Chute Libre d’une Balle de Tennis
Étude du mouvement d'une balle de tennis en chute libre, calculer sa vitesse et son temps de chute.
En physique, la chute libre désigne le mouvement d'un corps soumis uniquement à l'action de la pesanteur (son poids). On néglige généralement les frottements de l'air pour simplifier l'étude, surtout pour des objets denses et des hauteurs de chute modérées.
Dans ce modèle idéal, tous les corps chutent avec la même accélération, appelée accélération de la pesanteur, notée \(g\).
Si un objet est lâché sans vitesse initiale (\(v_0 = 0\)) d'une hauteur \(H\), sa vitesse \(v(t)\) à un instant \(t\) et la hauteur de chute \(h(t)\) parcourue à cet instant sont données par :
On peut aussi relier la vitesse à la hauteur de chute parcourue :
Où :
- \(v(t)\) est la vitesse en mètres par seconde (m/s).
- \(g\) est l'accélération de la pesanteur en Newtons par kilogramme (N/kg) ou en mètres par seconde carrée (m/s²).
- \(t\) est le temps en secondes (s).
- \(h(t)\) est la hauteur de chute parcourue depuis le point de lâcher en mètres (m).
Données du Problème
Une balle de tennis est lâchée sans vitesse initiale du haut d'une tour.
- Hauteur de la tour (hauteur de chute initiale) : \(H = 45 \text{ m}\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
- Masse de la balle de tennis : \(m = 58 \text{ g}\) (cette donnée n'est pas utile pour les questions de cinématique de chute libre idéale).
Questions
- Calculer le temps \(t_{chute}\) que met la balle pour atteindre le sol.
- Calculer la vitesse \(v_{impact}\) de la balle juste avant qu'elle ne touche le sol.
- Quelle est la hauteur \(h_1\) de la balle par rapport au sol après \(t_1 = 2.0 \text{ s}\) de chute ?
- Quelle est la vitesse \(v_1\) de la balle à cet instant \(t_1 = 2.0 \text{ s}\) ?
- Si on lâchait une boule de pétanque de masse \(m' = 700 \text{ g}\) de la même hauteur \(H\) (en négligeant toujours les frottements de l'air), son temps de chute serait-il différent ? Justifier.
Correction : Chute Libre d’une Balle de Tennis
1. Calcul du Temps de Chute (\(t_{chute}\))
La balle atteint le sol lorsque la hauteur de chute parcourue \(h(t)\) est égale à la hauteur initiale \(H\). On utilise la formule \(H = \frac{1}{2} g t_{chute}^2\) et on isole \(t_{chute}\).
Données : \(H = 45 \text{ m}\), \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\).
La balle met environ \(t_{chute} \approx 3.03 \text{ s}\) pour atteindre le sol.
2. Calcul de la Vitesse d'Impact (\(v_{impact}\))
On peut utiliser \(v(t) = g \cdot t\) avec \(t = t_{chute}\), ou \(v^2 = 2 \cdot g \cdot H\).
Méthode 1 : Utilisation du temps de chute \(t_{chute} \approx 3.030 \text{ s}\).
Méthode 2 : Utilisation de la hauteur \(H\).
Les légères différences sont dues aux arrondis du temps de chute.
La vitesse de la balle juste avant l'impact est \(v_{impact} \approx 29.7 \text{ m/s}\).
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3. Hauteur \(h_1\) de la Balle par Rapport au Sol après \(t_1 = 2.0 \text{ s}\)
D'abord, calculons la hauteur de chute parcourue \(h_{parcourue}(t_1)\) depuis le point de lâcher après \(t_1 = 2.0 \text{ s}\). Ensuite, la hauteur par rapport au sol \(h_1\) sera \(H - h_{parcourue}(t_1)\).
Hauteur de chute parcourue :
Hauteur par rapport au sol :
Après 2.0 s de chute, la balle est à une hauteur \(h_1 = 25.4 \text{ m}\) du sol.
4. Vitesse \(v_1\) de la Balle à \(t_1 = 2.0 \text{ s}\)
On utilise la formule \(v(t) = g \cdot t\).
Données : \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\), \(t_1 = 2.0 \text{ s}\).
À \(t_1 = 2.0 \text{ s}\), la vitesse de la balle est \(v_1 = 19.6 \text{ m/s}\).
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5. Influence de la Masse sur le Temps de Chute
Dans le modèle de la chute libre idéale, on néglige les frottements de l'air. Les équations du mouvement (\(h = \frac{1}{2} g t^2\) et \(v = gt\)) ne dépendent que de \(g\) et de \(H\) (ou \(t\)), mais pas de la masse \(m\) de l'objet.
Le temps de chute est donné par \(t_{chute} = \sqrt{\frac{2H}{g}}\). Cette formule ne contient pas la masse de l'objet.
Par conséquent, si on néglige les frottements de l'air, une boule de pétanque de masse \(m' = 700 \text{ g}\) lâchée de la même hauteur \(H\) mettra le même temps pour atteindre le sol que la balle de tennis.
Non, le temps de chute serait identique. Dans le modèle de la chute libre idéale (sans frottement de l'air), le temps de chute ne dépend pas de la masse de l'objet.
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Glossaire des Termes Clés
Chute Libre :
Mouvement d'un corps soumis uniquement à l'action de la pesanteur. Dans le modèle idéal, les frottements de l'air sont négligés.
Pesanteur :
Force d'attraction exercée par un astre (comme la Terre) sur les objets massiques proches de sa surface. Le poids d'un objet est la force de pesanteur qu'il subit.
Accélération de la Pesanteur (\(g\)) :
Accélération subie par un corps en chute libre. Sur Terre, sa valeur moyenne est d'environ \(9.8 \text{ m/s}^2\).
Vitesse Initiale (\(v_0\)) :
Vitesse d'un objet au début de son mouvement (à \(t=0\)). Dans cet exercice, la balle est lâchée, donc \(v_0 = 0\).
Cinématique :
Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans se préoccuper des causes (forces) qui le produisent.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment les frottements de l'air affecteraient-ils réellement le temps de chute et la vitesse d'impact d'une balle de tennis par rapport à une boule de pétanque lâchées de la même hauteur ?
2. Qu'est-ce que la "vitesse limite" de chute et comment est-elle atteinte ?
3. Si la balle de tennis était lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale, comment décririez-vous son mouvement jusqu'à ce qu'elle retombe au sol ? Quelles seraient les équations de mouvement ?
4. Recherchez l'expérience de Galilée sur la chute des corps. Qu'a-t-il démontré ?
5. Comment l'énergie mécanique (cinétique + potentielle) de la balle de tennis évolue-t-elle pendant sa chute libre idéale ?
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