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Calcul de la perte de masse du Soleil

Calcul de la Perte de Masse du Soleil

Calcul de la Perte de Masse du Soleil

Comprendre la Perte de Masse du Soleil et l'Équivalence Masse-Énergie

Le Soleil, comme toutes les étoiles, est une immense sphère de gaz chaud qui produit de l'énergie par des réactions de fusion nucléaire en son cœur. Au cours de ces réactions, une petite fraction de la masse des noyaux qui fusionnent est convertie en une quantité colossale d'énergie, conformément à la célèbre relation d'Albert Einstein : \(E = mc^2\). Cette énergie est ensuite rayonnée dans l'espace sous forme de lumière et de chaleur. En rayonnant de l'énergie, le Soleil perd donc continuellement de la masse. Bien que cette perte soit infime par rapport à sa masse totale à chaque instant, elle devient significative sur des échelles de temps astronomiques. Ce processus est fondamental pour comprendre la vie et l'évolution des étoiles.

Données de l'étude

On souhaite estimer la masse perdue par le Soleil chaque seconde en raison de l'énergie qu'il rayonne.

Données utiles :

  • Puissance totale rayonnée par le Soleil (Luminosité solaire) : \(P_{\text{Soleil}} = 3,846 \times 10^{26} \, \text{W}\) (Watts)
  • Vitesse de la lumière dans le vide : \(c = 2,998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Masse totale du Soleil : \(M_{\text{Soleil}} \approx 1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • 1 année \(\approx 3,156 \times 10^7 \, \text{s}\)
Schéma : Soleil rayonnant de l'énergie
Soleil Rayonnement d'énergie (E).

Le Soleil rayonne de l'énergie dans toutes les directions, ce qui entraîne une perte de masse.

Questions à traiter

  1. Énoncer la relation d'équivalence masse-énergie d'Einstein, en précisant la signification et les unités de chaque terme.
  2. Calculer l'énergie totale \(E\) rayonnée par le Soleil en une seconde.
  3. En utilisant la relation d'Einstein, calculer la masse \(\Delta m\) perdue par le Soleil chaque seconde du fait de ce rayonnement.
  4. Calculer la masse perdue par le Soleil en une année.
  5. (Bonus) En supposant que la puissance rayonnée par le Soleil reste constante, estimer la fraction de sa masse totale que le Soleil aura perdue par rayonnement sur une période de 10 milliards d'années (durée de vie approximative sur la séquence principale). Commenter ce résultat.

Correction : Calcul de la Perte de Masse du Soleil

Question 1 : Relation d'équivalence masse-énergie

Principe :

La relation d'équivalence masse-énergie, formulée par Albert Einstein, établit un lien fondamental entre la masse et l'énergie.

La relation d'équivalence masse-énergie s'écrit :

\[E = m c^2\]

Où :

  • \(E\) est l'énergie du système en Joules (\(\text{J}\)).
  • \(m\) est la masse du système en kilogrammes (\(\text{kg}\)).
  • \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide, \(c \approx 2,998 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (ou \(3,00 \times 10^8 \, \text{m/s}\) pour des calculs simplifiés).

Cette relation signifie qu'une masse \(m\) peut être convertie en une quantité d'énergie \(E\), et inversement, une quantité d'énergie \(E\) correspond à une masse \(m\). Une variation d'énergie \(\Delta E\) d'un système s'accompagne d'une variation de masse \(\Delta m\) telle que \(\Delta E = \Delta m c^2\).

Résultat Question 1 : La relation d'équivalence masse-énergie est \(E = mc^2\), où \(E\) est l'énergie (J), \(m\) la masse (kg), et \(c\) la vitesse de la lumière (m/s).

Question 2 : Énergie rayonnée par le Soleil en une seconde

Principe :

L'énergie \(E\) rayonnée pendant une durée \(\Delta t\) par une source de puissance \(P\) est donnée par \(E = P \times \Delta t\). La puissance rayonnée par le Soleil est sa luminosité \(P_{\text{Soleil}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E = P_{\text{Soleil}} \times \Delta t\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(P_{\text{Soleil}} = 3,846 \times 10^{26} \, \text{W}\)
  • \(\Delta t = 1 \, \text{s}\)
\[ \begin{aligned} E &= (3,846 \times 10^{26} \, \text{W}) \times (1 \, \text{s}) \\ &= 3,846 \times 10^{26} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'énergie rayonnée par le Soleil en une seconde est \(E = 3,846 \times 10^{26} \, \text{J}\).

Question 3 : Masse perdue par le Soleil chaque seconde

Principe :

L'énergie \(E\) rayonnée par le Soleil provient de la conversion d'une partie de sa masse \(\Delta m\). On utilise la relation d'Einstein \(\Delta E = \Delta m c^2\), donc \(\Delta m = \Delta E / c^2\). Ici, \(\Delta E\) est l'énergie calculée à la question précédente pour \(\Delta t = 1 \, \text{s}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta m = \frac{E}{c^2}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(E = 3,846 \times 10^{26} \, \text{J}\)
  • \(c = 2,998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
\[ \begin{aligned} \Delta m &= \frac{3,846 \times 10^{26} \, \text{J}}{(2,998 \times 10^8 \, \text{m/s})^2} \\ &= \frac{3,846 \times 10^{26}}{(2,998)^2 \times (10^8)^2} \\ &= \frac{3,846 \times 10^{26}}{8,988004 \times 10^{16}} \\ &\approx 0,42790 \times 10^{10} \, \text{kg} \\ &\approx 4,279 \times 10^9 \, \text{kg} \end{aligned} \]

Cela représente environ 4,28 millions de tonnes de matière converties en énergie chaque seconde !

Résultat Question 3 : La masse perdue par le Soleil chaque seconde est \(\Delta m \approx 4,279 \times 10^9 \, \text{kg}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'énergie libérée par une réaction double, la masse correspondante perdue (selon \(E=mc^2\)) :

Question 4 : Masse perdue par le Soleil en une année

Principe :

On multiplie la masse perdue par seconde par le nombre de secondes dans une année.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta m_{\text{an}} = \Delta m_{\text{seconde}} \times (\text{nombre de secondes dans une année})\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\Delta m_{\text{seconde}} \approx 4,279 \times 10^9 \, \text{kg/s}\)
  • Nombre de secondes dans une année \(\approx 3,156 \times 10^7 \, \text{s}\)
\[ \begin{aligned} \Delta m_{\text{an}} &\approx (4,279 \times 10^9 \, \text{kg/s}) \times (3,156 \times 10^7 \, \text{s/an}) \\ &\approx 13,509 \times 10^{16} \, \text{kg/an} \\ &\approx 1,351 \times 10^{17} \, \text{kg/an} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La masse perdue par le Soleil en une année est d'environ \(\Delta m_{\text{an}} \approx 1,351 \times 10^{17} \, \text{kg}\).

Question 5 : (Bonus) Fraction de masse perdue sur 10 milliards d'années

Principe :

On calcule la masse totale perdue sur 10 milliards d'années, puis on la compare à la masse totale actuelle du Soleil.

Calculs :

Masse perdue en 10 milliards d'années (\(10^{10}\) années) :

\[ \begin{aligned} \Delta M_{\text{total}} &= \Delta m_{\text{an}} \times 10^{10} \, \text{ans} \\ &\approx (1,351 \times 10^{17} \, \text{kg/an}) \times 10^{10} \, \text{ans} \\ &\approx 1,351 \times 10^{27} \, \text{kg} \end{aligned} \]

Fraction de la masse totale du Soleil perdue :

  • \(\Delta M_{\text{total}} \approx 1,351 \times 10^{27} \, \text{kg}\)
  • \(M_{\text{Soleil}} \approx 1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
\[ \begin{aligned} \text{Fraction perdue} &= \frac{\Delta M_{\text{total}}}{M_{\text{Soleil}}} \\ &\approx \frac{1,351 \times 10^{27} \, \text{kg}}{1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}} \\ &\approx 0,000679 \\ &\approx 0,0679 \, \% \end{aligned} \]

Commentaire : Sur une période de 10 milliards d'années (comparable à sa durée de vie sur la séquence principale), le Soleil perdrait environ 0,068 % de sa masse totale actuelle uniquement par rayonnement d'énergie. C'est une fraction très faible, ce qui indique que, bien que la quantité de masse convertie en énergie chaque seconde soit énorme en termes absolus (des millions de tonnes), elle est négligeable par rapport à la masse totale du Soleil, même sur des échelles de temps cosmologiques. Le Soleil ne "s'évapore" donc pas rapidement par ce processus. La perte de masse due au vent solaire est du même ordre de grandeur.

Résultat Question 5 :
  • Masse perdue en 10 milliards d'années : \(\approx 1,351 \times 10^{27} \, \text{kg}\).
  • Fraction de la masse totale perdue : \(\approx 0,068 \, \%\). C'est une perte très faible par rapport à la masse totale du Soleil.

Quiz Intermédiaire 2 : La principale source d'énergie du Soleil est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La relation \(E=mc^2\) signifie que :

7. La puissance rayonnée par le Soleil (sa luminosité) est l'énergie rayonnée :

8. Si la vitesse de la lumière \(c\) était plus petite, la masse perdue par le Soleil pour une même énergie rayonnée serait :

Glossaire

Équivalence masse-énergie
Principe formulé par Albert Einstein (\(E=mc^2\)) stipulant que la masse et l'énergie sont deux formes d'une même entité et peuvent se convertir l'une en l'autre.
Masse (m)
Grandeur physique mesurant la quantité de matière d'un corps et son inertie. Unité SI : kilogramme (kg).
Énergie (E)
Capacité d'un système à produire un travail ou à provoquer un changement. Unité SI : Joule (J).
Vitesse de la lumière (c)
Vitesse à laquelle la lumière se propage dans le vide, environ \(2,998 \times 10^8 \, \text{m/s}\). C'est une constante fondamentale en physique.
Puissance (P)
Quantité d'énergie transférée ou convertie par unité de temps. Unité SI : Watt (W), équivalent à un Joule par seconde (J/s).
Luminosité solaire
Puissance totale rayonnée par le Soleil sous forme d'ondes électromagnétiques (lumière, chaleur, etc.).
Fusion nucléaire
Processus au cours duquel plusieurs noyaux atomiques légers s'assemblent pour former un noyau plus lourd, libérant une grande quantité d'énergie. C'est la source d'énergie principale des étoiles comme le Soleil.
Joule (J)
Unité de mesure de l'énergie dans le Système International.
Watt (W)
Unité de mesure de la puissance dans le Système International.
Kilogramme (kg)
Unité de mesure de la masse dans le Système International.
Calcul de la Perte de Masse du Soleil - Exercice d'Application (Niveau Terminale)

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