Calcul de la Pression dans un Réservoir
Comprendre et calculer la pression exercée par un fluide au fond d'un réservoir et la force résultante.
La pression exercée par un fluide (liquide ou gaz) est une grandeur physique fondamentale. Dans un fluide au repos, la pression augmente avec la profondeur. C'est ce qu'on appelle la pression hydrostatique.
La pression hydrostatique \(P_{hydro}\) exercée par une colonne de fluide de hauteur \(h\) et de masse volumique (densité) \(\rho\) est donnée par la loi fondamentale de l'hydrostatique :
Où :
- \(P_{hydro}\) est la pression hydrostatique en Pascals (Pa).
- \(\rho\) (rhô) est la masse volumique du fluide en kilogrammes par mètre cube (kg/m³).
- \(g\) est l'accélération de la pesanteur (environ \(9.8 \text{ N/kg}\) ou \(9.8 \text{ m/s}^2\) sur Terre).
- \(h\) est la hauteur de la colonne de fluide (profondeur) en mètres (m).
La pression absolue \(P_{abs}\) au fond d'un réservoir ouvert à l'atmosphère est la somme de la pression atmosphérique \(P_{atm}\) et de la pression hydrostatique :
La force \(F\) exercée par une pression \(P\) sur une surface d'aire \(A\) est :
Données du Problème
On considère un réservoir cylindrique ouvert à l'air libre, rempli d'eau :
- Hauteur de l'eau dans le réservoir : \(h = 2.5 \text{ m}\)
- Diamètre intérieur du fond du réservoir : \(D = 1.2 \text{ m}\)
- Masse volumique de l'eau : \(\rho_{eau} = 1000 \text{ kg/m}^3\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.8 \text{ N/kg}\)
- Pression atmosphérique : \(P_{atm} = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\)
On rappelle que l'aire d'un disque de rayon \(R\) est \(A = \pi R^2\) et que le rayon \(R = D/2\).
Questions
- Calculer le rayon \(R\) du fond du réservoir, puis l'aire \(A\) de ce fond.
- Calculer la pression hydrostatique \(P_{hydro}\) exercée par l'eau au fond du réservoir.
- Calculer la pression absolue \(P_{abs}\) au fond du réservoir.
- Calculer la force totale \(F_{eau}\) exercée par l'eau sur le fond du réservoir.
- Si le réservoir était rempli d'huile de masse volumique \(\rho_{huile} = 800 \text{ kg/m}^3\) jusqu'à la même hauteur \(h\), quelle serait la nouvelle pression hydrostatique \(P_{hydro,huile}\) au fond ?
Correction : Calcul de la Pression dans un Réservoir
1. Calcul du Rayon \(R\) et de l'Aire \(A\) du Fond
Le rayon est la moitié du diamètre. L'aire d'un disque est \(A = \pi R^2\).
Donnée : \(D = 1.2 \text{ m}\).
Calcul du rayon :
Calcul de l'aire (on prendra \(\pi \approx 3.14159\)) :
Pour la suite, nous pouvons utiliser une valeur arrondie à \(A \approx 1.13 \text{ m}^2\) ou garder plus de décimales pour la précision.
Le rayon du fond est \(R = 0.6 \text{ m}\).
L'aire du fond est \(A \approx 1.13 \text{ m}^2\).
2. Calcul de la Pression Hydrostatique \(P_{hydro}\)
On utilise la formule \(P_{hydro} = \rho_{eau} \cdot g \cdot h\).
Données : \(\rho_{eau} = 1000 \text{ kg/m}^3\), \(g = 9.8 \text{ N/kg}\), \(h = 2.5 \text{ m}\).
Note : L'unité N/kg \(\times\) m est équivalente à (kg \(\cdot\) m/s²) / kg \(\times\) m = m²/s² \(\times\) kg/m³ = kg / (m \(\cdot\) s²) = Pa.
La pression hydrostatique au fond du réservoir est \(P_{hydro} = 24500 \text{ Pa}\).
Quiz Intermédiaire
3. Calcul de la Pression Absolue \(P_{abs}\)
On utilise la formule \(P_{abs} = P_{atm} + P_{hydro}\).
Données : \(P_{atm} = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(P_{hydro} = 24500 \text{ Pa}\).
La pression absolue au fond du réservoir est \(P_{abs} = 1.258 \times 10^5 \text{ Pa}\).
4. Calcul de la Force \(F_{eau}\) exercée par l'Eau sur le Fond
La force exercée par l'eau est due à la pression hydrostatique. Cependant, la force totale sur le fond inclut l'effet de la pression atmosphérique sur la surface libre de l'eau, qui se transmet. Donc, on utilise la pression absolue pour la force totale exercée par le fluide et l'atmosphère au-dessus. Si la question demande *uniquement* la force due à la colonne d'eau, on utilise \(P_{hydro}\). Si elle demande la force totale sur le fond (ce qui est généralement le cas pour la résistance du fond), on utilise \(P_{abs}\). Ici, "force exercée par l'eau" suggère d'utiliser \(P_{hydro}\). Si la question était "force totale sur le fond", on utiliserait \(P_{abs}\). Clarifions : la force nette due *uniquement* à la colonne d'eau est \(F = P_{hydro} \times A\). La force totale exercée sur la face interne du fond est \(F = P_{abs} \times A\). Vu le contexte "force exercée par l'eau", on prendra \(P_{hydro}\).
Données : \(P_{hydro} = 24500 \text{ Pa}\), \(A \approx 1.13097 \text{ m}^2\).
Si on avait utilisé la pression absolue : \(F_{total\_fond} = (1.258 \times 10^5 \text{ Pa}) \times 1.13097 \text{ m}^2 \approx 142276 \text{ N}\).
La force exercée par la colonne d'eau sur le fond du réservoir est \(F_{eau} \approx 27709 \text{ N}\).
Quiz Intermédiaire
5. Pression Hydrostatique avec de l'Huile
On utilise la même formule \(P_{hydro} = \rho \cdot g \cdot h\), mais avec la masse volumique de l'huile.
Données : \(\rho_{huile} = 800 \text{ kg/m}^3\), \(g = 9.8 \text{ N/kg}\), \(h = 2.5 \text{ m}\).
La pression hydrostatique avec de l'huile serait \(P_{hydro,huile} = 19600 \text{ Pa}\).
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Glossaire des Termes Clés
Pression (\(P\)) :
Force exercée perpendiculairement à une surface, par unité d'aire de cette surface. Unité SI : Pascal (Pa).
Masse Volumique (\(\rho\)) :
Masse d'une substance par unité de volume. Unité SI : kilogramme par mètre cube (kg/m³).
Pression Hydrostatique :
Pression exercée par un fluide au repos, due à son poids. Elle augmente avec la profondeur.
Pression Atmosphérique (\(P_{atm}\)) :
Pression exercée par l'atmosphère terrestre. Au niveau de la mer, elle est d'environ \(1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\).
Pression Absolue (\(P_{abs}\)) :
Pression totale mesurée par rapport au vide absolu (pression nulle).
Pascal (Pa) :
Unité de pression du Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (N/m²).
Force (\(F\)) :
Interaction qui, lorsqu'elle est non équilibrée, modifie le mouvement d'un objet. Unité SI : Newton (N).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la forme d'un réservoir (cylindrique, conique, etc.) affecte-t-elle la pression hydrostatique au fond, pour une même hauteur de liquide ? Et la force sur le fond ?
2. Expliquez le principe des vases communicants en utilisant la notion de pression hydrostatique.
3. Pourquoi un plongeur ressent-il une pression plus forte sur ses tympans lorsqu'il descend en profondeur ?
4. Comment la pression atmosphérique est-elle mesurée ? (Recherchez le baromètre de Torricelli).
5. Si un petit trou est percé sur le côté d'un réservoir rempli d'eau, comment la vitesse de sortie de l'eau varie-t-elle avec la profondeur du trou ? (Loi de Torricelli).
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