Calcul de la poussée d’Archimède

Calcul de la Poussée d’Archimède en Physique

Calcul de la Poussée d’Archimède

Contexte : Pourquoi les bateaux flottent-ils ?

La flottabilité est un phénomène que nous observons tous les jours, que ce soit avec un bateau sur l'eau ou un ballon dans l'air. Ce principe est gouverné par une force invisible mais puissante : la poussée d'ArchimèdeForce verticale, dirigée de bas en haut, que subit tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz). Sa valeur est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps.. Cette force, dirigée vers le haut, s'oppose au poids de l'objet immergé. Comprendre et calculer cette poussée est fondamental en ingénierie navale, en aéronautique et dans de nombreux autres domaines. Cet exercice vous guidera pour déterminer si un objet flotte ou coule en comparant son poids à la poussée d'Archimède qu'il subit.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du principe d'Archimède et des concepts de masse volumique et de poids. Nous allons utiliser les dimensions d'un objet pour calculer son volume, puis son poids. Ensuite, nous calculerons le poids du fluide qu'il déplace pour trouver la poussée d'Archimède. La comparaison de ces deux forces nous permettra de prédire le comportement de l'objet. C'est une démarche essentielle pour comprendre l'équilibre des corps immergés.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le volume d'un objet simple (parallélépipède).
Calculer le poids d'un objet à partir de sa masse volumique et de son volume.
Définir et calculer la poussée d'Archimède.
Comparer le poids et la poussée d'Archimède pour prédire la flottabilité.
Manipuler les unités du Système International (m, kg, N, m³).

Données de l'étude

On souhaite savoir si un bloc de bois de sapin, de forme parallélépipédique, flotte lorsqu'il est entièrement plongé dans de l'eau douce. Les caractéristiques du bloc et de l'eau sont les suivantes :

Bloc de bois immergé dans l'eau

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur du bloc	$L$	0.5	$\text{m}$
Largeur du bloc	$l$	0.2	$\text{m}$
Hauteur du bloc	$h$	0.1	$\text{m}$
Masse volumique du sapin	$\rho_{\text{bois}}$	500	$\text{kg/m}^3$
Masse volumique de l'eau	$\rho_{\text{eau}}$	1000	$\text{kg/m}^3$
Intensité de la pesanteur	$g$	9.81	$\text{N/kg}$

Questions à traiter

Calculer le volume $V$ du bloc de bois.
Calculer la masse $m$ du bloc de bois, puis son poids $P$.
Calculer la valeur de la poussée d'Archimède $F_A$ que subit le bloc lorsqu'il est entièrement immergé.
Comparer le poids $P$ et la poussée d'Archimède $F_A$. Le bloc de bois va-t-il flotter ou couler ? Justifier.

Les bases de l'Hydrostatique

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés de la mécanique des fluides au repos.

1. La Masse Volumique :
La masse volumique, notée $\rho$ (rhô), est une grandeur qui caractérise la masse d'un matériau par unité de volume. Elle se calcule par la formule : \[ \rho = \frac{m}{V} \] où $m$ est la masse (en $\text{kg}$) et $V$ le volume (en $\text{m}^3$). Son unité est le $\text{kg/m}^3$. Un matériau avec une faible masse volumique est dit "léger".

2. Le Poids :
Le poids $\vec{P}$ est la force d'attraction gravitationnelle. Sa valeur se calcule par $P = m \cdot g$. En utilisant la masse volumique, on peut aussi l'écrire : \[ P = \rho_{\text{objet}} \cdot V_{\text{objet}} \cdot g \]

3. Le Principe d'Archimède :
Ce principe énonce que "tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement immergé ou non, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé". Cette force est la poussée d'Archimède $F_A$. \[ F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g \] Où $V_{\text{immergé}}$ est le volume de la partie de l'objet qui est sous la surface du fluide.

Correction : Calcul de la Poussée d’Archimède

Question 1 : Calculer le volume V du bloc de bois

Principe (le concept physique)

Le volume est la mesure de l'espace tridimensionnel occupé par un objet. Pour un parallélépipède rectangle (une "boîte"), il est simplement le produit de ses trois dimensions : longueur, largeur et hauteur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de volumes est une base de la géométrie euclidienne. Pour des formes plus complexes, on utilise des méthodes de calcul intégral. Le volume est une grandeur extensive, ce qui signifie que si l'on met deux objets identiques côte à côte, le volume total est le double du volume d'un seul objet.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez le volume comme le nombre de petits cubes d'un mètre de côté que l'on pourrait ranger à l'intérieur de l'objet. C'est une notion très concrète. Assurez-vous toujours que les dimensions sont dans la même unité avant de les multiplier.

Normes (la référence réglementaire)

L'unité de volume du Système International (SI) est le mètre cube ($\text{m}^3$). Les formules géométriques pour les volumes des solides de base sont des conventions mathématiques universelles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un parallélépipède rectangle :

V = L \cdot l \cdot h

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le bloc de bois est un parallélépipède rectangle parfait.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Longueur, $L = 0.5 \, \text{m}$
Largeur, $l = 0.2 \, \text{m}$
Hauteur, $h = 0.1 \, \text{m}$

Astuces(Pour aller plus vite)

Multiplier par 0.5 revient à diviser par 2. Multiplier par 0.1 revient à diviser par 10. Le calcul $0.5 \times 0.2 \times 0.1$ peut se faire mentalement : $0.2 / 2 = 0.1$, puis $0.1 \times 0.1 = 0.01$.

Schéma (Avant les calculs)

Dimensions du bloc de bois

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les dimensions en mètres. L'unité du résultat sera le mètre cube ($\text{m}^3$).

\begin{aligned} V &= L \cdot l \cdot h \\ &= 0.5 \, \text{m} \cdot 0.2 \, \text{m} \cdot 0.1 \, \text{m} \\ &= 0.01 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Volume du bloc de bois

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le volume du bloc est de 0.01 mètre cube. Sachant qu'un mètre cube équivaut à 1000 litres, le volume du bloc est de 10 litres. Cette valeur est essentielle car c'est le volume de fluide que le bloc déplacera s'il est entièrement immergé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de mal gérer les unités. Si les dimensions étaient données en centimètres, il faudrait les convertir en mètres AVANT de calculer le volume pour obtenir un résultat en $\text{m}^3$, l'unité de référence du Système International.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le volume d'une "boîte" est Longueur × largeur × hauteur.
L'unité SI du volume est le mètre cube ($\text{m}^3$).
Il faut toujours utiliser des unités cohérentes pour les calculs.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La légende raconte qu'Archimède aurait trouvé son fameux principe en prenant son bain. En voyant l'eau déborder, il aurait compris que le volume d'eau déplacé était égal au volume de son corps immergé. Il serait alors sorti dans la rue en criant "Eurêka !" ("J'ai trouvé !").

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le volume du bloc de bois est de 0.01 m³.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un cube a une arête de 20 cm. Quel est son volume en $\text{m}^3$ ? (Attention à la conversion !)

Question 2 : Calculer la masse m, puis le poids P

Principe (le concept physique)

Connaissant le volume du bloc et la masse volumique du matériau qui le compose (le sapin), on peut déterminer sa masse totale. Une fois la masse connue, on peut calculer son poids, c'est-à-dire la force avec laquelle la Terre l'attire vers le bas.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La masse volumique est une propriété caractéristique d'un matériau. Elle nous permet de passer d'une information géométrique (le volume) à une information mécanique (la masse). Le poids, lui, est la force résultante de l'interaction entre cette masse et le champ gravitationnel terrestre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est un calcul en deux étapes. D'abord, on "remplit" virtuellement le volume avec le matériau pour trouver la masse ($m = \rho \cdot V$). Ensuite, on "pèse" cette masse dans le champ de gravité pour trouver la force ($P = m \cdot g$). Ne sautez pas d'étape !

Normes (la référence réglementaire)

Les masses volumiques des matériaux de construction comme le bois sont répertoriées dans des normes (par exemple, les Eurocodes pour l'Europe). Ces valeurs peuvent varier légèrement en fonction de l'humidité du bois, un paramètre important en ingénierie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul de la masse :

m = \rho_{\text{bois}} \cdot V

2. Calcul du poids :

P = m \cdot g

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le bloc de bois est homogène, c'est-à-dire que sa masse volumique est la même en tout point.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Volume du bloc, $V = 0.01 \, \text{m}^3$ (du calcul Q1)
Masse volumique du sapin, $\rho_{\text{bois}} = 500 \, \text{kg/m}^3$
Intensité de la pesanteur, $g = 9.81 \, \text{N/kg}$

Astuces(Pour aller plus vite)

On peut combiner les deux formules en une seule : $P = \rho_{\text{bois}} \cdot V \cdot g$. Cela permet de faire le calcul en une seule fois et de limiter les erreurs d'arrondi sur la masse intermédiaire.

Schéma (Avant les calculs)

Du Volume au Poids

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la masse en kg :

\begin{aligned} m &= \rho_{\text{bois}} \cdot V \\ &= 500 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0.01 \, \text{m}^3 \\ &= 5 \, \text{kg} \end{aligned}

2. Calcul du poids en N :

\begin{aligned} P &= m \cdot g \\ &= 5 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{N/kg} \\ &= 49.05 \, \text{N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Forces en jeu : le Poids

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le bloc de bois a une masse de 5 kg et est attiré vers le bas par une force de 49.05 N. C'est cette force que la poussée d'Archimède devra vaincre pour que le bloc puisse flotter.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la masse volumique de l'objet ($\rho_{\text{bois}}$) pour calculer son poids, et non celle du fluide. C'est une erreur classique de confusion.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La masse se déduit du volume via la masse volumique : $m = \rho \cdot V$.
Le poids se déduit de la masse via la gravité : $P = m \cdot g$.
Le poids est la force qui fait couler les objets.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bois flotte car sa structure est pleine de petites cavités remplies d'air (les cellules du bois mort), ce qui diminue sa masse volumique globale bien en dessous de celle de l'eau. Un bois gorgé d'eau, où l'air a été remplacé par de l'eau, peut devenir plus dense que l'eau et couler.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La masse du bloc de bois est de 5 kg et son poids est de 49.05 N.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un bloc d'aluminium de même volume ($V=0.01 \, \text{m}^3$) a une masse volumique $\rho_{\text{alu}} = 2700 \, \text{kg/m}^3$. Quel est son poids en N ?

Question 3 : Calculer la poussée d'Archimède (F_A)

Principe (le concept physique)

La poussée d'Archimède est la force exercée par le fluide (ici, l'eau) sur l'objet. Elle est dirigée vers le haut et sa valeur est égale au poids du volume de fluide que l'objet déplace. Puisque le bloc est entièrement immergé, il déplace un volume d'eau égal à son propre volume.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette force résulte de la différence de pression dans le fluide entre le bas et le haut de l'objet. La pression hydrostatique augmente avec la profondeur ($p = \rho g h$). La force de pression sur la face inférieure de l'objet est donc plus grande que sur la face supérieure, créant une force nette vers le haut.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour calculer la poussée d'Archimède, imaginez que vous retirez le bloc de bois de l'eau et que vous remplissez le "trou" laissé vacant avec de l'eau. La poussée d'Archimède est simplement le poids de cette eau. C'est l'astuce la plus simple pour ne jamais se tromper.

Normes (la référence réglementaire)

La masse volumique de l'eau douce est standardisée à $1000 \, \text{kg/m}^3$ à 4°C. Cette valeur de référence est utilisée dans d'innombrables calculs en physique et en ingénierie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La poussée d'Archimède est le poids du fluide déplacé :

F_A = m_{\text{eau déplacée}} \cdot g

Avec $m_{\text{eau déplacée}} = \rho_{\text{eau}} \cdot V_{\text{immergé}}$. Comme le bloc est entièrement immergé, $V_{\text{immergé}} = V_{\text{objet}}$. Donc :

F_A = \rho_{\text{eau}} \cdot V \cdot g

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que le bloc est entièrement immergé dans l'eau et que la masse volumique de l'eau est constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Volume du bloc, $V = 0.01 \, \text{m}^3$ (du calcul Q1)
Masse volumique de l'eau, $\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3$
Intensité de la pesanteur, $g = 9.81 \, \text{N/kg}$

Astuces(Pour aller plus vite)

Multiplier par 1000 est simple. Le calcul devient $1000 \times 0.01 \times 9.81 = 10 \times 9.81 = 98.1$. Le calcul est quasi-instantané.

Schéma (Avant les calculs)

Volume d'eau déplacé

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les valeurs du fluide (l'eau) et le volume de l'objet.

\begin{aligned} F_A &= \rho_{\text{eau}} \cdot V \cdot g \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0.01 \, \text{m}^3 \cdot 9.81 \, \text{N/kg} \\ &= 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{N/kg} \\ &= 98.1 \, \text{N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Forces en jeu : Poids et Poussée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'eau exerce une poussée de 98.1 N vers le haut sur le bloc de bois. Cette force est significativement plus grande que le poids du bloc que nous avons calculé précédemment.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

C'est l'erreur la plus fondamentale : il faut impérativement utiliser la masse volumique du FLUIDE ($\rho_{\text{eau}}$) pour calculer la poussée d'Archimède, et non celle de l'objet. On calcule le poids du fluide déplacé, pas le poids de l'objet.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La poussée d'Archimède est une force dirigée vers le haut.
Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé.
Sa formule est $F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g$.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les sous-marins contrôlent leur flottabilité en remplissant ou en vidant des réservoirs appelés "ballasts". Pour plonger, ils remplissent les ballasts d'eau, augmentant leur poids total jusqu'à ce qu'il soit supérieur à la poussée d'Archimède. Pour remonter, ils chassent l'eau des ballasts avec de l'air comprimé.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La poussée d'Archimède subie par le bloc totalement immergé est de 98.1 N.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la poussée d'Archimède (en N) sur ce même bloc s'il était plongé dans du pétrole de masse volumique $\rho_{\text{pétrole}} = 800 \, \text{kg/m}^3$ ?

Question 4 : Comparer les forces et conclure

Principe (le concept physique)

Le sort de l'objet est scellé par la confrontation entre les deux forces verticales : le poids ($P$) qui le tire vers le bas et la poussée d'Archimède ($F_A$) qui le pousse vers le haut. Si la force vers le haut est plus grande, l'objet remonte et flotte. Si la force vers le bas est plus grande, il coule. Si elles sont égales, il reste en équilibre où il est (flottabilité neutre).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La condition de flottabilité peut se résumer à une simple comparaison des masses volumiques. Puisque $P = \rho_{\text{objet}} V g$ et $F_A = \rho_{\text{fluide}} V g$ (pour un objet plein immergé), la comparaison de $P$ et $F_A$ revient à comparer $\rho_{\text{objet}}$ et $\rho_{\text{fluide}}$. Si $\rho_{\text{objet}} < \rho_{\text{fluide}}$, l'objet flotte.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le moment de vérité. On met les deux forces sur une "balance" imaginaire. Laquelle l'emporte ? La réponse à cette question simple détermine tout le comportement du système.

Normes (la référence réglementaire)

Les calculs de stabilité des navires, régis par des organisations maritimes internationales, sont des applications très complexes de ce principe de base. Les ingénieurs doivent s'assurer que même si un navire gîte (penche), la poussée d'Archimède génère un "moment de redressement" qui le ramène à la verticale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On compare les valeurs numériques de P et $F_A$. Il y a trois cas possibles :

\text{Si } F_A > P \Rightarrow \text{l'objet flotte.}

\text{Si } F_A < P \Rightarrow \text{l'objet coule.}

\text{Si } F_A = P \Rightarrow \text{l'objet est en équilibre (flottabilité neutre).}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le fluide est suffisamment grand pour que le bloc puisse flotter ou couler librement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Poids du bloc, $P = 49.05 \, \text{N}$ (du calcul Q2)
Poussée d'Archimède, $F_A = 98.1 \, \text{N}$ (du calcul Q3)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pas besoin de calculatrice ici. On voit immédiatement que 98.1 est environ le double de 49.05. La conclusion est évidente sans calcul précis.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des Forces

Calcul(s) (l'application numérique)

On effectue la comparaison :

98.1 \, \text{N} > 49.05 \, \text{N}

\Rightarrow F_A > P

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Flottaison

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Puisque la force qui pousse le bloc vers le haut (98.1 N) est plus grande que la force qui le tire vers le bas (49.05 N), la force résultante est dirigée vers le haut. Le bloc, s'il est lâché sous l'eau, va donc remonter à la surface. Il flottera de telle manière qu'une partie de son volume sera hors de l'eau, jusqu'à ce que la poussée d'Archimède (qui ne s'appliquera plus qu'au volume immergé) soit exactement égale à son poids.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas inverser la conclusion. C'est la plus grande force qui "gagne". Si la poussée d'Archimède est supérieure, l'objet flotte ; si le poids est supérieur, il coule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

On compare le poids $P$ et la poussée d'Archimède $F_A$.
$F_A > P \Rightarrow$ Ça flotte.
$F_A < P \Rightarrow$ Ça coule.
De manière équivalente, on peut comparer les masses volumiques : $\rho_{\text{objet}} < \rho_{\text{fluide}} \Rightarrow$ Ça flotte.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Un iceberg flotte car la masse volumique de la glace (environ $917 \, \text{kg/m}^3$) est inférieure à celle de l'eau de mer (environ $1025 \, \text{kg/m}^3$). Le rapport de ces densités ($917/1025 \approx 0.89$) nous indique qu'environ 89% du volume de l'iceberg se trouve sous la surface de l'eau. C'est l'origine de l'expression "la partie émergée de l'iceberg".

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Comme la poussée d'Archimède (98.1 N) est supérieure au poids du bloc (49.05 N), le bloc de bois va flotter.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Le bloc d'aluminium de la question 2 ($P = 264.87 \, \text{N}$) est plongé dans l'eau. Va-t-il flotter ou couler ?

Outil Interactif : Laboratoire de Flottabilité

Modifiez les masses volumiques de l'objet et du fluide pour voir si l'objet flotte ou coule.

Paramètres d'Entrée

Masse Volumique de l'Objet (kg/m³) 500 kg/m³

Masse Volumique du Fluide (kg/m³) 1000 kg/m³

Résultats Clés (pour un volume de 0.01 m³)

Poids de l'objet (N) -

Poussée d'Archimède (N) -

Conclusion -

Le Saviez-Vous ?

La mer Morte est un lac dont l'eau est extrêmement salée, ce qui rend sa masse volumique très élevée (environ $1240 \, \text{kg/m}^3$). La poussée d'Archimède y est si forte que le corps humain, dont la masse volumique moyenne est légèrement inférieure à celle de l'eau douce, y flotte sans aucun effort. Il est quasiment impossible de s'y noyer par immersion.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que la forme de l'objet change la poussée d'Archimède ?

Pour un objet entièrement immergé, la forme n'a aucun impact sur la poussée d'Archimède. Seul son volume total compte, car il détermine le volume de fluide déplacé. En revanche, pour un objet flottant (comme un bateau), la forme de la coque est cruciale pour la stabilité.

Que se passe-t-il si un objet flotte à moitié ?

S'il flotte avec la moitié de son volume immergé, cela signifie que le volume immergé ($V/2$) est juste suffisant pour que la poussée d'Archimède ($F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot (V/2) \cdot g$) soit exactement égale au poids de l'objet ($P = \rho_{\text{objet}} \cdot V \cdot g$). En simplifiant, on trouve que cela arrive si la masse volumique de l'objet est exactement la moitié de celle du fluide.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un glaçon flotte sur l'eau. Que se passe-t-il avec le niveau de l'eau lorsque le glaçon fond complètement ?

Le niveau monte
Le niveau baisse
Le niveau ne change pas

2. On plonge une boule d'acier de 1 kg et une boule d'aluminium de 1 kg dans l'eau. Laquelle subit la plus grande poussée d'Archimède ?

La boule d'aluminium
La boule d'acier
Elles subissent la même poussée

Poussée d'Archimède: Force verticale, dirigée de bas en haut, que subit tout corps plongé dans un fluide. Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps.
Masse Volumique: Grandeur physique qui représente la masse d'un matériau par unité de volume. Elle s'exprime en $\text{kg/m}^3$.
Volume Déplacé: Volume de fluide qui est "poussé" par un objet lorsqu'il est immergé. Pour un objet entièrement immergé, c'est simplement le volume de l'objet.

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