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Exercices Physique Chimie

La Montagne Russe Sans Frottement

La Montagne Russe Sans Frottement : Énergie et Mouvement

La Montagne Russe Sans Frottement : Énergie et Mouvement

Comprendre l'Énergie Mécanique et sa Conservation

Le mouvement d'un chariot sur une montagne russe est un exemple classique d'application des principes de conservation de l'énergie en mécanique. L'énergie potentielle de pesanteur (\(E_p\)) est l'énergie stockée par un objet en raison de son altitude par rapport à un niveau de référence. L'énergie cinétique (\(E_c\)) est l'énergie associée à son mouvement (sa vitesse).

L'énergie mécanique totale (\(E_m\)) d'un système est la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique : \(E_m = E_p + E_c\). En l'absence de forces non conservatives (comme les frottements de l'air ou sur les rails, que nous négligerons ici), l'énergie mécanique du chariot se conserve tout au long de son parcours. Cela signifie que l'énergie peut se transformer d'une forme à l'autre (potentielle en cinétique et vice-versa), mais la somme totale reste constante.

Données de l'étude

Un chariot de montagne russe, assimilé à un point matériel de masse \(m\), est lâché sans vitesse initiale du sommet A d'une première descente. Il parcourt ensuite une boucle circulaire (looping) de rayon \(R\), puis continue sur une autre portion de la piste.

Informations et constantes :

  • Masse du chariot (\(m\)) : \(500 \, \text{kg}\)
  • Hauteur du point de départ A (\(h_A\)) : \(40,0 \, \text{m}\) (par rapport au point le plus bas du looping, D)
  • Rayon du looping (\(R\)) : \(10,0 \, \text{m}\)
  • Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\)
  • On néglige toutes les forces de frottement et la résistance de l'air.
  • Le point D est le point le plus bas du looping (altitude de référence \(h_D = 0 \, \text{m}\)).
  • Le point C est le sommet du looping (altitude \(h_C = 2R\)).
Schéma : Parcours d'une Montagne Russe
A h_A D (h=0) C 2R R

Schéma du parcours d'un chariot de montagne russe avec les points A (départ), D (bas du looping) et C (sommet du looping).

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{p,A}\)) du chariot au point A.
  2. Déterminer l'énergie cinétique (\(E_{c,A}\)) et l'énergie mécanique totale (\(E_{m,A}\)) du chariot au point A.
  3. En appliquant le principe de conservation de l'énergie mécanique, déterminer l'énergie cinétique (\(E_{c,D}\)) du chariot au point D (point le plus bas du looping, \(h_D = 0\)). En déduire sa vitesse (\(v_D\)) en ce point.
  4. Calculer l'énergie potentielle (\(E_{p,C}\)) et l'énergie cinétique (\(E_{c,C}\)) du chariot au point C (sommet du looping, \(h_C = 2R\)). En déduire sa vitesse (\(v_C\)) en ce point.
  5. Pour que le chariot reste en contact avec les rails au sommet du looping (point C), la force normale exercée par les rails sur le chariot doit être positive ou nulle (\(N \ge 0\)). En appliquant la deuxième loi de Newton au chariot au point C (mouvement circulaire), montrer que la condition pour que le chariot ne décolle pas est \(v_C^2 \ge gR\).
  6. Vérifier si le chariot, avec sa vitesse \(v_C\) calculée à la question 4, satisfait cette condition et peut donc franchir le looping sans tomber.

Correction : La Montagne Russe Sans Frottement

Question 1 : Énergie potentielle au Point A (\(E_{p,A}\))

Principe :

L'énergie potentielle de pesanteur \(E_p\) est donnée par \(E_p = mgh\), où \(h\) est l'altitude par rapport à un niveau de référence choisi (ici, le point D est à \(h=0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{p,A} = m \times g \times h_A\]
Données spécifiques :
  • Masse du chariot (\(m\)) : \(500 \, \text{kg}\)
  • Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\)
  • Hauteur du Point A (\(h_A\)) : \(40,0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{p,A} &= 500 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 40,0 \, \text{m} \\ &= 196200 \, \text{J} \end{aligned} \]

Soit \(1,962 \times 10^5 \, \text{J}\).

Résultat Question 1 : L'énergie potentielle de pesanteur du chariot au Point A est \(E_{p,A} = 196\,200 \, \text{J}\).

Question 2 : Énergie cinétique (\(E_{c,A}\)) et énergie mécanique (\(E_{m,A}\)) au Point A

Principe :

L'énergie cinétique \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). Si le chariot part du repos, sa vitesse initiale est nulle. L'énergie mécanique \(E_m = E_p + E_c\).

Données spécifiques :
  • Vitesse initiale au Point A (\(v_A\)) : \(0 \, \text{m/s}\)
  • \(E_{p,A} = 196200 \, \text{J}\)
Calcul de \(E_{c,A}\) :
\[ \begin{aligned} E_{c,A} &= \frac{1}{2} m v_A^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 500 \, \text{kg} \times (0 \, \text{m/s})^2 \\ &= 0 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul de \(E_{m,A}\) :
\[ \begin{aligned} E_{m,A} &= E_{p,A} + E_{c,A} \\ &= 196200 \, \text{J} + 0 \, \text{J} \\ &= 196200 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Au Point A, l'énergie cinétique est \(E_{c,A} = 0 \, \text{J}\) et l'énergie mécanique est \(E_{m,A} = 196\,200 \, \text{J}\).

Question 3 : Énergie cinétique (\(E_{c,D}\)) et vitesse (\(v_D\)) au Point D

Principe :

En l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve : \(E_{m,D} = E_{m,A}\). Au point D, l'altitude \(h_D = 0\), donc l'énergie potentielle \(E_{p,D} = 0\). L'énergie mécanique en D est donc purement cinétique.

Calcul de \(E_{c,D}\) :

\(E_{p,D} = mgh_D = 500 \times 9,81 \times 0 = 0 \, \text{J}\).

Conservation de l'énergie mécanique : \(E_{m,D} = E_{m,A}\).

\(E_{p,D} + E_{c,D} = E_{m,A}\)

\[ \begin{aligned} 0 + E_{c,D} &= 196200 \, \text{J} \\ E_{c,D} &= 196200 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul de \(v_D\) :

De \(E_{c,D} = \frac{1}{2} m v_D^2\), on tire \(v_D = \sqrt{\frac{2 E_{c,D}}{m}}\).

\[ \begin{aligned} v_D &= \sqrt{\frac{2 \times 196200 \, \text{J}}{500 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{392400}{500}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{784,8} \, \text{m/s} \\ &\approx 28,01 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Au Point D, l'énergie cinétique est \(E_{c,D} = 196\,200 \, \text{J}\) et la vitesse est \(v_D \approx 28,0 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Énergies (\(E_{p,C}\), \(E_{c,C}\)) et vitesse (\(v_C\)) au Point C

Principe :

Le point C est au sommet du looping, à une altitude \(h_C = 2R\). L'énergie mécanique se conserve toujours : \(E_{m,C} = E_{m,A}\).

Données spécifiques pour le Point C :
  • Rayon du looping (\(R\)) : \(10,0 \, \text{m}\), donc \(h_C = 2 \times 10,0 \, \text{m} = 20,0 \, \text{m}\)
  • \(E_{m,A} = 196200 \, \text{J}\)
Calcul de \(E_{p,C}\) :
\[ \begin{aligned} E_{p,C} &= mgh_C \\ &= 500 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 20,0 \, \text{m} \\ &= 98100 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul de \(E_{c,C}\) :

Par conservation de l'énergie mécanique : \(E_{m,C} = E_{p,C} + E_{c,C} = E_{m,A}\).

\[ \begin{aligned} E_{c,C} &= E_{m,A} - E_{p,C} \\ &= 196200 \, \text{J} - 98100 \, \text{J} \\ &= 98100 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul de \(v_C\) :
\[ \begin{aligned} v_C &= \sqrt{\frac{2 E_{c,C}}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 98100 \, \text{J}}{500 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{\frac{196200}{500}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{392,4} \, \text{m/s} \\ &\approx 19,81 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Au Point C, \(E_{p,C} = 98\,100 \, \text{J}\), \(E_{c,C} = 98\,100 \, \text{J}\), et la vitesse est \(v_C \approx 19,8 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Condition pour ne pas décoller au sommet du looping

Principe :

Au sommet du looping (point C), le chariot est en mouvement circulaire. Les forces s'exerçant sur lui sont son poids \(\vec{P}\) (vertical vers le bas) et la réaction normale des rails \(\vec{N}\) (également verticale vers le bas si le chariot est à l'intérieur du looping et en contact). La somme de ces forces constitue la force centripète nécessaire au mouvement circulaire : \(P + N = m v_C^2 / R\).

Pour que le chariot reste en contact avec les rails, la force normale \(N\) doit être supérieure ou égale à zéro (\(N \ge 0\)). Si \(N=0\), le chariot est juste sur le point de décoller (c'est la vitesse minimale).

Application de la deuxième loi de Newton :

En considérant un axe vertical orienté vers le bas, la somme des forces s'écrit :

\[ P + N = m a_c \]

Où \(a_c = v_C^2 / R\) est l'accélération centripète.

\[ mg + N = \frac{m v_C^2}{R} \]

On en déduit l'expression de la réaction normale :

\[ N = \frac{m v_C^2}{R} - mg \]

La condition pour que le chariot ne décolle pas est \(N \ge 0\) :

\[ \begin{aligned} \frac{m v_C^2}{R} - mg &\ge 0 \\ \frac{m v_C^2}{R} &\ge mg \end{aligned} \]

En simplifiant par \(m\) (qui est positif) :

\[ \frac{v_C^2}{R} \ge g \]
\[ v_C^2 \ge gR \]
Résultat Question 5 : La condition pour que le chariot ne décolle pas au sommet du looping est \(v_C^2 \ge gR\).

Question 6 : Vérification de la condition

Principe :

On compare la valeur de \(v_C^2\) calculée à la question 4 avec la valeur de \(gR\).

Données spécifiques :
  • \(v_C \approx 19,81 \, \text{m/s}\) (de la question 4)
  • \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(R = 10,0 \, \text{m}\)
Calculs :
\[ v_C^2 \approx (19,81 \, \text{m/s})^2 \approx 392,4361 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]

(Note : \(v_C^2 = 2 E_{c,C} / m = 2 \times 98100 / 500 = 392,4 \, \text{m}^2/\text{s}^2\))

\[ gR = (9,81 \, \text{m/s}^2) \times (10,0 \, \text{m}) = 98,1 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]
Comparaison :

On a \(v_C^2 \approx 392,4 \, \text{m}^2/\text{s}^2\) et \(gR = 98,1 \, \text{m}^2/\text{s}^2\).

Clairement, \(392,4 > 98,1\). Donc, \(v_C^2 > gR\).

Résultat Question 6 : La condition \(v_C^2 \ge gR\) est vérifiée (\(392,4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 > 98,1 \, \text{m}^2/\text{s}^2\)). Le chariot franchit donc le looping sans tomber.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. En l'absence de frottements, l'énergie mécanique d'un chariot de montagne russe :

8. Au point le plus bas d'une descente (altitude de référence zéro), l'énergie du chariot est principalement :

9. La condition \(v^2 \ge gR\) au sommet d'un looping de rayon R assure que :

Glossaire

Énergie Mécanique (\(E_m\))
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système. \(E_m = E_c + E_p\).
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie associée au mouvement d'un objet. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\))
Énergie stockée par un objet en raison de sa position (altitude) dans un champ de pesanteur. \(E_p = mgh\).
Conservation de l'Énergie Mécanique
Principe stipulant que si un système n'est soumis qu'à des forces conservatives (comme le poids, en l'absence de frottements), son énergie mécanique totale reste constante.
Force Conservative
Force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée (ex: poids). L'énergie mécanique est conservée en présence de forces conservatives uniquement.
Force Non Conservative
Force dont le travail dépend du chemin suivi (ex: frottements). La présence de forces non conservatives entraîne une variation de l'énergie mécanique (souvent une diminution sous forme de chaleur).
Force Centripète
Force résultante dirigée vers le centre d'un mouvement circulaire, responsable du maintien de la trajectoire circulaire. Pour un objet de masse \(m\) et de vitesse \(v\) sur un cercle de rayon \(R\), son module est \(F_c = mv^2/R\).
Réaction Normale (\(\vec{N}\))
Force exercée par un support sur un objet en contact avec lui, perpendiculaire à la surface de contact.
La Montagne Russe Sans Frottement - Exercice d'Application (Physique Université)

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