Étude Dynamique d'un Système Masse-Ressort

Analyser le mouvement d'un oscillateur harmonique simple (non amorti) et déterminer ses caractéristiques principales.

Un système masse-ressort horizontal constitue un exemple fondamental d'oscillateur harmonique simple lorsque les frottements sont négligés. Lorsqu'une masse \(m\) est attachée à un ressort de constante de raideur \(k\) et qu'elle est écartée de sa position d'équilibre, elle subit une force de rappel exercée par le ressort, qui tend à la ramener vers cette position. Cette force est proportionnelle à l'élongation \(x\) (loi de Hooke : \(\vec{F}_{rappel} = -k\vec{x}\)).

L'application de la deuxième loi de Newton (\(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\)) conduit à une équation différentielle du second ordre qui régit le mouvement de la masse.

L'équation différentielle du mouvement d'un oscillateur harmonique simple non amorti est :

m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \quad \text{ou} \quad \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0

Où \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) est la pulsation propre de l'oscillateur.

La solution générale de cette équation est de la forme \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)\), où \(X_m\) est l'amplitude maximale et \(\phi\) la phase à l'origine.

Données du Problème

On considère un système masse-ressort horizontal, où les frottements sont négligés.

Masse de l'objet (\(m\)) : \(0.20 \text{ kg}\)
Constante de raideur du ressort (\(k\)) : \(50.0 \text{ N/m}\)
À l'instant initial \(t=0\), l'objet est lâché depuis sa position d'élongation maximale \(x_0 = 0.10 \text{ m}\) sans vitesse initiale (\(v_0 = 0 \text{ m/s}\)).

Système masse-ressort horizontal non amorti.

Questions

Établir l'équation différentielle du mouvement de la masse \(m\), en appliquant la deuxième loi de Newton.
Calculer la pulsation propre \(\omega_0\) de l'oscillateur.
Calculer la période propre \(T_0\) et la fréquence propre \(f_0\) des oscillations.
Donner la forme générale de la solution \(x(t)\) de l'équation différentielle.
Déterminer les valeurs de l'amplitude maximale \(X_m\) et de la phase à l'origine \(\phi\) en utilisant les conditions initiales données.
Écrire l'expression numérique complète de \(x(t)\).
Calculer l'énergie cinétique \(E_c(t)\), l'énergie potentielle élastique \(E_{pe}(t)\) et l'énergie mécanique totale \(E_m(t)\) du système. Vérifier que l'énergie mécanique est conservée.
Quelle est la vitesse maximale \(v_{max}\) atteinte par la masse ? À quelles positions cela se produit-il ?

Correction : Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort

1. Équation Différentielle du Mouvement

Le système est constitué d'une masse \(m\) attachée à un ressort de constante de raideur \(k\). On néglige les frottements. La seule force horizontale agissant sur la masse est la force de rappel du ressort \(\vec{F}_r\). Selon la loi de Hooke, \(\vec{F}_r = -k x \vec{i}\), où \(x\) est l'élongation par rapport à la position d'équilibre et \(\vec{i}\) est le vecteur unitaire de l'axe horizontal. La deuxième loi de Newton s'écrit \(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\).

En projection sur l'axe Ox :

\begin{aligned} -kx &= ma_x \\ -kx &= m \frac{d^2x}{dt^2} \end{aligned}

En réarrangeant les termes, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

\begin{aligned} m \frac{d^2x}{dt^2} + kx &= 0 \\ \text{ou } \ddot{x} + \frac{k}{m}x &= 0 \end{aligned}

L'équation différentielle du mouvement est \(m\ddot{x} + kx = 0\) ou \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\).

Quiz Intermédiaire : Force de Rappel

2. Calcul de la Pulsation Propre \(\omega_0\)

L'équation différentielle \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\) est de la forme \(\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0\), où \(\omega_0\) est la pulsation propre (ou naturelle) de l'oscillateur. Par identification, \(\omega_0^2 = \frac{k}{m}\), donc \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\).

Données : \(m = 0.20 \text{ kg}\), \(k = 50.0 \text{ N/m}\).

\begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{50.0 \text{ N/m}}{0.20 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{250 \text{ s}^{-2}} \\ &\approx 15.81 \text{ rad/s} \end{aligned}

La pulsation propre de l'oscillateur est \(\omega_0 \approx 15.81 \text{ rad/s}\).

3. Calcul de la Période Propre \(T_0\) et de la Fréquence Propre \(f_0\)

La période propre \(T_0\) est le temps nécessaire pour effectuer une oscillation complète. Elle est liée à la pulsation propre par \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\). La fréquence propre \(f_0\) est le nombre d'oscillations par seconde. Elle est l'inverse de la période, \(f_0 = \frac{1}{T_0}\), et est aussi liée à la pulsation par \(f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}\).

Calcul de la période propre \(T_0\) avec \(\omega_0 \approx 15.811388 \text{ rad/s}\) (valeur non arrondie pour plus de précision) :

\begin{aligned} T_0 &= \frac{2\pi}{\omega_0} \\ &\approx \frac{2\pi}{15.811388 \text{ rad/s}} \\ &\approx 0.39749 \text{ s} \end{aligned}

Calcul de la fréquence propre \(f_0\) :

\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{T_0} \\ &\approx \frac{1}{0.39749 \text{ s}} \\ &\approx 2.5158 \text{ Hz} \end{aligned}

Alternativement pour \(f_0\) :

\begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &\approx \frac{15.811388 \text{ rad/s}}{2\pi} \\ &\approx 2.5158 \text{ Hz} \end{aligned}

La période propre est \(T_0 \approx 0.397 \text{ s}\) et la fréquence propre est \(f_0 \approx 2.52 \text{ Hz}\).

Quiz Intermédiaire : Période et Fréquence

4. Forme Générale de la Solution \(x(t)\)

L'équation différentielle \(\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0\) est caractéristique d'un oscillateur harmonique simple. Sa solution générale est une fonction sinusoïdale du temps, qui peut s'écrire sous plusieurs formes équivalentes. Une forme courante est :

x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)

Où :

\(X_m\) est l'amplitude maximale de l'oscillation (positive).
\(\omega_0\) est la pulsation propre calculée précédemment.
\(\phi\) est la phase à l'origine, qui dépend des conditions initiales du mouvement.

Une autre forme équivalente est \(x(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)\), où \(A\) et \(B\) sont des constantes déterminées par les conditions initiales.

La forme générale de la solution est \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)\).

5. Détermination de \(X_m\) et \(\phi\)

Nous utilisons les conditions initiales pour déterminer \(X_m\) et \(\phi\). Conditions initiales : à \(t=0\), \(x(0) = x_0 = 0.10 \text{ m}\) et \(v(0) = \dot{x}(0) = v_0 = 0 \text{ m/s}\). L'expression de la vitesse \(\dot{x}(t)\) est la dérivée de \(x(t)\) par rapport au temps : \(\dot{x}(t) = -X_m \omega_0 \sin(\omega_0 t + \phi)\).

À \(t=0\) :

\begin{aligned} x(0) &= X_m \cos(\phi) \\ 0.10 &= X_m \cos(\phi) \quad (1) \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{x}(0) &= -X_m \omega_0 \sin(\phi) \\ 0 &= -X_m \omega_0 \sin(\phi) \quad (2) \end{aligned}

De l'équation (2), puisque \(X_m \neq 0\) (sinon il n'y a pas d'oscillation) et \(\omega_0 \neq 0\), il faut que \(\sin(\phi) = 0\). Cela implique \(\phi = 0\) ou \(\phi = \pi\) (ou tout multiple de \(\pi\)).

Si \(\phi = 0\), alors \(\cos(\phi) = \cos(0) = 1\). En remplaçant dans (1) :

0.10 = X_m \times 1 \Rightarrow X_m = 0.10 \text{ m}

Si \(\phi = \pi\), alors \(\cos(\phi) = \cos(\pi) = -1\). En remplaçant dans (1) :

0.10 = X_m \times (-1) \Rightarrow X_m = -0.10 \text{ m}

Comme l'amplitude \(X_m\) est par définition positive, on choisit la solution qui donne \(X_m > 0\). Donc, \(X_m = 0.10 \text{ m}\) et \(\phi = 0 \text{ rad}\).

Cela est logique : si l'objet est lâché depuis son élongation maximale sans vitesse initiale, l'amplitude du mouvement est cette élongation initiale, et la phase à l'origine est nulle si on choisit une fonction cosinus.

L'amplitude maximale est \(X_m = 0.10 \text{ m}\) et la phase à l'origine est \(\phi = 0 \text{ rad}\).

Quiz Intermédiaire : Amplitude et Phase

6. Expression Numérique de \(x(t)\)

On remplace les valeurs de \(X_m\), \(\omega_0\), et \(\phi\) dans l'expression générale \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \phi)\).

Avec \(X_m = 0.10 \text{ m}\), \(\omega_0 \approx 15.81 \text{ rad/s}\), et \(\phi = 0 \text{ rad}\) :

x(t) = 0.10 \cos(15.81 t)

où \(x\) est en mètres et \(t\) en secondes.

L'expression numérique de l'élongation est \(x(t) = 0.10 \cos(15.81 t)\) (unités SI).

7. Calcul des Énergies et Conservation

L'énergie cinétique est \(E_c(t) = \frac{1}{2}m[\dot{x}(t)]^2\). L'énergie potentielle élastique est \(E_{pe}(t) = \frac{1}{2}kx(t)^2\). L'énergie mécanique totale est \(E_m(t) = E_c(t) + E_{pe}(t)\). Nous avons \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t)\) (car \(\phi=0\)). Donc \(\dot{x}(t) = -X_m \omega_0 \sin(\omega_0 t)\).

Énergie cinétique :

\begin{aligned} E_c(t) &= \frac{1}{2}m(-X_m \omega_0 \sin(\omega_0 t))^2 \\ &= \frac{1}{2}m X_m^2 \omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t) \end{aligned}

Énergie potentielle élastique :

\begin{aligned} E_{pe}(t) &= \frac{1}{2}k(X_m \cos(\omega_0 t))^2 \\ &= \frac{1}{2}k X_m^2 \cos^2(\omega_0 t) \end{aligned}

Énergie mécanique totale :

\begin{aligned} E_m(t) &= \frac{1}{2}m X_m^2 \omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t) + \frac{1}{2}k X_m^2 \cos^2(\omega_0 t) \end{aligned}

Sachant que \(\omega_0^2 = k/m\), donc \(k = m\omega_0^2\). Remplaçons \(k\) dans l'expression de \(E_m(t)\) :

\begin{aligned} E_m(t) &= \frac{1}{2}m X_m^2 \omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t) + \frac{1}{2}(m\omega_0^2) X_m^2 \cos^2(\omega_0 t) \\ &= \frac{1}{2}m X_m^2 \omega_0^2 (\sin^2(\omega_0 t) + \cos^2(\omega_0 t)) \end{aligned}

Comme \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\), on a :

E_m(t) = \frac{1}{2}m X_m^2 \omega_0^2 = \frac{1}{2}k X_m^2

Cette expression ne dépend pas du temps \(t\). L'énergie mécanique totale est donc constante : elle est conservée.

Calculons sa valeur numérique :

\begin{aligned} E_m &= \frac{1}{2}k X_m^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (50.0 \text{ N/m}) \times (0.10 \text{ m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 50.0 \times 0.01 \text{ J} \\ &= 0.25 \text{ J} \end{aligned}

L'énergie mécanique totale est \(E_m = \frac{1}{2}k X_m^2 = 0.25 \text{ J}\). Elle est conservée car il n'y a pas de forces dissipatives (frottements négligés).

Quiz Intermédiaire : Conservation de l'Énergie

8. Vitesse Maximale \(v_{max}\)

La vitesse est \(\dot{x}(t) = -X_m \omega_0 \sin(\omega_0 t)\). La valeur maximale de la fonction \(\sin(\theta)\) est 1 (et la valeur minimale est -1). Donc, la valeur maximale de \(|\sin(\omega_0 t)|\) est 1. La vitesse maximale \(v_{max}\) correspond donc à l'amplitude de la fonction vitesse.

\begin{aligned} v_{max} &= X_m \omega_0 \\ &= (0.10 \text{ m}) \times (15.81 \text{ rad/s}) \\ &\approx 1.581 \text{ m/s} \end{aligned}

La vitesse est maximale lorsque \(\sin(\omega_0 t) = \pm 1\). Cela se produit lorsque \(\cos(\omega_0 t) = 0\), c'est-à-dire lorsque \(x(t) = 0\). La vitesse est donc maximale lorsque la masse passe par sa position d'équilibre (\(x=0\)).

La vitesse maximale est \(v_{max} \approx 1.58 \text{ m/s}\). Elle est atteinte lorsque la masse passe par sa position d'équilibre (\(x=0\)).

Glossaire des Termes Clés

Oscillateur Harmonique Simple (OHS) :

Système physique qui, lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre stable, est soumis à une force de rappel proportionnelle à l'écartement et de sens opposé. Son mouvement est sinusoïdal en l'absence de frottement.

Force de Rappel :

Force qui tend à ramener un système vers sa position d'équilibre. Pour un ressort idéal, elle est donnée par la loi de Hooke \(\vec{F} = -k\vec{x}\).

Constante de Raideur (\(k\)) :

Caractéristique d'un ressort indiquant sa "dureté". Plus \(k\) est élevée, plus le ressort est difficile à déformer. Unité : N/m.

Équation Différentielle du Mouvement :

Équation mathématique reliant la position, la vitesse et l'accélération d'un objet aux forces qui s'exercent sur lui.

Pulsation Propre (\(\omega_0\)) :

Vitesse angulaire caractéristique des oscillations libres non amorties d'un système. \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) pour un système masse-ressort. Unité : rad/s.

Période Propre (\(T_0\)) :

Durée d'une oscillation complète pour un oscillateur harmonique simple. \(T_0 = 2\pi/\omega_0\). Unité : s.

Fréquence Propre (\(f_0\)) :

Nombre d'oscillations complètes par unité de temps pour un oscillateur harmonique simple. \(f_0 = 1/T_0 = \omega_0/(2\pi)\). Unité : Hz.

Amplitude Maximale (\(X_m\)) :

Écart maximal par rapport à la position d'équilibre lors d'une oscillation.

Phase à l'origine (\(\phi\)) :

Constante qui détermine la position et la vitesse de l'oscillateur à l'instant initial \(t=0\) dans la solution sinusoïdale.

Énergie Cinétique (\(E_c\)) :

Énergie associée au mouvement d'un objet. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).

Énergie Potentielle Élastique (\(E_{pe}\)) :

Énergie stockée dans un ressort déformé (étiré ou comprimé). \(E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2\).

Énergie Mécanique Totale (\(E_m\)) :

Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système. \(E_m = E_c + E_{pe}\). Elle est conservée en l'absence de forces non conservatives (comme les frottements).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'équation du mouvement et sa solution changent-elles si le système masse-ressort est placé verticalement et soumis à la pesanteur ?

2. Si les conditions initiales étaient \(x(0)=0\) et \(v(0)=v_0 > 0\), quelles seraient les valeurs de \(X_m\) et \(\phi\) ?

3. Comment l'énergie se transforme-t-elle entre cinétique et potentielle au cours d'une oscillation ? À quels moments chacune est-elle maximale ou minimale ?

4. Que se passe-t-il si une force de frottement (amortissement) est introduite dans le système ? Comment cela affecte-t-il l'amplitude et la pulsation des oscillations ?

5. Qu'est-ce que le phénomène de résonance dans un système masse-ressort lorsqu'il est soumis à une force excitatrice périodique ?

Étude Dynamique d’un Système Masse-Ressort