kg}\)

Calcul

\begin{aligned} \Delta h_{libre} &= \frac{E_{c,f}}{m \times g} \\ &= \frac{323,208 \, \text{J}}{0,100 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{N/kg}} \\ &= \frac{323,208}{0,98} \, \text{m} \\ &\approx 329,8 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

L'altitude supplémentaire atteinte en vol libre est \(\Delta h_{libre} \approx 329,8 \, \text{m}\).

9. Altitude Maximale Totale \(H_{max}\)

L'altitude maximale totale est la somme de l'altitude atteinte à la fin de la propulsion (\(h_p\)) et de l'altitude supplémentaire gagnée pendant le vol libre (\(\Delta h_{libre}\)). \[ H_{max} = h_p + \Delta h_{libre} \]

Données pour cette étape

Altitude en fin de propulsion \(h_p = 80,4 \, \text{m}\) (calculée à l'étape 6)
Altitude supplémentaire \(\Delta h_{libre} \approx 329,8 \, \text{m}\) (calculée à l'étape 8)

Calcul

\begin{aligned} H_{max} &= h_p + \Delta h_{libre} \\ &= 80,4 \, \text{m} + 329,8 \, \text{m} \\ &= 410,2 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

L'altitude maximale totale atteinte par la fusée est \(H_{max} \approx 410,2 \, \text{m}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Si la poussée du moteur d'une fusée est égale à son poids, l'accélération de la fusée est :

Négative (la fusée ralentit)
Nulle
Positive (la fusée accélère)

Question 2 : L'énergie cinétique d'un objet dépend de :

Sa hauteur et sa masse
Sa vitesse et sa masse
Sa vitesse et sa hauteur

Question 3 : En l'absence de frottements, quelle forme d'énergie augmente principalement lorsqu'une fusée prend de l'altitude après l'extinction de son moteur ?

L'énergie cinétique
L'énergie potentielle de pesanteur
L'énergie thermique

Question 4 : Si la masse d'une fusée est doublée, mais que la poussée du moteur reste la même, son accélération initiale sera :

Doublée
Divisée par deux (approximativement, si la poussée est bien supérieure au poids)
Inchangée

Question 5 : L'unité de la force dans le Système International est :

Le Joule (J)
Le Watt (W)
Le Newton (N)

Réponses du Quiz

Réponse 1 : b) Nulle (si la poussée compense exactement le poids, la force résultante est nulle, donc l'accélération est nulle si la vitesse initiale est nulle, ou la vitesse reste constante).

Réponse 2 : b) Sa vitesse et sa masse

Réponse 3 : b) L'énergie potentielle de pesanteur

Réponse 4 : b) Divisée par deux (approximativement, car \(a = (F_p - mg)/m\). Si \(F_p \gg mg\), alors \(a \approx F_p/m\))

Réponse 5 : c) Le Newton (N)

Glossaire des Termes Clés

Poids (\(P\)) :

Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. \(P = m \times g\). Unité : Newton (N).

Poussée (\(F_p\)) :

Force produite par un moteur (ici, de fusée) qui propulse l'objet. Unité : Newton (N).

Force Résultante (\(F_{res}\)) :

Somme vectorielle de toutes les forces s'exerçant sur un objet. C'est cette force qui détermine l'accélération de l'objet selon la deuxième loi de Newton. Unité : Newton (N).

Accélération (\(a\)) :

Taux de variation de la vitesse d'un objet. Unité : mètre par seconde carrée (m/s²).

Énergie Cinétique (\(E_c\)) :

Énergie que possède un objet du fait de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). Unité : Joule (J).

Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\)) :

Énergie que possède un objet du fait de sa position (altitude) dans un champ de pesanteur. \(E_p = m g h\). Unité : Joule (J).

Énergie Mécanique (\(E_m\)) :

Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système (\(E_m = E_c + E_p\)). En l'absence de frottements et d'autres forces non conservatives, l'énergie mécanique se conserve. Unité : Joule (J).

Apogée :

Point le plus haut d'une trajectoire, où la vitesse verticale s'annule momentanément.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment les frottements de l'air (résistance de l'air) affecteraient-ils l'altitude maximale atteinte par la fusée ? Serait-elle plus élevée, plus basse ou la même ? Pourquoi ?

2. Quel est le rôle de la forme aérodynamique (ogive pointue, ailerons) d'une fusée ?

3. Pour les grandes fusées spatiales, pourquoi utilise-t-on souvent plusieurs "étages" qui se séparent au cours du vol ?

4. Si la poussée du moteur n'était pas constante mais variait au cours du temps, comment cela compliquerait-il les calculs d'accélération et de vitesse ?

Lancement d’une fusée artisanale