L'énergie du mouvement - Exercice corrigé

Contexte : L' énergie cinétiqueL'énergie que possède un objet en raison de son mouvement. Elle dépend de sa masse et de sa vitesse. est l'énergie du mouvement.

Tous les objets en mouvement, d'une simple bille à une voiture de course, possèdent de l'énergie cinétique. Cette énergie est particulièrement importante à comprendre dans le domaine de la sécurité routière. En effet, pour arrêter un véhicule, les freins doivent dissiper toute son énergie cinétique. Plus cette énergie est grande, plus la distance de freinage sera longue ! Cet exercice vous permettra de calculer cette énergie pour une trottinette électrique et de comprendre l'impact crucial de la vitesse.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la formule de l'énergie cinétique dans un contexte concret et à comprendre pourquoi une petite augmentation de vitesse peut avoir de grandes conséquences sur la sécurité.

Objectifs Pédagogiques

Savoir définir et calculer l'énergie cinétique d'un objet.
Comprendre l'influence de la masse et de la vitesse sur l'énergie cinétique.
Maîtriser la conversion d'unités pour la vitesse (de km/h à m/s).
Analyser l'impact d'une variation de vitesse sur la distance de freinage.

Données de l'étude

Léo se déplace en ville avec sa trottinette électrique. Nous allons étudier l'énergie de son mouvement à différentes allures.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Conducteur	Léo
Véhicule	Trottinette Électrique
Vitesse maximale autorisée en ville	25 km/h

Schéma de la situation

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de Léo	\( m_{\text{Léo}} \)	60	kg
Masse de la trottinette	\( m_{\text{trottinette}} \)	25	kg
Vitesse de croisière	\( v_1 \)	18	km/h
Vitesse maximale	\( v_2 \)	25	km/h

Questions à traiter

Calculer la masse totale \( m_{\text{total}} \) du système (Léo + sa trottinette).
Convertir les vitesses \( v_1 \) et \( v_2 \) en mètres par seconde (m/s). On arrondira le résultat à deux décimales si nécessaire.
Calculer l'énergie cinétique \( E_{c1} \) du système lorsque Léo roule à la vitesse \( v_1 \).
Calculer l'énergie cinétique \( E_{c2} \) du système lorsque Léo roule à la vitesse \( v_2 \).
En comparant \( E_{c2} \) et \( E_{c1} \), par quel facteur l'énergie cinétique est-elle approximativement multipliée ? Que pouvez-vous en déduire sur la distance de freinage ?

Les bases sur l'Énergie Cinétique

L'énergie cinétique, notée \( E_c \), est l'énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle dépend de deux grandeurs : sa masse et sa vitesse. Pour qu'une formule de physique soit correcte, il faut toujours utiliser les bonnes unités !

1. La Formule de l'Énergie Cinétique
La formule pour calculer l'énergie cinétique est : \[ E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2 \]

\(E_c\) : Énergie cinétique, en \(\text{Joules (J)}\).
\(m\) : Masse de l'objet, en \(\text{kilogrammes (kg)}\).
\(v\) : Vitesse de l'objet, en \(\text{mètres par seconde (m/s)}\).

2. Conversion de la Vitesse
Très souvent, la vitesse est donnée en kilomètres par heure (km/h). Il est obligatoire de la convertir en mètres par seconde (m/s) avant tout calcul d'énergie. Pour cela, on divise la vitesse en km/h par 3,6. \[ v_{\text{(en m/s)}} = \frac{v_{\text{(en km/h)}}}{3,6} \]

Correction : L’énergie du mouvement

Question 1 : Calculer la masse totale \( m_{\text{total}} \) du système.

Principe

Pour connaître la masse totale de l'ensemble en mouvement, il suffit d'additionner la masse de chaque élément qui le compose. En physique, on appelle cet ensemble "le système". Ici, le système est constitué de Léo et de sa trottinette.

Mini-Cours

La notion de système est fondamentale en physique. C'est l'objet ou l'ensemble d'objets dont on étudie le mouvement ou l'état. Définir correctement les frontières de son système est la première étape de toute analyse. La masse du système est alors la somme des masses de tout ce qui se trouve à l'intérieur de ces frontières.

Remarque Pédagogique

Prenez toujours le temps de bien lire l'énoncé pour identifier ce qui fait partie du système étudié. Ici, on s'intéresse au mouvement de "Léo sur sa trottinette", il est donc logique de prendre en compte les deux masses.

Normes

Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour une addition, mais en sciences, on suit le principe fondamental de la conservation de la masse. La masse totale d'un système fermé (qui n'échange pas de matière avec l'extérieur) reste constante.

Formule(s)

Formule de la masse totale

m_{\text{total}} = m_{\text{Léo}} + m_{\text{trottinette}}

Hypothèses

On fait l'hypothèse que la masse de l'équipement de Léo (casque, vêtements...) est négligeable ou déjà incluse dans sa masse corporelle de 60 kg.

Donnée(s)

On reprend les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de Léo	\( m_{\text{Léo}} \)	60	kg
Masse de la trottinette	\( m_{\text{trottinette}} \)	25	kg

Astuces

Pour des additions simples, une vérification rapide en calcul mental est toujours une bonne habitude à prendre pour éviter les erreurs d'inattention.

Schéma (Avant les calculs)

m Léo = 60 kg

m trottinette = 25 kg

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} m_{\text{total}} &= 60 \text{ kg} + 25 \text{ kg} \\ &= 85 \text{ kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Système : m total = 85 kg

Réflexions

Cette masse de 85 kg représente l'inertie totale du système. C'est cette masse qu'il faudra mettre en mouvement et, plus important encore, freiner. Plus la masse est élevée, plus l'énergie cinétique sera grande pour une même vitesse.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les masses sont dans la même unité (ici, le kilogramme) avant de les additionner. Si une masse était donnée en grammes, il faudrait d'abord la convertir.

Points à retenir

Pour un système composé de plusieurs objets, la masse totale est la somme des masses de chaque objet. C'est cette masse totale qui doit être utilisée pour calculer l'énergie cinétique globale du système.

Le saviez-vous ?

Il ne faut pas confondre la masse (en kg), qui est une quantité de matière, et le poids (en Newtons), qui est la force exercée par la gravité sur cette masse. Votre masse est la même sur la Terre et sur la Lune, mais votre poids est 6 fois plus faible sur la Lune !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La masse totale du système (Léo + trottinette) est de 85 \(\text{kg}\).

A vous de jouer

Si Léo (60 \(\text{kg}\)) emportait un sac à dos de 5 \(\text{kg}\) sur sa trottinette (25 \(\text{kg}\)), quelle serait la nouvelle masse totale du système ?

Question 2 : Convertir les vitesses \( v_1 \) et \( v_2 \) en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)).

Principe

En physique, les formules nécessitent l'utilisation d'unités cohérentes pour donner un résultat correct. L'unité de vitesse du Système International (SI) est le mètre par seconde (m/s). Il est donc indispensable de convertir les vitesses données en km/h avant de calculer l'énergie.

Mini-Cours

Pour comprendre d'où vient le facteur 3,6, décomposons les unités :
1 \(\text{kilomètre}\) = 1000 \(\text{mètres}\)
1 \(\text{heure}\) = 3600 \(\text{secondes}\)
Donc, 1 \(\text{km/h}\) signifie "parcourir 1000 mètres en 3600 secondes". Pour savoir combien de mètres sont parcourus en une seule seconde, on fait la division : \( \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} \approx 0,277... \text{ m/s} \). Ce nombre est égal à \( \frac{1}{3,6} \). C'est pourquoi on divise par 3,6 pour passer des \(\text{km/h}\) aux \(\text{m/s}\).

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours vérifier les unités de vos données dès le début d'un exercice. La conversion est la toute première étape avant de se lancer dans les calculs avec formules. C'est le réflexe qui vous sauvera le plus de points !

Normes

L'utilisation des unités de base (mètre, kilogramme, seconde) est la convention du Système International d'unités (SI), utilisé par les scientifiques du monde entier pour pouvoir comparer et vérifier leurs résultats sans risque d'erreur.

Formule(s)

Formule de conversion de vitesse

v_{\text{(en m/s)}} = \frac{v_{\text{(en km/h)}}}{3,6}

Hypothèses

Aucune hypothèse n'est nécessaire pour une conversion, il s'agit d'une simple opération mathématique.

Donnée(s)

Les vitesses de l'énoncé sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de croisière	\(v_1\)	18	km/h
Vitesse maximale	\(v_2\)	25	km/h

Astuces

Pour faire l'opération inverse (passer des \(\text{m/s}\) aux \(\text{km/h}\)), il suffit de multiplier par 3,6. Un coureur de 100m qui a une vitesse de 10 \(\text{m/s}\) court en fait à 36 \(\text{km/h}\) !

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Calcul de la vitesse \( v_1 \) en m/s

\begin{aligned} v_1 &= \frac{18 \text{ km/h}}{3,6} \\ &= 5 \text{ m/s} \end{aligned}

Calcul de la vitesse \( v_2 \) en m/s

\begin{aligned} v_2 &= \frac{25 \text{ km/h}}{3,6} \\ &\approx 6,94 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Une vitesse de 5 \(\text{m/s}\) signifie que Léo parcourt 5 mètres à chaque seconde. C'est plus parlant qu'en \(\text{km/h}\) et c'est cette valeur qui a un sens physique direct dans les formules d'énergie.

Points de vigilance

Attention à ne pas multiplier au lieu de diviser ! Retenez que la valeur en \(\text{m/s}\) est toujours plus petite que la valeur en \(\text{km/h}\).

Points à retenir

La conversion des \(\text{km/h}\) en \(\text{m/s}\) se fait en divisant par 3,6. C'est une étape non négociable avant tout calcul d'énergie.

Le saviez-vous ?

Les premiers essais de TGV dans les années 70 ont atteint 318 km/h. Cela correspond à une vitesse de 88,3 \(\text{m/s}\). Le train parcourait la longueur d'un terrain de football en à peine plus d'une seconde !

FAQ

Questions fréquentes sur la conversion de vitesse.

Résultat Final

Les vitesses converties sont : \( v_1 = 5 \text{ m/s} \) et \( v_2 \approx 6,94 \text{ m/s} \).

A vous de jouer

Un scooter roule à 45 \(\text{km/h}\). Quelle est sa vitesse en \(\text{m/s}\) ?

Question 3 : Calculer l'énergie cinétique \( E_{c1} \) à la vitesse \( v_1 \).

Principe

Maintenant que nous disposons de la masse totale et de la vitesse dans les bonnes unités (\(\text{kg}\) et \(\text{m/s}\)), nous pouvons appliquer la formule de l'énergie cinétique pour quantifier l'énergie du système lorsqu'il se déplace à 18 \(\text{km/h}\).

Mini-Cours

La formule \( E_c = \frac{1}{2} m v^2 \) nous dit plusieurs choses. Le facteur \(\frac{1}{2}\) est une constante de proportionnalité. L'énergie est directement proportionnelle à la masse (\(m\)) : si vous doublez la masse, vous doublez l'énergie. Mais elle est proportionnelle au carré de la vitesse (\(v^2\)) : si vous doublez la vitesse, vous multipliez l'énergie par \(2^2 = 4\).

Remarque Pédagogique

Le piège le plus classique est d'oublier de mettre la vitesse au carré. Entraînez-vous à toujours calculer \(v^2\) en premier avant de le multiplier par le reste pour ne pas l'oublier.

Normes

La formule de l'énergie cinétique est une loi fondamentale de la mécanique classique (ou newtonienne), valable pour les objets dont la vitesse est très inférieure à celle de la lumière.

Formule(s)

Formule de l'énergie cinétique

E_{c1} = \frac{1}{2} \times m_{\text{total}} \times v_1^2

Hypothèses

On considère le système {Léo + trottinette} comme un objet ponctuel (un seul point) ayant la masse totale et la vitesse données, sans tenir compte de la rotation des roues qui possède sa propre énergie cinétique (très faible à ce niveau).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse totale	\( m_{\text{total}} \)	85	kg
Vitesse 1	\( v_1 \)	5	m/s

Astuces

Multiplier par 1/2, c'est la même chose que diviser par 2. Il est souvent plus simple de calculer \(m \times v^2\) d'abord, puis de diviser le résultat final par 2.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Application numérique pour \(E_{c1}\)

\begin{aligned} E_{c1} &= \frac{1}{2} \times 85 \times 5^2 \\ &= 0,5 \times 85 \times 25 \\ &= 42,5 \times 25 \\ &= 1062,5 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

1062,5 J

Réflexions

1062,5 \(\text{Joules}\), c'est l'énergie qu'il faudrait fournir pour amener Léo et sa trottinette de l'arrêt à 18 km/h. Concrètement, c'est à peu près l'énergie nécessaire pour soulever une masse de 106 \(\text{kg}\) à 1 \(\text{mètre}\) du sol. C'est aussi toute l'énergie que les freins devront transformer (principalement en chaleur) pour l'arrêter complètement.

Points de vigilance

Les trois erreurs classiques à éviter :
1. Oublier de convertir la vitesse en m/s.
2. Oublier de mettre la vitesse au carré.
3. Oublier de multiplier par 1/2 (ou de diviser par 2).

Points à retenir

La formule \( E_c = \frac{1}{2} m v^2 \) est un pilier du chapitre sur l'énergie. Maîtrisez-la parfaitement, ainsi que les unités qui lui sont associées : Joules, kilogrammes, et mètres par seconde.

Le saviez-vous ?

Le physicien James Prescott Joule a donné son nom à l'unité d'énergie. Il a démontré par de nombreuses expériences au 19ème siècle que la chaleur et le travail mécanique étaient deux facettes de la même chose : l'énergie. Le frottement de vos freins transforme l'énergie cinétique en énergie thermique (chaleur).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'énergie cinétique du système à 18 \(\text{km/h}\) est de 1062,5 \(\text{J}\).

A vous de jouer

Si un autre élève, Tom, pesant 75 \(\text{kg}\), utilisait la même trottinette (25 \(\text{kg}\)) à la même vitesse (18 \(\text{km/h}\) soit 5 \(\text{m/s}\)), quelle serait son énergie cinétique ? (Masse totale = 100 \(\text{kg}\))

Question 4 : Calculer l'énergie cinétique \( E_{c2} \) à la vitesse \( v_2 \).

Principe

La démarche est rigoureusement la même que pour la question précédente. On applique à nouveau la formule de l'énergie cinétique, mais cette fois-ci en utilisant la vitesse maximale de la trottinette, \( v_2 \), que nous avons déjà calculée en \(\text{m/s}\).

Mini-Cours

Cette question permet de mettre en évidence l'impact d'une augmentation de vitesse sur l'énergie. Même si l'augmentation en \(\text{km/h}\) (de 18 à 25) ne semble pas énorme, l'effet sur l'énergie va être beaucoup plus important à cause du terme \(v^2\). C'est ce qu'on appelle une croissance non-linéaire ou quadratique.

Remarque Pédagogique

Soyez rigoureux dans vos calculs, surtout avec des nombres à virgule. Utilisez la valeur arrondie à deux décimales (6,94 \(\text{m/s}\)) comme demandé, ou, pour plus de précision, la valeur exacte gardée dans votre calculatrice (\(25/3,6\)).

Normes

La loi physique appliquée est la même que précédemment, issue de la mécanique classique.

Formule(s)

Formule de l'énergie cinétique

E_{c2} = \frac{1}{2} \times m_{\text{total}} \times v_2^2

Hypothèses

Les hypothèses sont identiques à celles de la question 3.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse totale	\( m_{\text{total}} \)	85	kg
Vitesse 2	\( v_2 \)	6,94	m/s

Astuces

Lorsque vous avez un nombre à virgule à mettre au carré, utilisez la touche \(x^2\) de votre calculatrice pour éviter les erreurs de saisie en le recopiant.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Application numérique pour \(E_{c2}\)

\begin{aligned} E_{c2} &= \frac{1}{2} \times 85 \times (6,94)^2 \\ &= 0,5 \times 85 \times 48,1636 \\ &= 42,5 \times 48,1636 \\ &\approx 2046,95 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ec1 = 1062,5 J

Ec2 ≈ 2047 J

Réflexions

En passant de 18 à 25 \(\text{km/h}\), l'énergie cinétique a presque doublé (passant de ~1060 \(\text{J}\) à ~2050 \(\text{J}\)). C'est une information capitale pour la sécurité routière. L'énergie à dissiper au freinage est bien plus importante, ce qui signifie que la distance de freinage va augmenter considérablement.

Points de vigilance

Attention aux arrondis. Si vous arrondissez trop tôt dans vos calculs (par exemple, \(v_2\) à 7 \(\text{m/s}\)), votre résultat final peut être légèrement différent. Essayez de garder la valeur la plus précise possible le plus longtemps possible.

Points à retenir

Une "petite" augmentation de vitesse entraîne une "grande" augmentation d'énergie cinétique. C'est la leçon la plus importante de cet exercice.

Le saviez-vous ?

Lors d'un crash-test, c'est l'énergie cinétique de la voiture qui est absorbée par la déformation de la carrosserie. Les ingénieurs conçoivent des zones de déformation programmée pour dissiper cette énergie le plus efficacement possible et protéger les occupants.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

L'énergie cinétique du système à 25 \(\text{km/h}\) est d'environ 2047 \(\text{J}\).

A vous de jouer

Quelle serait l'énergie cinétique de Léo sur sa trottinette (masse 85 \(\text{kg}\)) s'il roulait à 10 \(\text{m/s}\) (soit 36 \(\text{km/h}\)) ?

Question 5 : Par quel facteur l'énergie est-elle multipliée et qu'en déduire ?

Principe

Pour comprendre l'ampleur de l'augmentation, on ne se contente pas de soustraire les deux énergies. On calcule leur rapport pour savoir par combien l'énergie initiale a été multipliée. Ce facteur de multiplication est bien plus parlant pour évaluer le danger supplémentaire.

Mini-Cours

La relation entre l'énergie cinétique et la distance de freinage (\(d_f\)) est directe. Le travail des forces de freinage (considérées constantes) pour arrêter le véhicule doit être égal à l'énergie cinétique initiale : \( F_{\text{freinage}} \times d_f = E_c \). Par conséquent, \( d_f = \frac{E_c}{F_{\text{freinage}}} \). Cela montre que la distance de freinage est directement proportionnelle à l'énergie cinétique. Si l'énergie double, la distance de freinage double aussi !

Remarque Pédagogique

Cette question est la plus importante de l'exercice car elle fait le lien entre une formule de physique et une situation de la vie réelle : la sécurité routière. Retenez bien la conclusion : l'impact de la vitesse est bien plus grand qu'on ne l'imagine intuitivement.

Normes

Le Code de la route fixe des limitations de vitesse (par ex. 50 \(\text{km/h}\) en ville, abaissé à 30 \(\text{km/h}\) dans de nombreuses zones). Ces limites sont directement basées sur ces principes physiques pour garantir une distance d'arrêt suffisante en cas d'imprévu.

Formule(s)

Formule du facteur de multiplication

\text{Facteur} = \frac{E_{c2}}{E_{c1}}

Hypothèses

On fait l'hypothèse que la force de freinage est constante quelle que soit la vitesse, et que la distance de freinage est parfaitement proportionnelle à l'énergie cinétique.

Donnée(s)

On utilise les résultats finaux des questions 3 et 4.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie cinétique 1	\(E_{c1}\)	1062,5	J
Énergie cinétique 2	\(E_{c2}\)	≈ 2047	J

Astuces

Puisque la masse ne change pas, le rapport des énergies est simplement égal au rapport du carré des vitesses.

Calcul du facteur par les vitesses

\frac{E_{c2}}{E_{c1}} = \frac{\frac{1}{2} m v_2^2}{\frac{1}{2} m v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2

Application numérique alternative

\begin{aligned} \text{Facteur} &= \left(\frac{6,94}{5}\right)^2 \\ &\approx (1,388)^2 \\ &\approx 1,926 \end{aligned}

Schéma (Avant les calculs)

Ec1

Ec2

Calcul(s)

Calcul du rapport des énergies

\begin{aligned} \text{Facteur} &= \frac{2047}{1062,5} \\ &\approx 1,93 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Distance de freinage

À 18 km/h

À 25 km/h

(≈ 1,93x plus longue)

Réflexions

L'énergie cinétique a été multipliée par environ 1,93 (presque 2 !). Or, la vitesse n'a été augmentée que de 7 \(\text{km/h}\). Cela montre que l'énergie augmente beaucoup plus vite que la vitesse, à cause du carré (\(v^2\)) dans la formule.
Conclusion pour la sécurité routière : Puisque la distance de freinage est directement liée à l'énergie cinétique à dissiper, on peut en déduire que la distance de freinage sera elle aussi presque doublée ! C'est énorme pour une si "faible" augmentation de vitesse.

Points de vigilance

Ne tirez pas de conclusions hâtives en ne regardant que les vitesses en \(\text{km/h}\). L'effet réel sur la sécurité (distance d'arrêt, violence du choc) est caché dans le calcul de l'énergie et est toujours bien plus important que ce que l'intuition suggère.

Points à retenir

L'énergie cinétique, et donc la distance de freinage, augmente avec le carré de la vitesse. Si la vitesse est multipliée par 2, l'énergie est multipliée par 4. Si la vitesse est multipliée par 3, l'énergie est multipliée par 9.

Le saviez-vous ?

La distance d'arrêt totale est la somme de la distance de réaction (distance parcourue pendant que le conducteur décide de freiner) et de la distance de freinage. La distance de réaction, elle, est simplement proportionnelle à la vitesse. Mais c'est la distance de freinage qui explose le plus à haute vitesse.

FAQ

Questions fréquentes sur la conclusion de l'exercice.

Résultat Final

L'énergie cinétique est multipliée par un facteur d'environ 1,93. Cela implique que la distance de freinage nécessaire pour s'arrêter est elle aussi presque doublée.

A vous de jouer

Si Léo roulait à 36 \(\text{km/h}\) (soit le double de 18 \(\text{km/h}\)), par quel facteur son énergie cinétique \(E_{c1}\) serait-elle multipliée ? (Sans faire le calcul complet !)

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie Cinétique

Utilisez les curseurs ci-dessous pour voir comment la masse et la vitesse influencent en temps réel l'énergie cinétique d'un objet. Observez comment la courbe change : est-elle une simple droite ?

Paramètres d'Entrée

Masse totale (kg) 85 kg

Vitesse (km/h) 25 km/h

Résultats Clés

Vitesse (m/s) -

Énergie Cinétique (J) -

Glossaire

Énergie cinétique (Ec): L'énergie que possède un objet en raison de son mouvement. Elle se mesure en Joules (J).
Joule (J): L'unité de mesure de l'énergie dans le Système International.
Masse (m): La quantité de matière d'un objet. Elle se mesure en kilogrammes (kg).
Vitesse (v): La distance parcourue par un objet par unité de temps. Pour les calculs d'énergie, elle doit être en mètres par seconde (m/s).