Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique

Contexte : L'étude des transferts d'énergieCapacité d'un système à produire un travail, entraînant un mouvement ou générant de la lumière ou de la chaleur..

Le saut à l'élastique est une activité à sensations fortes qui repose sur des principes physiques fondamentaux, notamment la conversion d'énergie. Un sauteur s'élance d'une grande hauteur, attaché par un élastique. En tombant, son énergie potentielle de pesanteur se transforme en énergie cinétique. Lorsque l'élastique se tend, l'énergie cinétique est à son tour convertie en énergie potentielle élastique. Cet exercice a pour but de modéliser et de calculer ces différentes formes d'énergie pour analyser le saut et garantir la sécurité du sauteur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique dans un cas concret. Vous mobiliserez les formules des énergies potentielle de pesanteur, cinétique et potentielle élastique pour résoudre un problème de A à Z.

Objectifs Pédagogiques

Identifier les différentes formes d'énergie lors d'un mouvement.
Calculer l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie cinétique.
Appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique.
Utiliser l'énergie potentielle élastique pour déterminer l'allongement d'un ressort.

Données de l'étude

On étudie le saut d'un sauteur de masse $m = 70 \text{ kg}$ depuis un pont d'une hauteur $H = 120 \text{ m}$ au-dessus d'une rivière. L'élastique utilisé a une longueur à vide $L_0 = 30 \text{ m}$ et une constante de raideur $k = 80 \text{ N/m}$. On négligera les frottements de l'air et on prendra l'intensité de la pesanteur $g = 10 \text{ N/kg}$.

Schéma de la situation

Paramètre	Symbole	Valeur
Masse du sauteur	$m$	70 kg
Hauteur du pont	$H$	120 m
Longueur à vide de l'élastique	$L_0$	30 m
Constante de raideur	$k$	80 N/m
Intensité de la pesanteur	$g$	10 N/kg

Questions à traiter

Calculer l'énergie potentielle de pesanteur ($E_{\text{pp}}$) du sauteur au point de départ A. On prendra comme référence pour l'énergie potentielle le niveau de la rivière ($z=0$).
Déterminer l'énergie mécanique ($E_{\text{m}}$) du sauteur. Justifier pourquoi elle se conserve au cours du saut.
Calculer la vitesse ($v_B$) du sauteur au point B, lorsque l'élastique commence tout juste à se tendre (après une chute de 30 m).
Calculer l'allongement maximal ($x_{\text{max}}$) de l'élastique.
Déterminer la hauteur minimale ($h_{\text{min}}$) atteinte par le sauteur. Le saut est-il sécurisé ?

Les bases sur l'Énergie Mécanique

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts d'énergie et leur conservation.

1. Énergie Potentielle de Pesanteur ($E_{\text{pp}}$)
Elle est liée à l'altitude d'un objet dans un champ de pesanteur. Elle dépend de la masse de l'objet, de l'intensité de la pesanteur et de l'altitude. \[ E_{\text{pp}} = m \cdot g \cdot z \] Où $m$ est en $\text{kg}$, $g$ en $\text{N/kg}$ et $z$ en $\text{m}$. L'énergie s'exprime en $\text{Joules (J)}$.

2. Énergie Cinétique ($E_{\text{c}}$)
Elle est liée à la vitesse d'un objet. Tout objet en mouvement possède de l'énergie cinétique. \[ E_{\text{c}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \] Où $m$ est en $\text{kg}$ et $v$ en $\text{m/s}$. L'énergie s'exprime en $\text{Joules (J)}$.

3. Énergie Potentielle Élastique ($E_{\text{pe}}$)
C'est l'énergie emmagasinée par un ressort ou un élastique lorsqu'il est déformé (étiré ou comprimé). \[ E_{\text{pe}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 \] Où $k$ est la constante de raideur en $\text{N/m}$ et $x$ l'allongement en $\text{m}$. L'énergie s'exprime en $\text{Joules (J)}$.

4. Énergie Mécanique ($E_{\text{m}}$) et Conservation
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles. \[ E_{\text{m}} = E_{\text{c}} + E_{\text{pp}} + E_{\text{pe}} \] En l'absence de frottements, l'énergie mécanique d'un système se conserve : sa valeur reste constante au cours du temps.

Correction : Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique

Question 1 : Calculer l'énergie potentielle de pesanteur ($E_{\text{pp}}$) au départ.

Principe

L'énergie potentielle de pesanteur est une forme d'énergie "stockée" qui dépend de la hauteur d'un objet par rapport à un point de référence choisi. Plus l'objet est haut, plus il a le "potentiel" de tomber et de convertir cette énergie en mouvement.

Mini-Cours

L'énergie potentielle de pesanteur ($E_{\text{pp}}$) est directement proportionnelle à la masse ($m$) de l'objet, à l'intensité du champ de pesanteur ($g$) et à l'altitude ($z$). Le choix du niveau de référence (où $z=0$ et donc $E_{\text{pp}}=0$) est arbitraire mais crucial, car toutes les hauteurs seront mesurées à partir de ce point.

Remarque Pédagogique

Le réflexe à avoir avant tout calcul d'énergie potentielle est de bien définir le niveau de référence. Ici, l'énoncé nous l'impose (la rivière), ce qui simplifie les choses. Prendre le point le plus bas comme référence permet souvent de ne travailler qu'avec des valeurs d'énergie positives.

Normes

Il ne s'agit pas ici d'une norme d'ingénierie, mais d'une convention de la physique. Le Système International d'unités (SI) est la "norme" à respecter pour les calculs : la masse en kilogrammes (kg), l'altitude en mètres (m) et $g$ en N/kg (ou m/s²), pour obtenir une énergie en Joules (J).

Formule(s)

Formule de l'énergie potentielle de pesanteur

E_{\text{pp}} = m \cdot g \cdot z

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du sauteur	$m$	70	kg
Intensité de la pesanteur	$g$	10	N/kg
Altitude de départ (point A)	$z_A$	120	m

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, on peut arrondir : $70 \text{ kg} \times 10 \text{ N/kg} = 700 \text{ N}$ (le poids). Multiplier par 100 m (au lieu de 120) donne $70000 \text{ J}$. Notre résultat de $84000 \text{ J}$ est donc tout à fait cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la position initiale du sauteur au point A, à la hauteur maximale par rapport à la référence.

Position initiale du sauteur (Point A)

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} E_{\text{pp,A}} &= 70 \text{ kg} \times 10 \text{ N/kg} \times 120 \text{ m} \\ &= 84000 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme représente la répartition de l'énergie mécanique totale au point de départ A : elle est entièrement sous forme d'énergie potentielle de pesanteur.

Diagramme d'énergie au Point A

Réflexions

La valeur de 84 000 Joules représente l'énergie maximale que le champ de pesanteur peut fournir au sauteur pendant sa chute. C'est cette réserve d'énergie qui va se transformer en vitesse puis en étirement de l'élastique.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune serait de se tromper d'altitude, par exemple en prenant la longueur de l'élastique au lieu de la hauteur totale du pont. Il faut lire l'énoncé attentivement pour bien identifier la hauteur $z$ par rapport à la référence.

Points à retenir

La formule de l'énergie potentielle de pesanteur est $E_{\text{pp}} = m \cdot g \cdot z$.
Le choix de l'origine ($z=0$) est essentiel et doit être défini avant tout calcul.

Le saviez-vous ?

Le Joule (J) est une unité d'énergie qui semble petite. Pour se donner une idée, 84 kJ, c'est à peu près l'énergie contenue dans... un gramme de sucre ! C'est aussi l'énergie nécessaire pour faire fonctionner une ampoule LED de 10W pendant 2 heures et 20 minutes.

FAQ

Voici les questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

Au point de départ A, l'énergie potentielle de pesanteur du sauteur est de 84 000 J.

A vous de jouer

Si le sauteur avait une masse de 80 kg, quelle serait son énergie potentielle au départ ?

Question 2 : Déterminer l'énergie mécanique ($E_{\text{m}}$) et justifier sa conservation.

Principe

L'énergie mécanique est la somme de toutes les formes d'énergies "mécaniques" (liées au mouvement et à la position) du système. Elle se conserve si aucune force "dissipative" comme les frottements n'intervient pour la transformer en chaleur.

Mini-Cours

L'énergie mécanique $E_{\text{m}} = E_{\text{c}} + E_{\text{pp}} + E_{\text{pe}}$. Au début du saut, le sauteur part sans vitesse initiale, donc son énergie cinétique est nulle. L'élastique est détendu, donc son énergie potentielle élastique est nulle. L'énergie mécanique totale est alors simplement égale à son énergie potentielle de pesanteur initiale.

Remarque Pédagogique

L'astuce est de calculer l'énergie mécanique à un instant où le calcul est le plus simple possible. Le point de départ est idéal car deux des trois formes d'énergie sont nulles. Comme elle se conserve, cette valeur restera la même pour toute la durée du saut.

Normes

Le principe de conservation de l'énergie est une loi fondamentale de la physique, pas une norme. Il stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement transformée d'une forme à une autre.

Formule(s)

Expression générale de l'énergie mécanique

E_{\text{m}} = E_{\text{c}} + E_{\text{pp}} + E_{\text{pe}}

Donnée(s)

On sait qu'au point de départ A, l'énergie potentielle de pesanteur est de 84000 J, et que les autres formes d'énergie sont nulles.

$E_{\text{pp,A}} = 84000 \text{ J}$
$v_A = 0 \text{ m/s} \Rightarrow E_{\text{c,A}} = 0 \text{ J}$
$x_A = 0 \text{ m} \Rightarrow E_{\text{pe,A}} = 0 \text{ J}$

Astuces

Pas d'astuce de calcul ici, mais une astuce de raisonnement : si un problème de physique mentionne "on néglige les frottements", il faut immédiatement penser à la conservation de l'énergie mécanique. C'est très souvent la clé pour résoudre l'exercice.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la situation initiale est rappelé ici pour confirmer que le sauteur part du repos.

Position initiale du sauteur (Point A)

Calcul(s)

Calcul de l'énergie mécanique au point A

\begin{aligned} E_{\text{m}} &= E_{\text{pp,A}} + E_{\text{c,A}} + E_{\text{pe,A}} \\ &= 84000 \text{ J} + 0 \text{ J} + 0 \text{ J} \\ &= 84000 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La conservation de l'énergie peut être représentée par une ligne horizontale constante au cours du temps.

Représentation de la conservation de l'énergie

Réflexions

Justification de la conservation : L'énoncé précise que l'on néglige les frottements de l'air. Dans ce cas, les seules forces travaillant sont le poids et la tension de l'élastique, qui sont des forces conservatives. Il n'y a donc pas de dissipation d'énergie en chaleur. Par conséquent, l'énergie mécanique du système {sauteur + élastique + Terre} se conserve.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier une forme d'énergie. Au point A, c'est simple, mais plus tard dans le saut, les trois formes d'énergie pourront être présentes simultanément. Il faut aussi bien justifier la conservation : ce n'est pas automatique, c'est lié à l'absence de frottements.

Points à retenir

L'énergie mécanique est la somme des énergies cinétique et potentielles. Elle est constante si les forces de frottement sont négligées. C'est un outil très puissant pour résoudre des problèmes de mécanique.

Le saviez-vous ?

Dans la réalité, les frottements de l'air ne sont pas négligeables, surtout à grande vitesse ! L'énergie mécanique diminue donc en réalité, transformée en chaleur. C'est pour cela qu'un sauteur ne remonte jamais à sa hauteur de départ et que ses oscillations s'amortissent peu à peu.

FAQ

Voici les questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

L'énergie mécanique du sauteur est de 84 000 J et elle se conserve car les frottements sont négligés.

A vous de jouer

Si, à cause des frottements de l'air, le sauteur perdait 10% de son énergie en arrivant au point B, quelle serait la nouvelle valeur de son énergie mécanique en ce point ?

Question 3 : Calculer la vitesse ($v_B$) lorsque l'élastique se tend.

Principe

En utilisant le principe de conservation de l'énergie mécanique, on peut affirmer que l'énergie totale au point B (lorsque l'élastique se tend) est la même qu'au point A. Au point B, une partie de l'énergie potentielle de pesanteur initiale a été convertie en énergie cinétique. En calculant la nouvelle énergie potentielle, on peut déduire l'énergie cinétique restante et donc la vitesse.

Mini-Cours

La conversion d'énergie est au cœur du problème. L'énergie potentielle de pesanteur perdue entre A et B ($E_{\text{pp,A}} - E_{\text{pp,B}}$) a été intégralement transformée en énergie cinétique ($E_{\text{c,B}}$), car l'énergie potentielle élastique est encore nulle au point B.

Remarque Pédagogique

Cette méthode (conservation de l'énergie) est souvent beaucoup plus simple que d'utiliser les lois du mouvement de Newton, qui demanderaient de calculer l'accélération et d'utiliser des équations de cinématique. Pensez énergie d'abord !

Normes

On reste dans le cadre du Système International d'unités pour la cohérence des calculs : énergie en Joules, masse en kg, vitesse en m/s.

Formule(s)

Conservation de l'énergie

E_{\text{m,A}} = E_{\text{m,B}} \Rightarrow E_{\text{pp,A}} + E_{\text{c,A}} = E_{\text{pp,B}} + E_{\text{c,B}}

Énergie cinétique

E_{\text{c,B}} = \frac{1}{2} m v_B^2

Hypothèses

On continue de supposer que l'énergie mécanique est conservée et que le point B correspond exactement au moment où l'élastique a parcouru sa longueur à vide $L_0$.

Donnée(s)

On a besoin de l'énergie mécanique totale, de la masse, de g, et de l'altitude du point B.

$E_{\text{m}} = 84000 \text{ J}$
$m = 70 \text{ kg}$, $g = 10 \text{ N/kg}$, $H=120 \text{ m}$, $L_0=30 \text{ m}$
Altitude au point B : $z_B = H - L_0 = 120 - 30 = 90 \text{ m}$
$E_{\text{pe,B}} = 0 \text{ J}$ (l'élastique n'est pas encore étiré)

Astuces

La perte d'énergie potentielle est $m \cdot g \cdot (z_A - z_B) = m \cdot g \cdot L_0$. On peut directement poser que cette perte est égale au gain d'énergie cinétique : $E_{\text{c,B}} = m \cdot g \cdot L_0 = 70 \times 10 \times 30 = 21000 \text{ J}$. C'est plus rapide.

Schéma (Avant les calculs)

Le point B se situe à une distance $L_0=30 \text{ m}$ sous le pont. À cet instant, le sauteur a une vitesse non nulle et l'élastique est sur le point de commencer à freiner la chute.

Position du sauteur au Point B

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'énergie cinétique au point B

On exprime $E_{\text{c,B}}$ à partir de la conservation de l'énergie.

E_{\text{c,B}} = E_{\text{m}} - E_{\text{pp,B}} - E_{\text{pe,B}}

Application numérique

\begin{aligned} E_{\text{c,B}} &= 84000 \text{ J} - (m \cdot g \cdot z_B) - 0 \text{ J} \\ &= 84000 \text{ J} - (70 \text{ kg} \times 10 \text{ N/kg} \times 90 \text{ m}) \\ &= 84000 \text{ J} - 63000 \text{ J} \\ &= 21000 \text{ J} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse

On isole la vitesse $v_B$ à partir de la formule de l'énergie cinétique.

v_B = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\text{c,B}}}{m}}

Application numérique

\begin{aligned} v_B &= \sqrt{\frac{2 \times 21000 \text{ J}}{70 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{600} \text{ m/s} \\ &\approx 24,5 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme représente la répartition de l'énergie au point B. L'énergie potentielle a diminué, et la différence a été convertie en énergie cinétique.

Diagramme d'énergie au Point B

Réflexions

Une vitesse de 24,5 m/s correspond à près de 88 km/h. Cela montre la rapidité de l'accélération en chute libre, même sur une distance de "seulement" 30 mètres. C'est à partir de ce moment que l'élastique va commencer son travail de freinage.

Points de vigilance

Ne pas oublier le carré sur la vitesse dans la formule de l'énergie cinétique ! Une erreur fréquente est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin pour trouver la vitesse.

Points à retenir

La conservation de l'énergie permet de relier l'altitude et la vitesse d'un objet en chute libre. La perte d'énergie potentielle est convertie en gain d'énergie cinétique.

Le saviez-vous ?

Sans les frottements de l'air, un objet lourd et un objet léger lâchés de la même hauteur auraient exactement la même vitesse à tout instant de leur chute. C'est ce que Galilée aurait démontré (selon la légende) en lâchant des objets du haut de la tour de Pise.

FAQ

Voici les questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

La vitesse du sauteur au point B est d'environ 24,5 m/s.

A vous de jouer

Avec une énergie cinétique de 21000 J, quelle serait la vitesse d'un sauteur de 60 kg seulement ? (Arrondir à deux décimales)

Question 4 : Calculer l'allongement maximal ($x_{\text{max}}$) de l'élastique.

Principe

Au point le plus bas de la trajectoire (point C), le sauteur s'arrête instantanément avant de remonter. À cet instant précis, sa vitesse est nulle, et donc son énergie cinétique est nulle. Toute l'énergie mécanique initiale a été convertie en deux formes d'énergie potentielle : l'énergie potentielle de pesanteur (car il est encore en altitude) et l'énergie potentielle élastique (car l'élastique est tendu au maximum).

Mini-Cours

L'équation de conservation de l'énergie ($E_{\text{m,A}} = E_{\text{m,C}}$) devient une équation mathématique où la seule inconnue est l'allongement maximal, $x_{\text{max}}$. Comme l'énergie potentielle élastique dépend du carré de l'allongement ($x^2$), nous allons obtenir une équation du second degré, typique de ce genre de problème.

Remarque Pédagogique

Il faut être très méthodique ici. Écrivez proprement l'équation de conservation de l'énergie, puis remplacez chaque terme par son expression littérale ($m, g, H, L_0, k, x_{\text{max}}$) avant de passer à l'application numérique. Cela évite les erreurs de calcul.

Normes

Les mathématiques nous imposent leurs "normes" : une équation du second degré de la forme $ax^2+bx+c=0$ se résout à l'aide du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Seules les solutions physiquement réalistes (ici, une longueur positive) sont conservées.

Formule(s)

Conservation de l'énergie entre A et C

E_{\text{m,A}} = E_{\text{pp,C}} + E_{\text{pe,C}}

Expression des énergies au point C

E_{\text{m,A}} = (m \cdot g \cdot z_C) + (\frac{1}{2} k x_{\text{max}}^2)

avec $z_C = H - L_0 - x_{\text{max}}$

Hypothèses

On suppose que l'élastique se comporte comme un ressort parfait (il suit la loi de Hooke, ce qui justifie la formule de $E_{\text{pe}}$), et que toute l'énergie est convertie sans perte.

Donnée(s)

Toutes les données initiales sont nécessaires.

$E_{\text{m}} = 84000 \text{ J}$
$m = 70 \text{ kg}$, $g = 10 \text{ N/kg}$
$H = 120 \text{ m}$, $L_0 = 30 \text{ m}$
$k = 80 \text{ N/m}$
$v_C = 0 \text{ m/s} \Rightarrow E_{\text{c,C}} = 0 \text{ J}$

Astuces

Avant de résoudre l'équation compliquée, on peut estimer la solution. L'énergie à dissiper après le point B est de 63000 J ($E_{\text{m}} - E_{\text{pp,B}}$). Si on négligeait la variation de $E_{\text{pp}}$ pendant l'étirement, on aurait $E_{\text{pe}} \approx 63000 \text{ J}$, soit $x \approx \sqrt{2 \times 63000 / 80} \approx 39 \text{ m}$. Notre résultat final devrait être un peu inférieur, car en réalité le poids continue d'aider la chute. Cela donne un bon ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la position la plus basse du sauteur (point C), où l'élastique est à son allongement maximal.

Position du sauteur au Point C (le plus bas)

Calcul(s)

Étape 1 : Mise en équation et développement

On part de l'équation de conservation de l'énergie et on la développe en remplaçant les termes par leurs valeurs, étape par étape.

\begin{aligned} E_{\text{m,A}} &= m \cdot g \cdot (H - L_0 - x_{\text{max}}) + \frac{1}{2} k x_{\text{max}}^2 \\ 84000 &= 70 \times 10 \times (120 - 30 - x_{\text{max}}) + \frac{1}{2} \times 80 \times x_{\text{max}}^2 \\ 84000 &= 700 \times (90 - x_{\text{max}}) + 40 x_{\text{max}}^2 \\ 84000 &= 63000 - 700x_{\text{max}} + 40x_{\text{max}}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Résolution de l'équation du second degré

On réarrange l'équation pour avoir la forme $ax^2+bx+c=0$ :

40x_{\text{max}}^2 - 700x_{\text{max}} - 21000 = 0

Pour simplifier, on peut diviser toute l'équation par 10 :

4x_{\text{max}}^2 - 70x_{\text{max}} - 2100 = 0

On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=4$, $b=-70$ et $c=-2100$.

\begin{aligned} \Delta &= (-70)^2 - 4(4)(-2100) \\ &= 4900 + 33600 \\ &= 38500 \end{aligned}

Le discriminant est positif, il y a donc deux solutions réelles. On calcule la racine carrée du discriminant :

\sqrt{\Delta} = \sqrt{38500} \approx 196,21

On calcule les deux solutions $x_1$ et $x_2$ avec la formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Solution négative (non physique)

\begin{aligned} x_1 &= \frac{70 - 196,21}{2 \times 4} \\ &= \frac{-126,21}{8} \\ &\approx -15,8 \text{ m} \end{aligned}

Solution positive (physiquement correcte)

\begin{aligned} x_2 &= \frac{70 + 196,21}{2 \times 4} \\ &= \frac{266,21}{8} \\ &\approx 33,3 \text{ m} \end{aligned}

Un allongement ne peut pas être négatif, on conserve donc uniquement la solution positive.

Schéma (Après les calculs)

Au point C, l'énergie cinétique est nulle. L'énergie mécanique est partagée entre l'énergie potentielle de pesanteur (il reste de l'altitude) et l'énergie potentielle élastique (l'élastique est très tendu).

Diagramme d'énergie au Point C

Réflexions

L'allongement de 33,3 m est supérieur à la longueur à vide de l'élastique (30 m). L'élastique a donc plus que doublé de longueur, ce qui est typique pour ce genre d'application. C'est cette grande capacité d'élongation qui permet d'amortir la chute en douceur.

Points de vigilance

La plus grande difficulté ici est mathématique. Attention aux signes lors du réarrangement de l'équation du second degré. Une erreur de signe sur $a$, $b$ ou $c$ fausserait complètement le résultat.

Points à retenir

Au point le plus bas d'une chute élastique, la vitesse est nulle et l'énergie cinétique est nulle. La conservation de l'énergie mène souvent à une équation du second degré pour trouver l'allongement maximal.

Le saviez-vous ?

Les élastiques de saut ne sont pas de simples ressorts. Ils sont constitués de centaines de fils de latex naturel et sont conçus pour avoir une courbe de raideur qui augmente progressivement, afin que le "rebond" en bas soit puissant mais pas trop brutal pour le corps humain.

FAQ

Voici les questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

L'allongement maximal de l'élastique est d'environ 33,3 mètres.

A vous de jouer

Si au point le plus bas (v=0), l'énergie potentielle élastique était de 30 000 J, quelle serait la valeur de l'énergie potentielle de pesanteur à ce même point ?

Question 5 : Déterminer la hauteur minimale et la sécurité du saut.

Principe

La hauteur minimale atteinte par le sauteur est son altitude au point C, le point le plus bas de sa trajectoire. Elle se calcule en soustrayant sa descente totale (longueur de l'élastique à vide + allongement maximal) de la hauteur de départ. La sécurité du saut dépend de cette hauteur minimale : elle doit impérativement être supérieure à zéro.

Mini-Cours

La sécurité est le paramètre le plus important dans la conception d'un saut. Les organisateurs calculent une marge de sécurité, qui est la distance entre le point le plus bas atteint par le sauteur et le sol (ou l'eau). Cette marge doit être suffisamment grande pour pallier les incertitudes (poids du sauteur, caractéristiques de l'élastique, etc.).

Remarque Pédagogique

C'est la question de synthèse qui donne un sens concret à tous les calculs précédents. La physique n'est pas qu'une affaire de formules, elle sert à répondre à des questions pratiques comme : "le sauteur risque-t-il de toucher l'eau ?".

Normes

Il existe des normes de sécurité très strictes pour les activités de saut à l'élastique (par exemple la norme AFNOR en France). Elles définissent les marges de sécurité minimales, les procédures de vérification du matériel et les conditions d'exploitation.

Formule(s)

Formule de la hauteur minimale

h_{\text{min}} = z_C = H - (L_0 + x_{\text{max}})

Hypothèses

On suppose que nos calculs précédents sont exacts et que la hauteur du pont est mesurée précisément.

Donnée(s)

On utilise les résultats et données des questions précédentes.

$H = 120 \text{ m}$
$L_0 = 30 \text{ m}$
$x_{\text{max}} \approx 33,3 \text{ m}$

Astuces

Toujours faire un schéma rapide pour visualiser les différentes longueurs. Cela permet d'éviter les erreurs d'addition ou de soustraction entre $H$, $L_0$ et $x_{\text{max}}$.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre la situation au point le plus bas (C), où l'on doit calculer la distance restante jusqu'à la rivière.

Position du sauteur au Point C (le plus bas)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la descente totale

Formule de la descente totale

\text{Descente totale} = L_0 + x_{\text{max}}

Application numérique

\begin{aligned} \text{Descente totale} &= 30 \text{ m} + 33,3 \text{ m} \\ &= 63,3 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la hauteur minimale

Formule de la hauteur minimale

h_{\text{min}} = H - \text{Descente totale}

Application numérique

\begin{aligned} h_{\text{min}} &= 120 \text{ m} - 63,3 \text{ m} \\ &= 56,7 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma final montre la position la plus basse du sauteur et la marge de sécurité restante par rapport à la rivière.

Visualisation de la Marge de Sécurité

Réflexions

La hauteur minimale est de 56,7 m. Cette valeur étant très largement positive, le sauteur ne touche pas la rivière. La marge de sécurité est considérable, ce qui indique que l'élastique choisi est probablement très prudent pour ce pont. Dans la réalité, on choisirait un élastique plus souple pour s'approcher davantage de l'eau et augmenter les sensations.

Points de vigilance

L'erreur classique est de mal additionner les longueurs. Ne pas confondre la longueur totale de l'élastique ($L_0 + x_{\text{max}}$) avec la descente totale du sauteur, qui est la même chose ici car on considère le sauteur comme un point.

Points à retenir

La sécurité d'un saut se vérifie en calculant la distance restante entre le point le plus bas atteint et l'obstacle. Cette distance doit être supérieure à une marge de sécurité définie par les normes.

Le saviez-vous ?

Le record du monde du plus haut saut à l'élastique est effectué depuis une nacelle suspendue à 1050 mètres au-dessus du Royal Gorge Bridge, au Colorado (États-Unis). La chute libre dure près de 10 secondes !

FAQ

Voici les questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

La hauteur minimale atteinte par le sauteur est de 56,7 m. Le saut est donc sécurisé.

A vous de jouer

Si la descente totale du sauteur était de 70 mètres, quelle serait sa hauteur minimale par rapport à la rivière ?

Outil Interactif : Simulateur de Saut

Utilisez les curseurs pour faire varier la masse du sauteur et la raideur de l'élastique, et observez l'impact sur l'allongement maximal et la hauteur de sécurité restante.

Paramètres d'Entrée

Masse du sauteur ($m$) 70 kg

Raideur de l'élastique ($k$) 80 N/m

Résultats Clés

Allongement maximal ($x_{\text{max}}$) - m

Hauteur de sécurité restante - m

Énergie Potentielle de Pesanteur: Énergie que possède un corps du fait de sa position (son altitude) dans un champ de pesanteur.
Énergie Cinétique: Énergie que possède un corps du fait de son mouvement (sa vitesse).
Énergie Potentielle Élastique: Énergie emmagasinée dans un corps déformable (comme un ressort ou un élastique) lorsqu'il est étiré ou comprimé.
Énergie Mécanique: Somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles d'un système.
Constante de Raideur (k): Caractéristique d'un ressort qui indique sa "dureté". Plus k est élevée, plus le ressort est difficile à déformer.

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Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la situation

Questions à traiter

Les bases sur l'Énergie Mécanique

Correction : Analyse Physique d’un Saut à l’Élastique

Question 1 : Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{\text{pp}}\)) au départ.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Position initiale du sauteur (Point A)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme d'énergie au Point A

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Déterminer l'énergie mécanique (\(E_{\text{m}}\)) et justifier sa conservation.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Position initiale du sauteur (Point A)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Représentation de la conservation de l'énergie

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Calculer la vitesse (\(v_B\)) lorsque l'élastique se tend.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Position du sauteur au Point B

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme d'énergie au Point B

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Calculer l'allongement maximal (\(x_{\text{max}}\)) de l'élastique.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Position du sauteur au Point C (le plus bas)

Calcul(s)