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Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique

Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique (Niveau 3ème)

Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique

Comprendre la Physique du Saut à l'Élastique

Le saut à l'élastique est une activité qui met en jeu plusieurs principes fondamentaux de la mécanique classique. Au cours du saut, l'énergie potentielle de pesanteur du sauteur est convertie en énergie cinétique pendant la phase de chute libre. Lorsque l'élastique commence à se tendre, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur restante sont progressivement transformées en énergie potentielle élastique stockée dans l'élastique. En négligeant les frottements de l'air, l'énergie mécanique totale du système (sauteur + Terre + élastique) peut être considérée comme conservée si l'on tient compte de toutes ces formes d'énergie. L'analyse de ces transformations d'énergie permet de comprendre la dynamique du saut et de calculer des grandeurs clés comme la vitesse maximale ou l'allongement maximal de l'élastique.

Données de l'étude : Saut depuis un Pont

Une personne de masse \(m = 70.0 \, \text{kg}\) effectue un saut à l'élastique depuis un pont. La plateforme de saut se trouve à une hauteur \(H = 50.0 \, \text{m}\) au-dessus de la surface d'une rivière.

L'élastique utilisé a une longueur à vide (non tendu) \(L_0 = 15.0 \, \text{m}\). Au point le plus bas de sa trajectoire, le sauteur se trouve à une hauteur minimale \(h_{\text{min}} = 5.0 \, \text{m}\) au-dessus de la rivière.

Constantes et informations :

  • Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • On négligera les frottements de l'air et la masse de l'élastique.
  • Le point de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur sera la surface de la rivière (\(E_p = 0\) à \(h=0\)).
Schéma : Saut à l'Élastique
Plateforme (H) Départ L₀ Élastique tendu Point bas (hmin) Rivière (h=0) H Différentes phases du saut à l'élastique.

Un sauteur plonge d'une plateforme, l'élastique se tend puis le freine.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{p, \text{initiale}}\)) du sauteur sur la plateforme par rapport à la surface de la rivière.
  2. Quelle est la distance de chute libre du sauteur avant que l'élastique ne commence à se tendre ?
  3. En utilisant le principe de conservation de l'énergie mécanique (en négligeant les frottements de l'air), calculer la vitesse (\(v_1\)) du sauteur juste au moment où l'élastique commence à se tendre.
  4. Calculer l'allongement maximal (\(x_{\text{max}}\)) de l'élastique lorsque le sauteur atteint son point le plus bas.
  5. Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{p, \text{finale}}\)) du sauteur à son point le plus bas ?
  6. En supposant que la vitesse du sauteur est nulle à son point le plus bas, quelle quantité d'énergie a été emmagasinée par l'élastique sous forme d'énergie potentielle élastique (\(E_{pe}\)) à ce moment-là ?

Correction : Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique

Question 1 : Énergie potentielle de pesanteur initiale (\(E_{p, \text{initiale}}\))

Principe :

L'énergie potentielle de pesanteur (\(E_p\)) d'un objet de masse \(m\) à une hauteur \(h\) par rapport à un niveau de référence est donnée par \(E_p = mgh\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_p = mgh \]
Données spécifiques :
  • Masse du sauteur (\(m\)) : \(70.0 \, \text{kg}\)
  • Hauteur de la plateforme (\(H\)) : \(50.0 \, \text{m}\) (c'est la hauteur initiale \(h\))
  • Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{p, \text{initiale}} &= (70.0 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (50.0 \, \text{m}) \\ &= 686.7 \, \text{N} \times 50.0 \, \text{m} \\ &= 34335 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie potentielle de pesanteur initiale du sauteur est \(E_{p, \text{initiale}} = 34335 \, \text{J}\) (ou \(34.335 \, \text{kJ}\)).

Question 2 : Distance de chute libre

Principe :

La chute libre se produit tant que l'élastique n'est pas tendu, c'est-à-dire sur une distance égale à la longueur à vide de l'élastique (\(L_0\)).

Données spécifiques :
  • Longueur à vide de l'élastique (\(L_0\)) : \(15.0 \, \text{m}\)
Résultat Question 2 : La distance de chute libre du sauteur est de \(15.0 \, \text{m}\).

Question 3 : Vitesse (\(v_1\)) lorsque l'élastique commence à se tendre

Principe :

Pendant la chute libre, l'énergie mécanique se conserve (en négligeant les frottements de l'air). L'énergie potentielle de pesanteur perdue est convertie en énergie cinétique. Énergie potentielle perdue : \(\Delta E_p = mgL_0\). Énergie cinétique gagnée : \(E_k = \frac{1}{2}mv_1^2\). Donc, \(mgL_0 = \frac{1}{2}mv_1^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ mgL_0 = \frac{1}{2}mv_1^2 \Rightarrow v_1 = \sqrt{2gL_0} \]
Données spécifiques :
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(L_0 = 15.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_1 &= \sqrt{2 \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (15.0 \, \text{m})} \\ &= \sqrt{294.3 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &\approx 17.155 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse du sauteur lorsque l'élastique commence à se tendre est \(v_1 \approx 17.16 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Allongement maximal (\(x_{\text{max}}\)) de l'élastique

Principe :

Le point le plus bas est à \(h_{\text{min}}\) au-dessus de la rivière. La longueur totale de l'élastique tendu est la distance entre la plateforme et ce point bas, moins la hauteur de la plateforme au-dessus du point d'attache de l'élastique (ici on suppose que l'élastique est attaché au niveau de la plateforme de saut). La distance totale de chute depuis la plateforme jusqu'au point le plus bas est \(H - h_{\text{min}}\). Cette distance est égale à la longueur à vide de l'élastique plus son allongement maximal : \(L_0 + x_{\text{max}} = H - h_{\text{min}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ x_{\text{max}} = (H - h_{\text{min}}) - L_0 \]
Données spécifiques :
  • \(H = 50.0 \, \text{m}\)
  • \(h_{\text{min}} = 5.0 \, \text{m}\)
  • \(L_0 = 15.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} x_{\text{max}} &= (50.0 \, \text{m} - 5.0 \, \text{m}) - 15.0 \, \text{m} \\ &= 45.0 \, \text{m} - 15.0 \, \text{m} \\ &= 30.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'allongement maximal de l'élastique est \(x_{\text{max}} = 30.0 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'énergie potentielle de pesanteur dépend de :

Question 5 : Énergie potentielle de pesanteur finale (\(E_{p, \text{finale}}\))

Principe :

L'énergie potentielle de pesanteur au point le plus bas est calculée par rapport à la surface de la rivière (\(h=0\)), avec la hauteur \(h = h_{\text{min}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{p, \text{finale}} = m g h_{\text{min}} \]
Données spécifiques :
  • \(m = 70.0 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(h_{\text{min}} = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{p, \text{finale}} &= (70.0 \, \text{kg}) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) \times (5.0 \, \text{m}) \\ &= 686.7 \, \text{N} \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 3433.5 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie potentielle de pesanteur du sauteur à son point le plus bas est \(E_{p, \text{finale}} = 3433.5 \, \text{J}\).

Question 6 : Énergie potentielle élastique (\(E_{pe}\)) emmagasinée

Principe :

Au point le plus bas, la vitesse du sauteur est momentanément nulle (\(E_k = 0\)). L'énergie mécanique totale initiale (sur la plateforme, purement potentielle de pesanteur) s'est transformée en énergie potentielle de pesanteur finale et en énergie potentielle élastique stockée dans l'élastique. \(E_{p, \text{initiale}} = E_{p, \text{finale}} + E_{pe, \text{max}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{pe, \text{max}} = E_{p, \text{initiale}} - E_{p, \text{finale}} \]
Données spécifiques :
  • \(E_{p, \text{initiale}} = 34335 \, \text{J}\) (de la Question 1)
  • \(E_{p, \text{finale}} = 3433.5 \, \text{J}\) (de la Question 5)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{pe, \text{max}} &= 34335 \, \text{J} - 3433.5 \, \text{J} \\ &= 30901.5 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'énergie potentielle élastique maximale emmagasinée par l'élastique est \(E_{pe, \text{max}} \approx 30902 \, \text{J}\) (ou \(30.90 \, \text{kJ}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Lors d'un saut à l'élastique, lorsque l'élastique est le plus tendu (au point le plus bas), l'énergie cinétique du sauteur est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'énergie potentielle de pesanteur d'un objet augmente si :

2. L'énergie cinétique d'un objet est donnée par la formule :

3. Lors de la phase de chute où l'élastique se tend, quelle transformation d'énergie principale a lieu ?

Glossaire

Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\))
Énergie qu'un objet possède en raison de sa position dans un champ de pesanteur. \(E_p = mgh\), où \(m\) est la masse, \(g\) l'accélération due à la pesanteur, et \(h\) la hauteur.
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie qu'un objet possède en raison de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\), où \(m\) est la masse et \(v\) la vitesse.
Énergie Potentielle Élastique (\(E_{pe}\))
Énergie emmagasinée dans un objet élastique (comme un ressort ou un élastique) lorsqu'il est déformé (étiré ou comprimé).
Conservation de l'Énergie Mécanique
En l'absence de forces non conservatives (comme les frottements), la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle (pesanteur, élastique) d'un système reste constante.
Chute Libre
Mouvement d'un objet soumis uniquement à la force de pesanteur (les autres forces, comme la résistance de l'air, sont négligées).
Allongement (\(x\))
Différence entre la longueur d'un élastique (ou ressort) tendu et sa longueur à vide.
Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique - Exercice d'Application

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