Étude d’un gaz parfait sous pression variable
Appliquer la loi de Boyle-Mariotte et la loi des gaz parfaits pour analyser le comportement d'un gaz.
Un gaz parfait est un modèle théorique décrivant le comportement des gaz réels à basse pression et haute température. Son état est caractérisé par sa pression \(P\), son volume \(V\), sa quantité de matière \(n\) et sa température absolue \(T\).
La loi des gaz parfaits relie ces grandeurs :
Où \(R\) est la constante des gaz parfaits.
La loi de Boyle-Mariotte stipule que, pour une quantité de gaz donnée et à température constante, le produit de la pression par le volume est constant :
Données du Problème
On enferme une certaine quantité d'air (considéré comme un gaz parfait) dans une seringue. La seringue est initialement à la pression atmosphérique et à température ambiante.
- État initial (1) :
- Volume : \(V_1 = 60.0 \text{ mL}\)
- Pression : \(P_1 = 1013 \text{ hPa}\) (pression atmosphérique normale)
- Température : \(T_1 = 20^\circ\text{C}\)
- On comprime lentement le gaz en poussant sur le piston, de manière à ce que la température reste constante (\(T_2 = T_1\)).
- État final (2) :
- Volume : \(V_2 = 20.0 \text{ mL}\)
Constantes utiles :
- Conversion de pression : 1 hectopascal (hPa) = 100 Pascals (Pa)
- Conversion de volume : 1 millilitre (mL) = \(10^{-6}\) mètre cube (m\(^3\))
- Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Questions
- Convertir la température initiale \(T_1\) en Kelvins (K).
- Convertir la pression initiale \(P_1\) en Pascals (Pa).
- Convertir les volumes \(V_1\) et \(V_2\) en mètres cubes (m\(^3\)).
- En appliquant la loi de Boyle-Mariotte, calculer la pression finale \(P_2\) du gaz dans la seringue. Exprimer le résultat en Pascals puis en hectopascals.
- Calculer la quantité de matière \(n\) d'air (en moles) enfermée dans la seringue.
Correction : Étude d’un gaz parfait sous pression variable
1. Conversion de la Température Initiale \(T_1\)
Pour convertir les degrés Celsius en Kelvins, on ajoute 273.15.
Données :
\(T_1 = 20^\circ\text{C}\)
La température initiale est \(T_1 = 293.15 \text{ K}\).
2. Conversion de la Pression Initiale \(P_1\)
On convertit les hectopascals (hPa) en Pascals (Pa).
Données :
\(P_1 = 1013 \text{ hPa}\)
1 hPa = 100 Pa
La pression initiale est \(P_1 = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\).
Quiz Intermédiaire
3. Conversion des Volumes \(V_1\) et \(V_2\)
On convertit les millilitres (mL) en mètres cubes (m\(^3\)).
Données :
\(V_1 = 60.0 \text{ mL}\)
\(V_2 = 20.0 \text{ mL}\)
1 mL = \(10^{-6}\) m\(^3\)
Les volumes convertis sont :
- \(V_1 = 6.00 \times 10^{-5} \text{ m}^3\)
- \(V_2 = 2.00 \times 10^{-5} \text{ m}^3\)
Quiz Intermédiaire
4. Calcul de la Pression Finale \(P_2\)
La transformation est isotherme (température constante), on applique donc la loi de Boyle-Mariotte : \(P_1 V_1 = P_2 V_2\).
Données :
\(P_1 = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(V_1 = 6.00 \times 10^{-5} \text{ m}^3\)
\(V_2 = 2.00 \times 10^{-5} \text{ m}^3\)
Conversion en hectopascals :
La pression finale est \(P_2 = 3.039 \times 10^5 \text{ Pa}\), soit \(3039 \text{ hPa}\).
Quiz Intermédiaire
5. Calcul de la Quantité de Matière \(n\) d'Air
On utilise l'équation des gaz parfaits pour l'état initial : \(P_1 V_1 = n R T_1\).
Données :
\(P_1 = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(V_1 = 6.00 \times 10^{-5} \text{ m}^3\)
\(T_1 = 293.15 \text{ K}\)
\(R = 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
La quantité de matière d'air dans la seringue est \(n \approx 2.49 \times 10^{-3} \text{ mol}\).
Quiz : Testez vos connaissances !
Glossaire des Termes Clés
Gaz Parfait :
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissant pas entre elles, sauf lors de collisions parfaitement élastiques.
Pression (P) :
Force exercée par unité de surface. Unité SI : Pascal (Pa).
Volume (V) :
Espace occupé par une substance. Unité SI : mètre cube (m\(^3\)).
Température Absolue (T) :
Mesure de l'agitation thermique des particules. Unité SI : Kelvin (K).
Quantité de Matière (n) :
Nombre de moles d'une substance. Unité : mole (mol).
Constante des Gaz Parfaits (R) :
Constante de proportionnalité dans l'équation des gaz parfaits. \(R \approx 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Loi de Boyle-Mariotte :
Pour une quantité donnée de gaz à température constante, le produit de la pression et du volume est constant (\(PV = \text{cte}\)).
Transformation Isotherme :
Transformation thermodynamique qui se produit à température constante.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Si la température n'était pas maintenue constante lors de la compression (par exemple, si la compression était rapide et adiabatique), comment la pression finale \(P_2\) serait-elle affectée par rapport au calcul effectué ?
2. Comment la loi de Charles (relation entre V et T à P constante) et la loi de Gay-Lussac (relation entre P et T à V constant) se déduisent-elles de la loi des gaz parfaits ?
3. Dans quelles conditions un gaz réel se comporte-t-il le plus comme un gaz parfait ? Pourquoi ?
4. Le travail des forces de pression lors de la compression isotherme d'un gaz parfait est donné par \(W = -nRT \ln(V_2/V_1)\). Calculez ce travail pour la transformation de l'exercice. Est-il reçu ou fourni par le gaz ?
5. Citez des applications pratiques de la loi de Boyle-Mariotte (par exemple, en plongée sous-marine, dans les seringues, etc.).
D’autres exercices de physique niveau premiere:
0 commentaires