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Calcul de Vitesse et Accélération

Calcul de Vitesse et Accélération

Le TGV Prend de la Vitesse : Calculs d'Accélération

De l'arrêt à la grande vitesse : comment ça marche ?

Quand un train comme le TGV quitte la gare, il ne passe pas instantanément de \(0 \, \text{km/h}\) à sa vitesse de croisière. Sa vitesse augmente progressivement. Si cette augmentation de vitesse se fait de manière régulière (la vitesse gagne la même valeur chaque seconde), on parle de mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA). L'accélération est la grandeur qui nous dit de combien la vitesse change chaque seconde. Connaître l'accélération, les vitesses et le temps nous permet de comprendre et de calculer différents aspects du mouvement.

Le Démarrage du TGV "Éclair"

Le TGV "Éclair" est à l'arrêt en gare. Il démarre et accélère en ligne droite pour atteindre sa vitesse de croisière.

Données du démarrage :

  • Vitesse initiale du TGV (\(v_0\)) : \(0 \, \text{km/h}\) (car il est à l'arrêt).
  • Vitesse finale atteinte par le TGV (\(v\)) : \(270 \, \text{km/h}\).
  • Temps mis pour atteindre cette vitesse (\(t\)) : \(5 \, \text{minutes}\).

Pour les calculs, il faudra utiliser les unités du Système International : la vitesse en mètres par seconde (m/s) et le temps en secondes (s). L'accélération sera alors en mètres par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)).

Schéma : Le TGV en phase d'accélération
TGV "Éclair" Phase d'accélération Accélération du TGV

Le TGV augmente sa vitesse de \(0\) à \(270 \, \text{km/h}\) en \(5 \, \text{minutes}\).

Questions à traiter

  1. Qu'est-ce que l'accélération d'un objet ? Dans quelle unité s'exprime-t-elle dans le Système International ?
  2. Convertis la vitesse initiale (\(v_0\)) du TGV en mètres par seconde (m/s).
  3. Convertis la vitesse finale (\(v\)) du TGV de \(270 \, \text{km/h}\) en mètres par seconde (m/s). (Rappel : \(1 \, \text{m/s} = 3,6 \, \text{km/h}\)).
  4. Convertis le temps d'accélération (\(t\)) de \(5 \, \text{minutes}\) en secondes (s).
  5. Calcule la variation de vitesse (\(\Delta v\)) du TGV en m/s.
  6. Calcule l'accélération (\(a\)) du TGV en \(\text{m/s}^2\). (Rappel : \(a = \Delta v / t\)).
  7. Calcule la vitesse moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\)) du TGV pendant cette phase d'accélération, en m/s. (Pour un MUA, \(v_{\text{moyenne}} = (v_0 + v) / 2\)).
  8. Calcule la distance (\(d\)) parcourue par le TGV pendant ces \(5 \, \text{minutes}\) d'accélération. Exprime le résultat en mètres (m) puis en kilomètres (km). (Rappel : \(d = v_{\text{moyenne}} \times t\)).

Correction : Le Démarrage du TGV "Éclair"

Question 1 : Définition de l'accélération et son unité

Réponse :

L'accélération d'un objet est une grandeur physique qui mesure la variation de sa vitesse par unité de temps. Elle indique si l'objet va plus vite, moins vite, ou s'il change de direction.

Dans le Système International (SI), l'unité de l'accélération est le mètre par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)).

Question 2 : Vitesse initiale en m/s

Réponse :

La vitesse initiale du TGV est \(v_0 = 0 \, \text{km/h}\). Puisqu'elle est nulle, elle est aussi égale à \(0 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Conversion de la vitesse finale en m/s

Donnée :
  • Vitesse finale (\(v\)) : \(270 \, \text{km/h}\)
Calcul :
\[ v = \frac{270 \, \text{km/h}}{3,6} = 75 \, \text{m/s} \]
Résultat Question 3 : La vitesse finale du TGV est de \(75 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Conversion du temps d'accélération en secondes

Donnée :
  • Temps d'accélération (\(t\)) : \(5 \, \text{minutes}\)
Calcul :

Sachant que \(1 \, \text{minute} = 60 \, \text{secondes}\) :

\[ t = 5 \, \text{min} \times 60 \, \text{s/min} = 300 \, \text{s} \]
Résultat Question 4 : Le temps d'accélération est de \(300 \, \text{s}\).

Question 5 : Variation de vitesse (\(\Delta v\))

Données :
  • Vitesse finale (\(v\)) : \(75 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse initiale (\(v_0\)) : \(0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta v &= v - v_0 \\ &= 75 \, \text{m/s} - 0 \, \text{m/s} \\ &= 75 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La variation de vitesse du TGV est de \(75 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Calcul de l'accélération (\(a\))

Données :
  • Variation de vitesse (\(\Delta v\)) : \(75 \, \text{m/s}\)
  • Temps (\(t\)) : \(300 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a &= \frac{\Delta v}{t} \\ &= \frac{75 \, \text{m/s}}{300 \, \text{s}} \\ &= 0,25 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'accélération du TGV est de \(0,25 \, \text{m/s}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un objet passe de \(10 \, \text{m/s}\) à \(20 \, \text{m/s}\) en \(2 \, \text{s}\), son accélération est de :

Question 7 : Calcul de la vitesse moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\))

Données :
  • Vitesse initiale (\(v_0\)) : \(0 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse finale (\(v\)) : \(75 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{\text{moyenne}} &= \frac{v_0 + v}{2} \\ &= \frac{0 \, \text{m/s} + 75 \, \text{m/s}}{2} \\ &= \frac{75 \, \text{m/s}}{2} \\ &= 37,5 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La vitesse moyenne du TGV pendant l'accélération est de \(37,5 \, \text{m/s}\).

Question 8 : Calcul de la distance parcourue (\(d\))

Données :
  • Vitesse moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\)) : \(37,5 \, \text{m/s}\)
  • Temps (\(t\)) : \(300 \, \text{s}\)
Calcul en mètres :
\[ \begin{aligned} d &= v_{\text{moyenne}} \times t \\ &= 37,5 \, \text{m/s} \times 300 \, \text{s} \\ &= 11 \, 250 \, \text{m} \end{aligned} \]
Conversion en kilomètres :

Sachant que \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\) :

\[ d = \frac{11 \, 250 \, \text{m}}{1000 \, \text{m/km}} = 11,25 \, \text{km} \]
Résultat Question 8 : Le TGV a parcouru \(11 \, 250 \, \text{m}\), soit \(11,25 \, \text{km}\), pendant ces \(5 \, \text{minutes}\) d'accélération.

Quiz Intermédiaire 2 : Si un objet accélère de \(0 \, \text{m/s}\) à \(10 \, \text{m/s}\) en \(5 \, \text{s}\), sa vitesse moyenne pendant ce temps est de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'accélération est une mesure de la variation de :

2. Pour convertir une vitesse de km/h en m/s, on :

3. Si un objet a une accélération de \(4 \, \text{m/s}^2\), cela signifie que sa vitesse :

Glossaire

Vitesse (\(v\))
Grandeur qui indique la rapidité du déplacement d'un objet et sa direction. Unité SI : mètre par seconde (m/s).
Vitesse Initiale (\(v_0\))
Vitesse d'un objet au début d'une phase de mouvement étudiée.
Vitesse Finale (\(v\))
Vitesse d'un objet à la fin d'une phase de mouvement étudiée.
Variation de Vitesse (\(\Delta v\))
Différence entre la vitesse finale et la vitesse initiale (\(\Delta v = v - v_0\)).
Temps (\(t\))
Durée d'un événement ou d'un mouvement. Unité SI : seconde (s).
Accélération (\(a\))
Variation de la vitesse par unité de temps. \(a = \Delta v / t\). Unité SI : mètre par seconde carrée (\(\text{m/s}^2\)).
Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
Mouvement d'un objet qui se déplace en ligne droite avec une accélération constante (sa vitesse augmente ou diminue régulièrement).
Vitesse Moyenne (\(v_{\text{moyenne}}\))
Pour un MRUA, \(v_{\text{moyenne}} = (v_0 + v) / 2\). Plus généralement, c'est la distance totale divisée par le temps total.
Distance (d)
Longueur du trajet parcouru. Unité SI : mètre (m).
Kilomètre par heure (\(\text{km/h}\))
Unité de vitesse courante. \(1 \, \text{m/s} = 3,6 \, \text{km/h}\).
Système International (SI)
Système d'unités de mesure standard utilisé en sciences.
Calcul de Vitesse et Accélération - Exercice d'Application

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