Analyse des Forces en Jeu sur une Pente
Comprendre l’Analyse des Forces en Jeu sur une Pente
Alice participe à une course de caisses à savon. Sa caisse à savon, sans pilote, a une masse de 50 kg. Elle descend une colline inclinée de 30° par rapport à l’horizontale. On néglige la résistance de l’air mais pas le frottement entre les roues de la caisse et la route. Le coefficient de frottement cinétique entre les roues et la route est de 0.15.
Données:
- Masse de la caisse à savon : m = 50 kg
- Angle d’inclinaison de la colline : \(\theta = 30^\circ\)
- Coefficient de frottement cinétique : \(\mu_k = 0.15\)
- Accélération due à la gravité : \(g = 9.81\, \text{m/s}^2\)
Questions:
- Calcule la force de gravité agissant sur la caisse à savon.
- Détermine la composante de la force de gravité parallèle à la pente.
- Calcule la force de frottement agissant sur la caisse à savon.
- Enfin, détermine l’accélération de la caisse à savon en descente.
Correction : Analyse des Forces en Jeu sur une Pente
1. Calcul de la Force de Gravité Agissant sur la Caisse à Savon
La force de gravité (ou poids) est donnée par la formule :
\[\vec{P} = m \times g\]
Données
- Masse : \( m \) = \( 50\, \text{kg} \)
- Accélération due à la gravité : \( g \) = \( 9.81\, \text{m/s}^2 \)
En substituant les valeurs :
\[P = 50\, \text{kg} \times 9.81\, \text{m/s}^2\]
\[P = 490.5\, \text{N}\]
Interprétation : La caisse à savon subit une force de gravité de \(490.5\, \text{N}\) dirigée verticalement vers le bas.
2. Composante de la force de gravité parallèle à la pente
La composante parallèle du poids est donnée par :
\[P_{\parallel} = m \times g \times \sin(\theta)\]
Avec \(\theta = 30^\circ\) et sachant que \(\sin(30^\circ) = 0.5\), on a :
\[P_{\parallel} = 50\, \text{kg} \times 9.81\, \text{m/s}^2 \times 0.5\]
\[P_{\parallel} = 490.5\, \text{N} \times 0.5\]
\[P_{\parallel} = 245.25\, \text{N}\]
Interprétation : La composante du poids qui tend à faire descendre la caisse le long de la pente est de \(245.25\, \text{N}\).
3. Calcul de la force de frottement agissant sur la caisse
La force de frottement cinétique s’exprime par :
\[F_{\text{frott}} = \mu_k \times N\]
où \(N\) est la force normale.
Pour une pente, la force normale est :
\[N = m \times g \times \cos(\theta)\]
Avec \(\cos(30^\circ) \approx 0.8660\)
- Calcul de la force normale :
\[N = 50\, \text{kg} \times 9.81\, \text{m/s}^2 \times 0.8660\]
\[N = \approx 50 \times 9.81 \times 0.8660\]
Calculons d’abord :
\[50 \times 9.81 = 490.5\, \text{N}\]
Puis :
\[N \approx 490.5\, \text{N} \times 0.8660\]
\[N \approx 424.76\, \text{N}\]
- Calcul de la force de frottement :
\[F_{\text{frott}} = 0.15 \times 424.76\, \text{N}\]
\[F_{\text{frott}} \approx 63.71\, \text{N}\]
Interprétation : La force de frottement, qui s’oppose au mouvement le long de la pente, est d’environ \(63.71\, \text{N}\).
4. Détermination de l’accélération de la caisse en descente
Pour déterminer l’accélération, nous utilisons la deuxième loi de Newton le long de la direction de la pente. La force nette \(F_{\text{net}}\) agissant sur la caisse est la différence entre la composante parallèle de la gravité et la force de frottement.
Cela donne :
\[F_{\text{net}} = P_{\parallel} – F_{\text{frott}}\]
En substituant les valeurs :
\[F_{\text{net}} = 245.25\, \text{N} – 63.71\, \text{N}\]
\[F_{\text{net}} = 181.54\, \text{N}\]
L’accélération \(a\) est alors :
\[a = \frac{F_{\text{net}}}{m}\]
\[a = \frac{181.54\, \text{N}}{50\, \text{kg}}\]
\[a = 3.6308\, \text{m/s}^2\]
Interprétation : La caisse accélère vers le bas de la pente avec une accélération d’environ \(3.63\, \text{m/s}^2\).
Analyse des Forces en Jeu sur une Pente
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