Calcul de la Masse et du Volume de l'Eau
Contexte : Gestion technique et sanitaire d'une piscine publique.
La municipalité a finalisé la construction d'un nouveau bassin pédagogique rectangulaire pour les enfants. Avant l'ouverture officielle au public, le responsable technique doit effectuer une série de calculs critiques. Il doit déterminer le VolumeEspace occupé par un objet ou un liquide (se mesure en m³, L, mL...). d'eau nécessaire pour commander la bonne quantité auprès du fournisseur, évaluer la MasseQuantité de matière contenue dans un objet (se mesure en kg ou tonnes). totale pour s'assurer que les fondations en béton supportent la charge, et estimer le temps de remplissage pour planifier l'intervention. Enfin, la sécurité sanitaire des baigneurs dépend d'un dosage précis des produits chimiques.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment des concepts mathématiques simples (volume, proportionnalité) ont des conséquences réelles importantes (sécurité, coût, planification) dans le monde professionnel.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le volume d'un grand parallélépipède rectangle.
- Convertir des mètres cubes (m³) en Litres (L).
- Calculer une masse importante en Tonnes.
- Utiliser la proportionnalité pour un calcul de durée.
- Appliquer une dose de produit chimique (Chlore).
Données de l'étude
Voici les caractéristiques techniques de la piscine et du système de remplissage.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Longueur de la piscine (L) | 10 m |
| Largeur de la piscine (l) | 5 m |
| Profondeur moyenne (h) | 1,5 m |
| Débit du tuyau de remplissage | 5 m³/heure |
| Dosage de Chlore recommandé | 2 g par m³ |
Schéma de la Piscine
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Volume Total | V | ? | m³ |
| Masse Totale | m | ? | kg |
Questions à traiter
- Calculer le volume d'eau en mètres cubes (m³).
- Convertir ce volume en Litres (L).
- Calculer la masse de cette eau en Tonnes.
- Combien de temps faudra-t-il pour remplir la piscine ?
- Quelle masse de Chlore faut-il ajouter pour traiter l'eau ?
Les bases théoriques
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois concepts clés : le volume géométrique, la relation masse-volume de l'eau et la notion de débit.
1. Le Volume (L'espace occupé)
Imaginez que vous remplissez la piscine avec des énormes "cubes" de 1 mètre de côté. Le volume en mètres cubes (m³), c'est le nombre de ces cubes qui rentrent dedans.
Pour un objet rectangulaire (pavé droit), la formule est intuitive : on multiplie la surface au sol (L x l) par la hauteur (h).
Formule du Volume
2. La Masse Volumique (Le poids du liquide)
Le volume mesure la place, la masse mesure la lourdeur. Pour l'eau, c'est très simple (c'est une propriété unique et pratique) :
• Si vous prenez 1 Litre d'eau, il pèse exactement 1 kg sur la balance.
• Si vous prenez un gros cube d'un mètre de côté (1 m³), il contient 1000 Litres et pèse donc 1000 kg (soit 1 Tonne).
Correspondances
3. Le Débit (La vitesse de remplissage)
Le débit, c'est un peu comme la "vitesse" de l'eau dans le tuyau. Si le débit est de 5 m³/h, cela veut dire qu'en une heure, on aura rempli 5 cubes de 1m³.
Pour savoir combien de temps il faut pour tout remplir, on divise la quantité totale par la vitesse de remplissage.
Formule du Temps
Correction : Calcul de la Masse et du Volume de l'Eau
Question 1 : Calcul du volume en m³
Principe
Pour déterminer le volume de la piscine, qui est de forme rectangulaire (on appelle cela un pavé droit ou parallélépipède rectangle), on doit visualiser l'espace intérieur. Ce volume s'obtient en multipliant les trois dimensions principales : la longueur, la largeur et la profondeur (hauteur d'eau). Cette opération nous donne la "place" disponible pour l'eau en trois dimensions.
Mini-Cours
Le Volume : C'est la mesure de l'espace occupé par un objet en 3 dimensions (longueur, largeur, hauteur). L'unité officielle est le mètre cube (m³).
Un mètre cube correspond au volume d'un cube dont chaque côté mesure 1 mètre. Pour calculer le volume d'un parallélépipède, la formule est toujours : Surface de base × Hauteur.
Remarque Pédagogique
Avant de vous lancer dans le calcul, vérifiez toujours que toutes vos mesures sont dans la même unité. Ici, tout est en mètres (m), donc c'est parfait. Si vous aviez des centimètres et des mètres, il faudrait d'abord tout convertir en mètres.
Normes
Dans le système international d'unités (SI), l'unité de base pour les longueurs est le mètre (m) et pour les volumes, c'est le mètre cube (m³). C'est l'unité utilisée dans le bâtiment et les travaux publics pour les piscines, le béton, etc.
Formule(s)
Formule du Volume du Pavé Droit
Volume
Hypothèses
Pour cet exercice, nous posons deux hypothèses simplificatrices :
- La piscine est un parallélépipède rectangle parfait (pas de formes courbes).
- Le fond est plat, c'est-à-dire que la profondeur est la même partout (1,5 m constant).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur | L | 10 | m |
| Largeur | l | 5 | m |
| Profondeur | h | 1,5 | m |
Astuces
Calcul mental : Multiplier par 1,5 revient à prendre le nombre et à lui ajouter sa moitié.
Exemple : 10 x 1,5. La moitié de 10 est 5. Donc 10 + 5 = 15.
Piscine Vide (Dimensions)
Calcul(s)
Multiplication des dimensions
On remplace les lettres de la formule par les valeurs numériques données :
Calcul
Le résultat numérique est 75. Il reste à déterminer l'unité.
Unité finale
Comme nous avons multiplié des mètres par des mètres par des mètres, le résultat est en mètres "cubes" (m³).
Schéma (Résultat)
Réflexions
75 mètres cubes est un volume important. Pour vous donner une idée, cela correspond au volume d'un grand appartement de 30 m² avec un plafond standard (2,5m de haut). C'est beaucoup d'eau !
Points de vigilance
Erreur fréquente : Attention à l'unité ! N'écrivez jamais 75 m² (ce serait une surface, comme un tapis) ni 75 m (ce serait une longueur, comme une corde). Le petit "3" en exposant dans m³ est obligatoire pour un volume.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule du volume : V = L x l x h.
- L'unité de volume standard est le mètre cube (m³).
Le saviez-vous ?
Une piscine olympique officielle mesure 50m de long sur 25m de large, avec une profondeur minimale de 2m. Son volume est d'au moins 2500 m³, soit plus de 33 fois la piscine de cet exercice !
FAQ
Pourquoi la profondeur est-elle de 1,5 m ?
C'est une profondeur standard pour les piscines familiales ou de loisirs ("petit bassin"), permettant aux adultes d'avoir pied tout en pouvant nager confortablement.
A vous de jouer
Si la profondeur était de 2 mètres au lieu de 1,5 m, quel serait le nouveau volume ?
📝 Mémo
V = L x l x h.
Question 2 : Conversion en Litres
Principe
Le mètre cube est pratique pour mesurer l'espace (le béton, la terre), mais pour les liquides (l'eau, le lait, l'essence), on utilise beaucoup plus souvent le Litre dans la vie quotidienne. Nous devons donc convertir notre résultat.
Mini-Cours
Il existe une correspondance fondamentale à connaître par cœur :
1 m³ = 1000 Litres.
Cela signifie que dans un cube d'un mètre de côté, on peut verser 1000 bouteilles d'un litre. C'est énorme !
Remarque Pédagogique
Pourquoi 1000 ? Parce que 1 m = 10 dm. Donc 1 m³ = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1000 dm³. Or, 1 dm³ est exactement égal à 1 Litre.
Normes
Bien que le Litre (L) ne soit pas l'unité officielle du système international (qui préfère le m³), son usage est accepté et standardisé partout dans le monde pour les fluides.
Formule(s)
Facteur de conversion
Conversion
Hypothèses
Il s'agit d'une conversion mathématique pure, il n'y a pas d'hypothèse physique particulière ici.
Donnée(s)
| Volume en m³ | Facteur Multiplicatif |
|---|---|
| 75 | x 1000 |
Astuces
Astuce rapide : Pour passer des m³ aux Litres, il suffit d'ajouter trois zéros à la fin du nombre (s'il est entier) ou de décaler la virgule de 3 rangs vers la droite.
Comparaison Visuelle
Calcul(s)
Substitution
On reprend notre volume de 75 m³ et on utilise le coefficient 1000 :
L'opération est une simple multiplication par mille.
Résultat
Effectuons le calcul :
On obtient 75 000. Cela correspond au nombre de bouteilles d'un litre nécessaires pour remplir la piscine.
Schéma (Résultat)
Réflexions
75 000 Litres est un nombre très grand, difficile à imaginer. C'est pourquoi on préfère souvent parler en m³ pour les piscines, car les nombres sont plus petits et maniables.
Points de vigilance
Ne confondez pas la conversion m³ -> L (on multiplie par 1000) avec cm³ -> L (où on divise par 1000). Rappelez-vous : le m³ est l'unité "géante", le Litre est l'unité "moyenne", le cm³ est l'unité "minuscule".
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- m³ est beaucoup plus grand que L.
- Pour convertir des m³ en Litres, on multiplie par 1000.
Le saviez-vous ?
Un être humain boit en moyenne 2 Litres d'eau par jour. Cette piscine contient assez d'eau pour hydrater une personne pendant plus de 102 ans ! (75000 / 2 / 365).
FAQ
Est-ce que 1 m³ est égal à 100 L ?
Non ! C'est une erreur fréquente. 1 m = 10 dm, donc 1 m³ = 10 x 10 x 10 = 1000 dm³. C'est bien 1000 Litres.
A vous de jouer
Combien de litres y a-t-il dans 2,5 m³ d'eau ?
📝 Mémo
m³ -> x1000 -> Litres.
Question 3 : Calcul de la Masse
Principe
On cherche maintenant à connaître la masse totale de l'eau contenue dans la piscine. Pour cela, on utilise une propriété physique essentielle de l'eau qui lie son volume à sa masse.
Mini-Cours
La Masse Volumique de l'eau : L'eau a une particularité très simple :
1 Litre d'eau = 1 kg.
Par conséquent, comme 1000 L = 1000 kg et que 1000 kg = 1 Tonne, on a aussi :
1 m³ d'eau = 1 Tonne.
Remarque Pédagogique
L'utilisation de la Tonne (t) est ici beaucoup plus adaptée que le kilogramme (kg) pour éviter d'écrire des nombres avec trop de zéros.
Normes
La tonne (t) est une unité de masse dérivée, égale à 1000 kg. Elle est standard dans l'industrie, le transport et le génie civil.
Formule(s)
Relation Volume-Masse (Eau)
Masse
Hypothèses
On considère que l'eau est de l'eau douce (non salée) et à température ambiante (environ 20°C), ce qui valide l'approximation 1L = 1kg.
Donnée(s)
| Volume | Correspondance Eau |
|---|---|
| 75 m³ | 1 m³ -> 1 Tonne |
Astuces
Pour de l'eau douce, le chiffre du volume en m³ est identique au chiffre de la masse en Tonnes ! C'est magique.
Correspondance Volume / Masse
Calcul(s)
Substitution
Puisque nous avons 75 m³ d'eau et que chaque m³ pèse 1 Tonne, on remplace :
Résultat
Le calcul est immédiat :
La masse est donc de 75 Tonnes.
En kilogrammes (pour info)
Si on voulait le résultat en kg, on multiplierait par 1000 :
Cela fait 75 000 kg, soit le poids de 1000 adultes de 75kg !
Schéma (Résultat)
Réflexions
75 tonnes est une masse considérable. C'est l'équivalent d'environ 50 voitures moyennes ou d'un grand avion de ligne au décollage. Cela explique pourquoi la structure d'une piscine doit être très solide (béton armé).
Points de vigilance
Attention : Cette égalité (1 L = 1 kg) ne fonctionne QUE pour l'eau (et le lait/vinaigre environ). Si la piscine était remplie d'essence, elle serait plus légère. Si elle était remplie de mercure, elle serait 13 fois plus lourde !
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- 1 Litre d'eau = 1 kg.
- 1 m³ d'eau = 1 Tonne.
Le saviez-vous ?
Un camion-citerne standard transporte généralement entre 25 et 30 tonnes de liquide. Il faudrait donc environ 3 camions pour remplir cette piscine si elle n'était pas reliée au réseau d'eau !
FAQ
L'eau salée pèse-t-elle plus lourd ?
Oui ! L'eau de mer contient du sel dissous. Sa masse volumique est d'environ 1,025 kg/L. Pour 75 m³, cela ferait environ 77 tonnes.
A vous de jouer
Quelle est la masse de 10 m³ d'eau douce en tonnes ?
📝 Mémo
Volume (m³) = Masse (Tonnes) pour l'eau.
Question 4 : Temps de remplissage
Principe
Nous devons calculer la durée nécessaire pour remplir un réservoir de 75 m³ sachant que l'eau arrive à une certaine vitesse, appelée "débit".
Mini-Cours
Le Débit : C'est la quantité de liquide qui s'écoule pendant une unité de temps. Ici, on nous donne 5 m³/h (5 mètres cubes par heure). Cela signifie que chaque heure, 5 m³ d'eau entrent dans la piscine.
Le temps s'obtient en divisant le volume total par le débit.
Remarque Pédagogique
C'est une situation classique de proportionnalité. Si on met 1h pour 5m³, combien d'heures pour 75m³ ? On cherche combien de fois "5" rentre dans "75".
Normes
Le débit s'exprime en volume par temps (L/min, m³/h, m³/s). Pour les piscines, le m³/h est l'unité standard des pompes de filtration.
Formule(s)
Formule du Temps
Temps
Hypothèses
On suppose que le débit est constant : le robinet coule toujours à la même vitesse du début à la fin, sans interruption.
Donnée(s)
| Volume (V) | Débit (D) |
|---|---|
| 75 m³ | 5 m³/h |
Astuces
Diviser par 5, c'est comme diviser par 10 puis multiplier par 2.
Exemple : 75 / 10 = 7,5. Et 7,5 x 2 = 15.
Remplissage au tuyau
Calcul(s)
Substitution
On remplace le Volume par 75 et le Débit par 5 :
Résultat numérique
On effectue la division 75 divisé par 5. Comme 5 x 10 = 50 et 5 x 5 = 25, le total est 15.
Le quotient est exact. Il faudra 15 heures pleines.
Schéma (Résultat)
Réflexions
15 heures est une durée longue mais réaliste pour une piscine. Cela signifie qu'il faut lancer le remplissage la veille au soir pour que la piscine soit pleine le lendemain midi.
Points de vigilance
Unité des temps : Si le résultat de la division était un nombre décimal (ex: 15,5), n'oubliez pas que 0,5 heure correspond à 30 minutes, et non 50 minutes !
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Temps = Volume / Débit.
- Vérifiez toujours que le volume et le débit utilisent la même unité de volume (ici m³).
Le saviez-vous ?
Les lances d'incendie des pompiers ont un débit beaucoup plus élevé : environ 30 à 60 m³/h. Elles pourraient remplir cette piscine en moins de 2 heures !
FAQ
Peut-on aller plus vite ?
Oui, en utilisant deux tuyaux identiques simultanément, on doublerait le débit (10 m³/h) et on diviserait le temps par deux (7,5 h).
A vous de jouer
Si le débit était de 10 m³/h (deux tuyaux), quel serait le temps ?
📝 Mémo
Temps = Quantité totale / Vitesse.
Question 5 : Quantité de Chlore
Principe
Pour garder l'eau propre et sans microbes, on ajoute du chlore. La dose recommandée est donnée par mètre cube d'eau. Nous devons calculer la quantité totale de produit nécessaire pour tout le volume de la piscine.
Mini-Cours
La Concentration / Le Dosage : C'est la quantité de produit à mettre dans un certain volume de liquide. Ici, le dosage est de "2 g par m³". Cela signifie que pour chaque m³ d'eau, on ajoute 2 g de chlore.
Remarque Pédagogique
C'est une simple multiplication (proportionnalité). Imaginez une recette de gâteau : "2 œufs pour 1 personne". Pour 75 personnes, il faut 75 x 2 œufs.
Normes
Le traitement de l'eau est strictement réglementé. Un sous-dosage rend l'eau sale (bactéries), un sur-dosage est dangereux pour la peau et les yeux. La précision est capitale.
Formule(s)
Calcul de Dose Totale
Masse produit
Hypothèses
On suppose qu'il s'agit du premier traitement (piscine neuve remplie d'eau du robinet) et que la dose de 2g/m³ est suffisante pour le démarrage.
Donnée(s)
| Volume Total | Dose recommandée |
|---|---|
| 75 m³ | 2 g/m³ |
Astuces
Le résultat de la multiplication sera dans l'unité de la dose. Ici la dose est en grammes, donc le résultat sera en grammes.
Principe du Dosage
Calcul(s)
Substitution
On multiplie le volume (75) par la dose (2) :
Résultat
75 x 2 = 150. L'unité est le gramme.
Schéma (Résultat)
Réflexions
150g, c'est très peu ! C'est le poids d'une pomme ou d'un steak. Cela montre à quel point les produits chimiques comme le chlore sont puissants : une toute petite quantité suffit pour traiter une énorme masse d'eau (75 tonnes !).
Points de vigilance
Erreur grave : Ne confondez pas grammes et kilogrammes ! Si vous mettiez 150 kg de chlore au lieu de 150 g, la piscine deviendrait toxique et dangereuse.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Quantité Totale = Volume x Dose unitaire.
- Faites attention aux unités de masse (g, kg).
Le saviez-vous ?
Le chlore ne "nettoie" pas l'eau (il n'enlève pas les feuilles), il la "désinfecte" en tuant les micro-organismes invisibles (bactéries, algues).
FAQ
Doit-on mettre le chlore avant ou après l'eau ?
Il ne faut jamais mettre d'eau sur du chlore pur (risque de projection). On dissout le chlore dans un seau d'eau avant de le verser dans la piscine, ou on le met dans les skimmers une fois la piscine pleine.
A vous de jouer
Si la dose recommandée était de 5 g/m³ (traitement choc), quelle quantité faudrait-il ?
📝 Mémo
Multiplication simple : Volume x Dose.
Bilan de l'Exercice
Synthèse visuelle de toutes les étapes calculées pour la piscine.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici les concepts clés de cet exercice :
-
🔑
Point Clé 1 : Volume
Pour un pavé droit, V = L x l x h. L'unité standard est le m³. -
⚖️
Point Clé 2 : Masse de l'eau
Correspondance facile : 1 m³ = 1 Tonne et 1 L = 1 kg. -
⏱️
Point Clé 3 : Durée
Pour trouver un temps, on divise la quantité totale par le débit (vitesse). -
🧪
Point Clé 4 : Dosage
Pour trouver une quantité de produit, on multiplie le Volume par la Dose unitaire.
🎛️ Simulateur : Remplissage
Modifiez le volume de la piscine et le débit du tuyau pour voir le temps nécessaire.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quel volume occupe 1 Tonne d'eau pure ?
2. Si le débit double, le temps de remplissage...
📚 Glossaire
- Volume
- Mesure de l'espace occupé par un objet à 3 dimensions. Unité SI : mètre cube.
- Masse
- Quantité de matière d'un corps. Unité SI : kilogramme.
- Débit
- Volume de liquide qui s'écoule pendant une unité de temps (ex: litres par minute, m³ par heure).
- Parallélépipède
- Solide géométrique dont les 6 faces sont des rectangles (forme de boîte).
- Conversion
- Passage d'une unité de mesure à une autre pour la même grandeur (ex: m³ vers Litres).
Le Saviez-vous ?
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