Analyse de l’Orbite d’une Exoplanète
Utiliser les lois de Kepler et la loi de la gravitation universelle pour déterminer la masse d'une étoile à partir des caractéristiques orbitales de son exoplanète.
Les exoplanètes sont des planètes qui orbitent autour d'étoiles autres que notre Soleil. L'étude de leurs orbites nous fournit des informations précieuses sur ces systèmes stellaires distants, notamment la masse de l'étoile hôte.
La troisième loi de Kepler, généralisée par Newton, relie la période de révolution \(T\) d'une planète autour de son étoile au demi-grand axe \(a\) de son orbite et à la masse \(M_{etoile}\) de l'étoile :
Où :
- \(T\) est la période de révolution de la planète en secondes (s).
- \(a\) est le demi-grand axe de l'orbite de la planète en mètres (m).
- \(G\) est la constante de gravitation universelle (\(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)).
- \(M_{etoile}\) est la masse de l'étoile en kilogrammes (kg).
La vitesse orbitale moyenne \(v\) d'une planète sur une orbite supposée circulaire de rayon \(a\) est donnée par :
Données du Problème
L'exoplanète "Xylos" a été découverte en orbite autour de l'étoile "Solara".
- Période de révolution de Xylos : \(T_{Xylos} = 2.50 \text{ années terrestres}\).
- Demi-grand axe de l'orbite de Xylos : \(a_{Xylos} = 1.80 \text{ Unités Astronomiques (UA)}\).
Conversions et constantes utiles :
- 1 année terrestre \(\approx 3.156 \times 10^7 \text{ s}\).
- 1 Unité Astronomique (UA) \(\approx 1.496 \times 10^{11} \text{ m}\).
- Constante de gravitation universelle : \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
- Masse du Soleil : \(M_{Soleil} \approx 1.989 \times 10^{30} \text{ kg}\).
Questions
- Convertir la période de révolution \(T_{Xylos}\) de l'exoplanète Xylos en secondes (s).
- Convertir le demi-grand axe \(a_{Xylos}\) de l'orbite de Xylos en mètres (m).
- À partir de la troisième loi de Kepler, isoler l'expression littérale de la masse de l'étoile \(M_{etoile}\).
- Calculer la masse de l'étoile Solara (\(M_{Solara}\)) en kilogrammes.
- Comparer la masse de Solara à celle du Soleil. Exprimer cette comparaison sous forme d'un rapport \(M_{Solara}/M_{Soleil}\).
- Calculer la vitesse orbitale moyenne de l'exoplanète Xylos sur son orbite (supposée circulaire pour simplifier ce calcul), en m/s.
Correction : Analyse de l’Orbite d’une Exoplanète
1. Conversion de la Période de Révolution \(T_{Xylos}\)
On convertit les années terrestres en secondes.
Données :
\(T_{Xylos} = 2.50 \text{ années terrestres}\)
1 année terrestre \(\approx 3.156 \times 10^7 \text{ s}\)
La période de révolution de Xylos est \(T_{Xylos, s} = 7.89 \times 10^7 \text{ s}\).
2. Conversion du Demi-grand Axe \(a_{Xylos}\)
On convertit les Unités Astronomiques (UA) en mètres.
Données :
\(a_{Xylos} = 1.80 \text{ UA}\)
1 UA \(\approx 1.496 \times 10^{11} \text{ m}\)
Le demi-grand axe de l'orbite de Xylos est \(a_{Xylos, m} \approx 2.69 \times 10^{11} \text{ m}\).
Quiz Intermédiaire
3. Expression Littérale de la Masse de l'Étoile
On part de la troisième loi de Kepler et on isole \(M_{etoile}\).
Loi de Kepler : \(\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G M_{etoile}}\)
En réarrangeant l'équation :
L'expression littérale de la masse de l'étoile est \(M_{etoile} = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}\).
4. Calcul de la Masse de l'Étoile Solara (\(M_{Solara}\))
On applique la formule trouvée avec les valeurs converties en unités SI.
Données :
\(a = 2.6928 \times 10^{11} \text{ m}\)
\(T = 7.89 \times 10^7 \text{ s}\)
\(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
\(\pi \approx 3.14159\)
La masse de l'étoile Solara est \(M_{Solara} \approx 1.86 \times 10^{30} \text{ kg}\).
5. Comparaison de la Masse de Solara à Celle du Soleil
On calcule le rapport \(M_{Solara}/M_{Soleil}\).
Données :
\(M_{Solara} \approx 1.855 \times 10^{30} \text{ kg}\)
\(M_{Soleil} \approx 1.989 \times 10^{30} \text{ kg}\)
Le rapport \(M_{Solara}/M_{Soleil} \approx 0.93\). L'étoile Solara a une masse légèrement inférieure à celle du Soleil (environ 93% de la masse solaire).
Quiz Intermédiaire
6. Calcul de la Vitesse Orbitale Moyenne de Xylos
Pour une orbite circulaire, \(v = \frac{2\pi a}{T}\).
Données :
\(a = 2.6928 \times 10^{11} \text{ m}\)
\(T = 7.89 \times 10^7 \text{ s}\)
Vitesse en m/s :
Conversion en km/h (1 m/s = 3.6 km/h) :
La vitesse orbitale moyenne de Xylos est d'environ \(2.14 \times 10^4 \text{ m/s}\), soit environ \(7.72 \times 10^4 \text{ km/h}\).
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Glossaire des Termes Clés
Exoplanète :
Planète située en dehors de notre Système solaire, orbitant autour d'une autre étoile.
Période de Révolution (T) :
Temps mis par un astre pour effectuer une orbite complète autour d'un autre astre.
Demi-grand Axe (a) :
Pour une orbite elliptique, c'est la moitié de la plus grande dimension de l'ellipse. Pour une orbite circulaire, c'est le rayon de l'orbite.
Loi de la Gravitation Universelle :
Loi de Newton décrivant la force d'attraction entre deux corps massifs.
Troisième Loi de Kepler :
Loi qui établit une relation entre la période de révolution d'une planète et le demi-grand axe de son orbite.
Unité Astronomique (UA) :
Unité de distance approximativement égale à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil.
Vitesse Orbitale :
Vitesse à laquelle un objet orbite autour d'un autre.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. La plupart des exoplanètes ont des orbites elliptiques. Comment cela affecte-t-il leur vitesse orbitale au cours d'une révolution ? (Indice : Deuxième loi de Kepler ou loi des aires).
2. Quelles sont les principales méthodes utilisées par les astronomes pour détecter des exoplanètes ?
3. La formule de la troisième loi de Kepler utilisée ici suppose que la masse de la planète est négligeable par rapport à la masse de l'étoile. Comment la formule se modifie-t-elle si ce n'est pas le cas ?
4. Qu'est-ce que la "zone habitable" autour d'une étoile et quels facteurs la déterminent ?
5. Si l'on découvrait une exoplanète avec une période très courte et un demi-grand axe très petit, qu'est-ce que cela impliquerait sur la masse de son étoile hôte (par rapport au Soleil) ?
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