Caractéristiques Électriques d'une Pile Plate

Une pile réelle, comme une pile plate de 4.5V, ne se comporte pas comme un générateur idéal de tension. Elle possède une résistance interne qui provoque une chute de tension lorsque la pile débite du courant. On modélise une pile réelle par un générateur de tension idéal de force électromotrice (f.e.m.) $E$ en série avec une résistance interne $r$.

La tension $U_{PN}$ aux bornes de la pile (entre sa borne Positive P et sa borne Négative N) lorsqu'elle débite un courant d'intensité $I$ est donnée par la relation :

U_{PN} = E - r \times I

Où :

$U_{PN}$ est la tension aux bornes de la pile en Volts (V).
$E$ est la force électromotrice (f.e.m.) de la pile en Volts (V), c'est la tension à vide de la pile (quand $I=0$).
$r$ est la résistance interne de la pile en Ohms ($\Omega$).
$I$ est l'intensité du courant débité par la pile en Ampères (A).

Données du Problème

On étudie une pile plate dont les caractéristiques sont les suivantes :

Force électromotrice (f.e.m.) : $E = 4.5 \text{ V}$
Résistance interne : $r = 1.5 \text{ } \Omega$

Cette pile est connectée à un conducteur ohmique (résistance externe) de valeur $R_{ext} = 7.5 \text{ } \Omega$.

Schéma du circuit avec la pile plate et une résistance externe.

Questions

Rappeler la loi d'Ohm pour un circuit fermé simple contenant un générateur (la pile) et un conducteur ohmique externe. En déduire l'expression de l'intensité $I$ du courant en fonction de $E$, $r$, et $R_{ext}$.
Calculer la valeur de l'intensité $I$ du courant qui circule dans le circuit.
Calculer la tension $U_{PN}$ aux bornes de la pile lorsque ce courant circule.
Calculer la puissance électrique $P_{ext}$ dissipée par la résistance externe $R_{ext}$.
Calculer la puissance électrique $P_{int}$ dissipée par effet Joule à l'intérieur de la pile (par sa résistance interne $r$).
Calculer la puissance électrique totale $P_{tot}$ fournie par la f.e.m. de la pile. Vérifier que $P_{tot} = P_{ext} + P_{int}$.
Calculer le rendement $\eta$ de la pile dans ce montage (rapport de la puissance utile sur la puissance totale).
Si la résistance externe $R_{ext}$ diminue, comment évoluent l'intensité $I$ et la tension $U_{PN}$ ? Justifier.
Calculer le courant de court-circuit $I_{cc}$ de cette pile (courant maximal que la pile peut théoriquement débiter si ses bornes P et N sont directement reliées par un fil de résistance négligeable). Quelle serait alors la tension $U_{PN}$ ?

Correction : Caractéristiques Électriques d’une Pile Plate

1. Loi d'Ohm pour le Circuit et Expression de $I$

On applique la loi des mailles (ou loi d'additivité des tensions) au circuit.

Dans un circuit fermé, la somme des tensions est nulle. En parcourant la maille dans le sens du courant (sortant de la borne + du générateur) :

La tension aux bornes de la pile est $U_{PN} = E - rI$.

La tension aux bornes de la résistance externe est $U_{Rext} = R_{ext}I$ (en convention récepteur, la flèche tension est opposée à la flèche courant).

En considérant la pile comme un générateur, elle fournit la tension $U_{PN}$ au reste du circuit. Donc, $U_{PN} = U_{Rext}$.

E - rI = R_{ext}I

On regroupe les termes en $I$ :

E = R_{ext}I + rI \] \[ E = (R_{ext} + r)I

On en déduit l'expression de l'intensité $I$ :

I = \frac{E}{R_{ext} + r}

L'expression de l'intensité du courant est : $I = \frac{E}{R_{ext} + r}$.

2. Calcul de l'Intensité $I$

On utilise l'expression trouvée avec les valeurs numériques données.

Données : $E = 4.5 \text{ V}$, $r = 1.5 \text{ } \Omega$, $R_{ext} = 7.5 \text{ } \Omega$.

I = \frac{4.5 \text{ V}}{7.5 \text{ } \Omega + 1.5 \text{ } \Omega} = \frac{4.5 \text{ V}}{9.0 \text{ } \Omega} \] \[ I = 0.5 \text{ A}

L'intensité du courant dans le circuit est $I = 0.5 \text{ A}$.

Quiz Intermédiaire

3. Calcul de la Tension $U_{PN}$

On utilise la relation $U_{PN} = E - rI$.

Avec $E = 4.5 \text{ V}$, $r = 1.5 \text{ } \Omega$, et $I = 0.5 \text{ A}$.

U_{PN} = 4.5 \text{ V} - (1.5 \text{ } \Omega \times 0.5 \text{ A}) \] \[ U_{PN} = 4.5 \text{ V} - 0.75 \text{ V} \] \[ U_{PN} = 3.75 \text{ V}

Alternativement, $U_{PN} = R_{ext}I = 7.5 \text{ } \Omega \times 0.5 \text{ A} = 3.75 \text{ V}$.

La tension aux bornes de la pile est $U_{PN} = 3.75 \text{ V}$.

4. Calcul de la Puissance $P_{ext}$

La puissance dissipée par une résistance est donnée par $P = UI = RI^2 = U^2/R$.

Pour la résistance externe $R_{ext}$, la tension à ses bornes est $U_{PN}$ et le courant est $I$.

P_{ext} = U_{PN} \times I \] \[ P_{ext} = 3.75 \text{ V} \times 0.5 \text{ A} = 1.875 \text{ W}

Ou bien :

P_{ext} = R_{ext} \times I^2 = 7.5 \text{ } \Omega \times (0.5 \text{ A})^2 = 7.5 \text{ } \Omega \times 0.25 \text{ A}^2 = 1.875 \text{ W}

La puissance dissipée par la résistance externe est $P_{ext} = 1.875 \text{ W}$.

5. Calcul de la Puissance Interne $P_{int}$

C'est la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance interne de la pile.

P_{int} = r \times I^2 \] \[ P_{int} = 1.5 \text{ } \Omega \times (0.5 \text{ A})^2 = 1.5 \text{ } \Omega \times 0.25 \text{ A}^2 \] \[ P_{int} = 0.375 \text{ W}

La puissance dissipée par la résistance interne de la pile est $P_{int} = 0.375 \text{ W}$.

6. Calcul de la Puissance Totale $P_{tot}$

La puissance totale fournie par la f.e.m. de la pile est $P_{tot} = E \times I$.

P_{tot} = E \times I = 4.5 \text{ V} \times 0.5 \text{ A} = 2.25 \text{ W}

Vérification :

P_{ext} + P_{int} = 1.875 \text{ W} + 0.375 \text{ W} = 2.25 \text{ W}

On constate bien que $P_{tot} = P_{ext} + P_{int}$, ce qui est conforme au principe de conservation de l'énergie.

La puissance totale fournie par la pile est $P_{tot} = 2.25 \text{ W}$.

7. Calcul du Rendement $\eta$

Le rendement est le rapport de la puissance utile (celle fournie au circuit extérieur) sur la puissance totale générée.

\eta = \frac{P_{ext}}{P_{tot}} = \frac{U_{PN} \times I}{E \times I} = \frac{U_{PN}}{E} \] \[ \eta = \frac{1.875 \text{ W}}{2.25 \text{ W}} \approx 0.8333

Exprimé en pourcentage : $\eta \approx 83.33\%$.

En utilisant les tensions :

\eta = \frac{3.75 \text{ V}}{4.5 \text{ V}} \approx 0.8333

Le rendement de la pile dans ce montage est $\eta \approx 0.833$ (soit $83.3\%$).

8. Évolution de $I$ et $U_{PN}$ si $R_{ext}$ diminue

On analyse l'impact d'une diminution de la résistance externe.

On a $I = \frac{E}{R_{ext} + r}$.

Si $R_{ext}$ diminue (et que $E$ et $r$ sont constants), le dénominateur $R_{ext} + r$ diminue. Par conséquent, l'intensité $I$ du courant augmente.

On a $U_{PN} = E - rI$.

Puisque $I$ augmente et que $E$ et $r$ sont constants, le terme $rI$ augmente. Par conséquent, la tension aux bornes de la pile $U_{PN}$ diminue.

Si $R_{ext}$ diminue : l'intensité $I$ augmente et la tension $U_{PN}$ diminue.

9. Courant de Court-Circuit $I_{cc}$ et Tension $U_{PN}$

Le courant de court-circuit est le courant maximal théorique que peut débiter une pile.

Un court-circuit se produit lorsque les bornes P et N de la pile sont reliées par un conducteur de résistance négligeable, c'est-à-dire $R_{ext} \approx 0 \text{ } \Omega$.

L'intensité du courant de court-circuit $I_{cc}$ est alors :

I_{cc} = \frac{E}{r + R_{ext}} = \frac{E}{r + 0} = \frac{E}{r} \] \[ I_{cc} = \frac{4.5 \text{ V}}{1.5 \text{ } \Omega} = 3.0 \text{ A}

Lorsque la pile est en court-circuit ($I = I_{cc}$), la tension à ses bornes $U_{PN}$ devient :

U_{PN} = E - r I_{cc} = E - r \left(\frac{E}{r}\right) = E - E = 0 \text{ V}

En pratique, un court-circuit est dangereux car il peut endommager la pile (surchauffe due à la forte dissipation de puissance interne $P_{int} = rI_{cc}^2$).

Le courant de court-circuit est $I_{cc} = 3.0 \text{ A}$.

Lors d'un court-circuit, la tension aux bornes de la pile est $U_{PN} = 0 \text{ V}$.

Glossaire des Termes Clés

Pile (Générateur réel) :

Source d'énergie électrique qui convertit de l'énergie chimique en énergie électrique. Modélisée par une force électromotrice (f.e.m.) en série avec une résistance interne.

Force Électromotrice (f.e.m., $E$) :

Tension maximale qu'un générateur peut fournir, mesurée à ses bornes lorsqu'il ne débite aucun courant (circuit ouvert). Unité : Volt (V).

Résistance Interne ($r$) :

Résistance propre au générateur (pile) qui provoque une dissipation d'énergie par effet Joule à l'intérieur de celui-ci lorsqu'il débite du courant. Unité : Ohm ($\Omega$).

Tension aux Bornes ($U_{PN}$) :

Différence de potentiel électrique mesurée entre la borne positive (P) et la borne négative (N) d'un dipôle (ici, la pile). Unité : Volt (V).

Intensité du Courant ($I$) :

Débit de charges électriques. Dans un circuit avec une pile, c'est le courant débité par la pile. Unité : Ampère (A).

Conducteur Ohmique (Résistance externe, $R_{ext}$) :

Dipôle qui s'oppose au passage du courant, caractérisé par sa résistance $R_{ext}$. Il obéit à la loi d'Ohm $U = R_{ext}I$.

Puissance Électrique ($P$) :

Énergie électrique transférée ou convertie par unité de temps. Unité : Watt (W). Pour un dipôle, $P = UI$.

Effet Joule :

Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur ohmique parcouru par un courant. La puissance dissipée est $P_j = RI^2$.

Rendement ($\eta$) :

Rapport de la puissance utile (fournie au circuit extérieur) sur la puissance totale générée par la source (pile). C'est un nombre sans dimension, souvent exprimé en pourcentage.

Courant de Court-Circuit ($I_{cc}$) :

Intensité maximale théorique du courant qu'un générateur peut débiter lorsque ses bornes sont reliées par un conducteur de résistance nulle.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment évolue la tension aux bornes d'une pile au fur et à mesure de son usure ? Quels paramètres ($E$ ou $r$) sont principalement affectés ?

2. Pour quelle valeur de la résistance externe $R_{ext}$ la puissance transférée par la pile à cette résistance est-elle maximale ? (Indice : cela s'appelle l'adaptation d'impédances pour la puissance maximale).

3. Une pile plate est souvent constituée de plusieurs éléments de pile (cellules) en série. Si une pile de 4.5V est faite de 3 cellules de 1.5V en série, comment la résistance interne de la pile plate se compare-t-elle aux résistances internes des cellules individuelles ?

4. Pourquoi est-il déconseillé de court-circuiter une pile, en particulier une pile rechargeable ou une batterie de forte capacité ?

5. Comment tracer expérimentalement la caractéristique $U_{PN} = f(I)$ d'une pile pour déterminer sa f.e.m. $E$ et sa résistance interne $r$ ?

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