Calcul de l’intensité du champ gravitationnel

Contexte : Le champ de gravitationPropriété de l'espace due à la masse d'un corps, qui fait qu'un autre corps massique subit une force d'attraction..

Depuis Isaac Newton, nous savons que tous les corps qui ont une masse s'attirent mutuellement. Cette interaction, appelée gravitation, est responsable de la cohésion des planètes, des étoiles et des galaxies. Chaque astre massif, comme la planète Mars, génère autour de lui un champ de gravitation. Dans cet exercice, nous allons calculer l'intensité de ce champ à la surface de Mars, puis nous en déduirons le poids du rover Perseverance, un robot d'exploration scientifique qui s'y trouve actuellement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour bien distinguer deux notions souvent confondues : la masse, qui est une quantité de matière invariable, et le poids, qui est une force dépendant de l'astre sur lequel on se trouve. Vous appliquerez la loi de la gravitation universelle dans un cas concret et pertinent.

Objectifs Pédagogiques

Savoir calculer l'intensité du champ de gravitation (\(g\)) à la surface d'un astre.
Savoir calculer le poids (\(P\)) d'un objet connaissant sa masse et l'intensité de la pesanteur.
Comprendre et différencier les concepts fondamentaux de masse et de poids.

Données de l'étude

On s'intéresse à la planète Mars et au rover d'exploration Perseverance envoyé par la NASA.

Schéma de la situation

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de MarsQuantité totale de matière contenue dans la planète Mars. C'est une valeur constante.	\(M_{\text{Mars}}\)	\(6,417 \times 10^{23}\)	kg
Rayon de MarsLa distance moyenne du centre de Mars à sa surface. On la considère sphérique pour le calcul.	\(R_{\text{Mars}}\)	\(3390\)	km
Masse du rover Perseverance	\(m_{\text{rover}}\)	\(1025\)	kg
Constante de gravitation universelleConstante physique qui détermine l'intensité de la force de gravitation entre deux corps. Sa valeur est la même partout dans l'univers.	\(G\)	\(6,674 \times 10^{-11}\)	\(\text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)

Questions à traiter

Calculer l'intensité du champ de gravitation, notée \(g_{\text{Mars}}\), à la surface de Mars.
En déduire le poids du rover Perseverance, noté \(P_{\text{rover}}\), sur Mars.
Comparer ce poids à celui que le rover aurait sur Terre, sachant que \(g_{\text{Terre}} \approx 9,81 \text{ N/kg}\).

Les bases sur la Gravitation Universelle

La loi de la gravitation universelle, établie par Isaac Newton, décrit la force d'attraction entre deux corps massiques. Cette force est à l'origine du poids des objets et de l'intensité de la pesanteur, notée \(g\).

1. Loi de la Gravitation UniverselleLoi physique décrivant l'attraction entre des corps ayant une masse. Elle a été formulée par Isaac Newton.
Deux corps A et B, de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\), exercent l'un sur l'autre une force d'attraction \(F\) dont la valeur est donnée par : \[ F_{A/B} = G \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \]

2. Poids et Champ de Gravitation
Le poidsForce de gravitation exercée par un astre sur un objet. Il s'exprime en Newtons (N) et dépend du lieu. \(P\) d'un objet de masse \(m\) est la force de gravitation exercée sur lui par un astre. Il est proportionnel à l'intensité du champ de gravitation \(g\) de cet astre : \[ P = m \cdot g \] Cette valeur \(g\) s'exprime en Newton par kilogramme (\(\text{N/kg}\)).

Correction : Calcul de l’intensité du champ gravitationnel

Question 1 : Calcul de l'intensité du champ de gravitation sur Mars (\(g_{\text{Mars}}\))

Principe

Le poids d'un objet à la surface d'un astre est, par définition, la force de gravitation que cet astre exerce sur l'objet. En égalant les deux expressions mathématiques de cette même force (\(P=m \cdot g\) et la loi de Newton), on peut isoler et calculer la valeur de \(g\).

Mini-Cours

La valeur de \(g\) représente l'accélération subie par un objet en chute libre à la surface de l'astre, en l'absence de frottements. C'est une caractéristique propre à l'astre, qui dépend uniquement de sa masse et de son rayon. Tout objet, quelle que soit sa masse, subira la même accélération \(g\) à la surface de Mars.

Remarque Pédagogique

La clé de cette question est de comprendre que deux formules différentes décrivent la même réalité physique (l'attraction de Mars sur un objet). En posant l'égalité entre ces deux formules, on fait apparaître une simplification qui nous donne directement l'expression de \(g\). C'est une méthode de raisonnement très courante en physique.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction (comme un Eurocode), mais aux lois fondamentales de la physique classique, en l'occurrence la loi de la gravitation universelle de Newton, qui est la référence absolue dans ce domaine.

Formule(s)

On part de l'égalité entre le poids et la force de gravitation pour un objet de masse \(m\) à la surface d'un astre de masse \(M\) et de rayon \(R\).

P = F_{\text{gravitation}} \Rightarrow m \cdot g_{\text{astre}} = G \frac{M_{\text{astre}} \cdot m}{R_{\text{astre}}^2}

Formule de l'intensité du champ de gravitation

En simplifiant par la masse \(m\) de l'objet, on obtient la formule qui ne dépend que des caractéristiques de l'astre :

g_{\text{astre}} = G \frac{M_{\text{astre}}}{R_{\text{astre}}^2}

Hypothèses

Pour ce calcul, on considère que la planète Mars est une sphère parfaite et que sa masse est répartie de façon homogène. On néglige l'effet de la rotation de la planète sur elle-même.

Donnée(s)

On utilise les valeurs fournies dans l'énoncé pour la planète Mars.

Constante de gravitation universelle, \(G = 6,674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
Masse de Mars, \(M_{\text{Mars}} = 6,417 \times 10^{23} \text{ kg}\)
Rayon de Mars, \(R_{\text{Mars}} = 3390 \text{ km}\)

Astuces

Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat, souvenez-vous que la gravité sur Mars est plus faible que sur Terre (environ 1/3). Si vous trouvez une valeur proche de 9,81 N/kg ou très supérieure, il y a probablement une erreur dans votre conversion d'unités ou dans l'application de la formule.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente l'astre (Mars) et un objet à sa surface. La distance \(d\) à utiliser dans la formule de Newton correspond ici au rayon de l'astre, \(R_{\text{Mars}}\).

Modélisation pour le calcul de g

Calcul(s)

On applique la formule en faisant attention aux unités.

Étape 1 : Conversion du rayon en mètres

\begin{aligned} R_{\text{Mars}} &= 3390 \text{ km} \\ &= 3390 \times 10^3 \text{ m} \\ &= 3,390 \times 10^6 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Application numérique et calcul

\begin{aligned} g_{\text{Mars}} &= G \frac{M_{\text{Mars}}}{R_{\text{Mars}}^2} \\ &= (6,674 \times 10^{-11}) \frac{6,417 \times 10^{23}}{(3,390 \times 10^6)^2} \\ &= \frac{4,282 \times 10^{13}}{1,149 \times 10^{13}} \\ &\approx 3,727 \text{ N/kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique qui caractérise le champ de gravitation à la surface de Mars. On peut le représenter comme un champ de vecteurs pointant vers le centre de la planète, dont l'intensité est de 3,73 N/kg à la surface.

Champ de gravitation g_Mars

Réflexions

Le résultat de 3,73 N/kg signifie que pour chaque kilogramme de matière, la planète Mars exerce une force d'attraction de 3,73 Newtons. Cette valeur est environ 38% de celle de la Terre (9,81 N/kg), ce qui confirme que la gravité martienne est bien plus faible.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les unités. La constante \(G\) est en N\(\cdot\)m²\(\cdot\)kg⁻², il est donc impératif de convertir le rayon de Mars, donné en kilomètres, en mètres avant de faire le calcul. Attention également à ne pas oublier de mettre le rayon au carré dans la formule.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez ces points clés :

La formule \(g = G \cdot M / R^2\) est fondamentale.
L'intensité de la pesanteur \(g\) ne dépend que de l'astre (sa masse et son rayon), pas de l'objet qui la subit.
La cohérence des unités (Système International : mètres, kilogrammes, secondes) est non-négociable pour l'application numérique.

Le saviez-vous ?

La faible gravité de Mars a des conséquences surprenantes. Par exemple, le Mont Olympe (Olympus Mons) sur Mars est le plus haut volcan du système solaire, culminant à plus de 21 km d'altitude. Une telle structure ne pourrait pas exister sur Terre ; la gravité plus forte la ferait s'effondrer sous son propre poids !

FAQ

Voici les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

Après arrondissement, on obtient la valeur de l'intensité de la pesanteur à la surface de Mars.

\[ g_{\text{Mars}} \approx 3,73 \text{ N/kg} \]

A vous de jouer

La Lune a une masse de \(7,342 \times 10^{22} \text{ kg}\) et un rayon de \(1737 \text{ km}\). En utilisant la même méthode, calculez l'intensité de la pesanteur à sa surface (\(g_{\text{Lune}}\)).

Question 2 : Calcul du poids du rover Perseverance sur Mars (\(P_{\text{rover}}\))

Principe

Maintenant que nous connaissons l'intensité de la pesanteur sur Mars (\(g_{\text{Mars}}\)), nous pouvons calculer le poids du rover en utilisant la relation simple : \(P = m \cdot g\).

Mini-Cours

Le poids est une force, c'est-à-dire une action mécanique capable de déformer un corps ou de modifier son état de mouvement. Il est toujours dirigé verticalement vers le centre de l'astre. C'est cette force qui plaque le rover au sol martien. Son unité dans le Système International est le Newton (N)Unité de mesure d'une force dans le Système International. 1 N est la force nécessaire pour communiquer à une masse de 1 kg une accélération de 1 m/s²..

Remarque Pédagogique

Cette question est une application directe de la précédente. Elle sert à vérifier que vous savez utiliser la valeur de \(g\) que vous venez de calculer et que vous faites bien la distinction entre la masse du rover (en kg) et son poids (en N).

Normes

Comme pour la question 1, ce calcul se base sur les lois fondamentales de la physique et non sur une norme technique spécifique.

Formule(s)

P_{\text{rover}} = m_{\text{rover}} \cdot g_{\text{Mars}}

Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire. On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la question 1.

Donnée(s)

On utilise la masse du rover et le résultat de la question précédente.

Masse du rover, \(m_{\text{rover}} = 1025 \text{ kg}\)
Intensité de la pesanteur martienne, \(g_{\text{Mars}} \approx 3,73 \text{ N/kg}\)

Astuces

Pour avoir une idée intuitive du résultat, vous pouvez vous dire que le poids sur Mars sera environ 40% du poids sur Terre. Le poids terrestre du rover est d'environ \(1025 \times 10 \approx 10250\) N. Le résultat sur Mars devrait donc être autour de 4000 N.

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter le rover posé sur le sol martien et son poids, \(\vec{P}\), modélisé par un vecteur partant de son centre de gravité et pointant vers le centre de Mars.

Modélisation du poids du rover

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} P_{\text{rover}} &= 1025 \text{ kg} \times 3,73 \text{ N/kg} \\ &\approx 3823 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma reste le même, mais on peut maintenant y ajouter la valeur calculée de la force.

Poids du rover sur Mars

Réflexions

Le poids est une force, il s'exprime donc en Newtons (N). Une masse de 1025 kg, qui est considérable sur Terre (équivalente à une petite voiture), se traduit par une force de "seulement" 3823 N sur Mars. Pour soulever le rover sur Mars, il faudrait exercer une force légèrement supérieure à 3823 N, alors que sur Terre, il en faudrait une supérieure à 10000 N !

Points de vigilance

Assurez-vous de ne pas confondre les symboles \(m\) (masse, en kg) et \(P\) (poids, en N). N'oubliez pas l'unité du résultat final : le Newton (N). Une réponse sans unité est une réponse incomplète en physique.

Points à retenir

Le point essentiel à retenir est la relation de proportionnalité directe entre le poids et la masse : \(P=m \cdot g\). Si vous connaissez deux de ces trois grandeurs, vous pouvez toujours trouver la troisième.

Le saviez-vous ?

Le rover Perseverance a été déposé sur Mars par un système complexe appelé "Sky Crane" (grue volante). Lors des dernières secondes de la descente, la grue a doucement treuillé le rover jusqu'au sol. Les ingénieurs ont dû calculer précisément le poids du rover sur Mars pour dimensionner correctement les câbles et les rétrofusées de la grue.

FAQ

Voici les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

Le poids du rover Perseverance sur la planète Mars est d'environ 3823 Newtons.

\[ P_{\text{rover}} \approx 3823 \text{ N} \]

A vous de jouer

Un échantillon de roche martienne a un poids de 1,5 N sur Mars. Quelle est sa masse ? (Utilisez \(g_{\text{Mars}} \approx 3,73 \text{ N/kg}\)).

Question 3 : Comparaison avec le poids sur Terre

Principe

Pour comparer, nous calculons d'abord le poids que le même rover aurait sur Terre en utilisant \(g_{\text{Terre}}\), puis nous pouvons faire le rapport des deux poids pour voir combien de fois le rover est "plus lourd" sur Terre que sur Mars.

Mini-Cours

La comparaison de grandeurs physiques est une démarche essentielle. Elle permet de donner du sens aux nombres. Un résultat de "3823 N" est abstrait, mais dire qu'il est "2,6 fois plus faible que sur Terre" est immédiatement plus parlant. En science, on utilise souvent des rapports ou des pourcentages pour effectuer ces comparaisons.

Remarque Pédagogique

Cette question de synthèse permet de consolider la distinction entre masse et poids. Vous allez voir que la masse (\(1025 \text{ kg}\)) est la même dans les deux calculs, mais que le résultat (le poids en N) change radicalement, illustrant l'influence du champ de gravitation local.

Normes

La valeur de \(g_{\text{Terre}} \approx 9,81 \text{ N/kg}\) est une valeur standard internationale, définie par la Conférence générale des poids et mesures. C'est une valeur de référence pour de nombreux calculs techniques et scientifiques sur notre planète.

Formule(s)

Poids sur Terre

P_{\text{Terre}} = m_{\text{rover}} \cdot g_{\text{Terre}}

Rapport de comparaison

\text{Rapport} = \frac{P_{\text{Terre}}}{P_{\text{Mars}}}

Hypothèses

On utilise la valeur moyenne standard pour la gravité terrestre, sans tenir compte des variations dues à l'altitude ou à la latitude.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et les résultats précédents.

Masse du rover, \(m_{\text{rover}} = 1025 \text{ kg}\)
Poids du rover sur Mars, \(P_{\text{Mars}} \approx 3823 \text{ N}\)
Intensité de la pesanteur terrestre, \(g_{\text{Terre}} \approx 9,81 \text{ N/kg}\)

Astuces

Le rapport des poids (\(P_{\text{Terre}} / P_{\text{Mars}}\)) est mathématiquement identique au rapport des intensités de la pesanteur (\(g_{\text{Terre}} / g_{\text{Mars}}\)), car la masse s'annule : \(\frac{m \cdot g_{\text{Terre}}}{m \cdot g_{\text{Mars}}} = \frac{g_{\text{Terre}}}{g_{\text{Mars}}}\). Vous pouvez vérifier votre calcul en faisant \(9,81 / 3,73\), ce qui doit donner le même rapport.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la comparaison en imaginant le rover sur deux balances différentes, une sur Terre et une sur Mars. La masse indiquée serait la même, mais la force (le poids) mesurée serait différente.

Comparaison des Poids

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du poids du rover sur Terre (\(P_{\text{Terre}}\))

\begin{aligned} P_{\text{Terre}} &= m_{\text{rover}} \cdot g_{\text{Terre}} \\ &= 1025 \text{ kg} \times 9,81 \text{ N/kg} \\ &\approx 10055 \text{ N} \end{aligned}

Étape 2 : Comparaison des deux poids

\begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{P_{\text{Terre}}}{P_{\text{Mars}}} \\ &= \frac{10055}{3823} \\ &\approx 2,63 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent peut être complété avec les valeurs numériques, montrant visuellement la différence d'intensité entre les deux forces de poids.

Rapport des Poids

Réflexions

Le calcul montre que le rover Perseverance est environ 2,6 fois plus lourd sur Terre que sur Mars. Cela illustre parfaitement que le poids d'un objet change en fonction du champ de gravitation, alors que sa masse (1025 kg) reste la même, que ce soit sur Terre, sur Mars, ou dans le vide de l'espace.

Points de vigilance

Lors d'une comparaison, assurez-vous que les grandeurs que vous comparez sont dans la même unité. Ici, les deux poids sont en Newtons, la comparaison est donc valide. Ne faites pas l'erreur de diviser des Newtons par des kilogrammes-force, par exemple.

Points à retenir

La principale leçon est que la masse est une constante, tandis que le poids est une variable locale. Un objet aura un poids différent sur chaque astre du système solaire, mais sa masse ne changera jamais.

Le saviez-vous ?

Les astronautes qui s'entraînent pour des missions spatiales utilisent d'immenses piscines pour simuler une gravité réduite. Cette "flottabilité neutre" leur permet de s'habituer à manipuler des objets lourds avec un effort moindre, simulant les conditions qu'ils rencontreront sur la Lune ou lors de sorties extravéhiculaires.

FAQ

Voici les questions les plus fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

La comparaison met en évidence la différence significative de gravité entre les deux planètes.

Le poids du rover sur Terre (\(P_{\text{Terre}} \approx 10055 \text{ N}\)) est environ 2,6 fois plus élevé que sur Mars (\(P_{\text{Mars}} \approx 3823 \text{ N}\)).

A vous de jouer

Un astronaute et son équipement ont un poids de \(1766\) N sur Terre. Quel serait leur poids sur Mars ? (Utilisez les valeurs de \(g\) de l'exercice).

Outil Interactif : Simulateur de Gravité

Utilisez ce simulateur pour explorer comment l'intensité du champ de gravitation (\(g\)) varie en fonction de la masse et du rayon d'un astre. Observez l'influence de chaque paramètre.

Paramètres de l'Astre

Masse de l'astre (\(10^{23}\) kg) 6.42 x 10²³ kg

Rayon de l'astre (km) 3390 km

Résultats Clés

Intensité de la pesanteur (\(g\)) - N/kg

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un astronaute a une masse de 80 kg sur la Terre. Quelle est sa masse sur la Lune ?

Environ 13 kg.
80 kg.
0 kg, car il flotte.

2. Si le rayon d'une planète double (sans changer de masse), comment évolue l'intensité de la pesanteur \(g\) à sa surface ?

Elle est divisée par 2.
Elle est multipliée par 2.
Elle est divisée par 4.

Glossaire

Champ de gravitation: C'est la région de l'espace où la force de gravitation d'un corps massif peut agir sur un autre corps. L'intensité de ce champ, notée \(g\), diminue avec la distance.
Poids: Le poids d'un objet est la force de gravitation exercée sur cet objet par un astre. C'est une force, exprimée en Newtons (N). Il dépend du lieu où l'on se trouve.
Masse: La masse représente la quantité de matière d'un objet. C'est une grandeur scalaire, exprimée en kilogrammes (kg), qui est invariable quel que soit le lieu.
Constante de gravitation universelle (G): C'est une constante physique fondamentale qui intervient dans la loi de la gravitation. Elle quantifie l'intensité de la force de gravitation.

D’autres exercices de physique premiere:

Calcul de l’intensité du champ gravitationnel

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la situation

Questions à traiter

Les bases sur la Gravitation Universelle

Correction : Calcul de l’intensité du champ gravitationnel

Question 1 : Calcul de l'intensité du champ de gravitation sur Mars (\(g_{\text{Mars}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation pour le calcul de g

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Champ de gravitation g_Mars

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calcul du poids du rover Perseverance sur Mars (\(P_{\text{rover}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du poids du rover

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Poids du rover sur Mars

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Comparaison avec le poids sur Terre

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des Poids

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Rapport des Poids

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Outil Interactif : Simulateur de Gravité

Paramètres de l'Astre

Résultats Clés

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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