Lancement d’une fusée artisanale
Contexte : La conquête du ciel, une application de la physique fondamentale.
Le lancement d'une fusée, même d'un modèle réduit, est une démonstration spectaculaire des principes de la mécanique de Newton. En appliquant une force de PousséeLa poussée est la force, décrite par la troisième loi de Newton, qui propulse une fusée. Elle est générée par l'éjection à grande vitesse de gaz issus de la combustion du propergol. supérieure à son poids, la fusée s'arrache à l'attraction terrestre et prend de la vitesse. Cet exercice a pour but de modéliser les premières secondes du vol d'une fusée artisanale pour déterminer son accélération, sa vitesse, l'altitude atteinte à la fin de la propulsion et son énergie cinétique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du Principe Fondamental de la Dynamique (deuxième loi de Newton) et des équations du mouvement. Nous allons utiliser des données concrètes (masse, poussée) pour calculer des grandeurs cinématiques (accélération, vitesse, altitude). C'est une démarche essentielle pour comprendre comment les forces se traduisent en mouvement.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique pour calculer une accélération.
- Utiliser les équations du Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA).
- Calculer une vitesse et une altitude à partir de l'accélération.
- Calculer l'énergie cinétique d'un objet en mouvement.
- Se familiariser avec les unités du Système International (kg, N, m/s, m/s²).
Données de l'étude
Schéma du lancement et bilan des forces
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la fusée | \(m\) | 0.5 | \(\text{kg}\) |
| Poussée du moteur (constante) | \(F\) | 30 | \(\text{N}\) |
| Durée de la poussée | \(\Delta t\) | 2.0 | \(\text{s}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{N/kg}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'accélération de la fusée pendant la phase de poussée.
- Calculer la vitesse et l'altitude de la fusée à la fin de la poussée (extinction du moteur).
- Calculer l'énergie cinétique de la fusée à cet instant.
- Après l'extinction du moteur, quelle est la nouvelle accélération de la fusée ? (On néglige toujours les frottements).
Les bases de la Mécanique du Point
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.
1. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) :
Aussi appelée deuxième loi de Newton, elle stipule que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son accélération :
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
C'est la relation fondamentale qui lie les causes (les forces) à l'effet (l'accélération, donc le changement de mouvement).
2. Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA) :
C'est le mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite avec une accélération constante \(a\). Ses équations horaires sont :
\[ v(t) = a \cdot t + v_0 \]
\[ y(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + y_0 \]
où \(v_0\) et \(y_0\) sont la vitesse et la position initiales.
3. Énergie Cinétique :
C'est l'énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle dépend de la masse \(m\) et de la vitesse \(v\) du corps.
\[ E_c = \frac{1}{2} m \cdot v^2 \]
L'énergie cinétique est exprimée en Joules (J).
Correction : Lancement d’une fusée artisanale
Question 1 : Calculer l'accélération de la fusée
Principe (le concept physique)
L'accélération de la fusée résulte du déséquilibre entre les forces qui s'exercent sur elle. La poussée du moteur la propulse vers le haut, tandis que son poids (l'attraction terrestre) la tire vers le bas. L'accélération est la conséquence directe de la force nette (résultante) qui agit sur la fusée, conformément à la deuxième loi de Newton.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le Principe Fondamental de la Dynamique (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)) est une loi vectorielle. Pour l'appliquer à un mouvement rectiligne, on la projette sur un axe. Ici, on choisit un axe vertical orienté vers le haut. La poussée sera donc positive et le poids négatif. L'accélération sera positive si la poussée est supérieure au poids, ce qui est la condition nécessaire au décollage.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La première étape est toujours de faire un "bilan des forces" : identifier toutes les forces agissant sur le système (ici, la fusée) et les représenter sur un schéma. C'est une étape cruciale qui permet de ne rien oublier avant d'écrire l'équation mathématique. Ne négligez jamais le poids !
Normes (la référence réglementaire)
En France, le vol de fusées expérimentales est encadré par des associations comme Planète Sciences et la législation sur les aéronefs télépilotés. Les règles de sécurité (distances, zones de vol, puissance des moteurs) sont primordiales pour éviter tout accident. Cet exercice, bien que simplifié, touche aux calculs de base nécessaires à la conception de ces engins.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On projette le PFD sur un axe vertical (y) orienté vers le haut :
Avec le poids \(P = m \cdot g\). On peut donc isoler l'accélération \(a\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le lancement est parfaitement vertical, que la poussée F est constante et que la masse m ne varie pas (on néglige la masse du carburant éjecté). On néglige aussi la résistance de l'air.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Poussée, \(F = 30 \, \text{N}\)
- Masse, \(m = 0.5 \, \text{kg}\)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s²}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant tout, calculez le poids de la fusée : \(P = 0.5 \times 9.81 \approx 4.9 \, \text{N}\). Comparez-le à la poussée de 30 N. Comme \(F > P\), la fusée va bien décoller. La force nette qui la propulse est \(F_{\text{nette}} = 30 - 4.9 = 25.1 \, \text{N}\). Il suffit alors de diviser par la masse pour avoir l'accélération.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur la fusée au décollage
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du poids P :
2. Calcul de l'accélération a :
Schéma (Après les calculs)
Résultante et accélération
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une accélération de 50.19 m/s² est énorme ! C'est plus de 5 fois l'accélération de la pesanteur (\(g\)). Cela signifie que pour chaque seconde de vol, la vitesse de la fusée augmente de plus de 50 m/s (soit 180 km/h). Les pilotes de chasse subissent des accélérations de cet ordre de grandeur, appelées "facteur de charge" ou "G". Ici, la fusée subit environ 5 G.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier le poids dans le calcul et de simplement écrire \(a = F/m\). Cela donnerait une accélération de 60 m/s², une surestimation significative. Une autre erreur est de mal orienter les forces (par exemple, additionner le poids à la poussée).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Faire le bilan des forces (Poussée vers le haut, Poids vers le bas).
- Appliquer la 2ème loi de Newton : \(F_{\text{nette}} = m \cdot a\).
- La force nette est la différence entre la poussée et le poids : \(F_{\text{nette}} = F - P\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La troisième loi de Newton ("action-réaction") est le principe clé de la propulsion. La fusée expulse des gaz à grande vitesse vers le bas (action), et en réaction, les gaz exercent une force de même magnitude mais de sens opposé sur la fusée, la propulsant vers le haut (réaction).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la fusée était plus lourde (m = 0.8 kg), quelle serait sa nouvelle accélération en m/s² ?
Simulateur 3D : Forces et Accélération
Accélération : 50.19 m/s²
Question 2 : Vitesse et altitude en fin de poussée
Principe (le concept physique)
Puisque la fusée a une accélération constante (calculée à la question 1), son mouvement est dit "Rectiligne Uniformément Accéléré" (MRUA). On peut donc utiliser les équations horaires de ce type de mouvement pour déterminer sa vitesse et sa position (altitude) à n'importe quel instant, et en particulier à l'instant t = 2.0 s, qui marque la fin de la propulsion.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les équations du MRUA (\(v(t) = at + v_0\) et \(y(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + y_0\)) découlent de l'intégration de l'accélération. Comme \(a = dv/dt\), en intégrant on trouve \(v(t)\). Comme \(v = dy/dt\), en intégrant une seconde fois on trouve \(y(t)\). Les constantes d'intégration \(v_0\) et \(y_0\) sont déterminées par les conditions initiales du problème.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Il est crucial d'identifier les conditions initiales. La fusée part du sol, donc son altitude initiale \(y_0\) est 0. Elle part du repos, donc sa vitesse initiale \(v_0\) est également 0. Cela simplifie grandement les équations du mouvement !
Normes (la référence réglementaire)
Les calculs de trajectoire sont la base de la sécurité en astronautique. Des organismes comme la NASA ou l'ESA utilisent des versions extrêmement sophistiquées de ces équations, prenant en compte la rotation de la Terre, les variations de gravité, les frottements atmosphériques, etc., pour prédire avec une précision extrême où se trouvera un lanceur ou un satellite à un instant donné.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Avec \(v_0 = 0\) et \(y_0 = 0\), les formules deviennent :
On applique ces formules à l'instant \(t = \Delta t = 2.0 \, \text{s}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On continue de supposer que l'accélération \(a\) est constante pendant les 2 secondes de poussée. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Accélération, \(a \approx 50.19 \, \text{m/s²}\) (du calcul Q1)
- Durée de la poussée, \(\Delta t = 2.0 \, \text{s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour un MRUA partant du repos, la vitesse moyenne sur un intervalle de temps t est \(\bar{v} = v_f / 2\). La distance parcourue est simplement cette vitesse moyenne multipliée par le temps : \(y_f = \bar{v} \cdot t = (v_f/2) \cdot t\). Comme \(v_f = a \cdot t\), on retrouve bien \(y_f = (at/2) \cdot t = \frac{1}{2}at^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire pendant la poussée
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la vitesse finale \(v_f\) :
2. Calcul de l'altitude finale \(y_f\) :
Schéma (Après les calculs)
État final après poussée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
En seulement 2 secondes, la fusée atteint une vitesse de plus de 100 m/s (soit 361 km/h) et une altitude de 100 mètres. Il est intéressant de noter que dans ce cas précis où \(v_0=0\) et \(\Delta t = 2\), la valeur de la vitesse en m/s et celle de l'altitude en m sont identiques. C'est une coïncidence mathématique (\(a \times 2 = \frac{1}{2} a \times 2^2\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est d'oublier le carré sur le temps dans la formule de la position (\(y = \frac{1}{2}at^2\)). Une autre erreur est de mal gérer les unités, par exemple si le temps était donné en millisecondes. Assurez-vous que toutes les données sont dans le Système International (m, kg, s, N) avant de calculer.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Un mouvement à accélération constante est un MRUA.
- Les conditions initiales (vitesse et position à t=0) sont essentielles.
- Formules clés : \(v = at\) et \(y = \frac{1}{2}at^2\) (si départ du repos).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La vitesse de libération terrestre, nécessaire pour échapper définitivement à l'attraction de notre planète, est d'environ 11 200 m/s (plus de 40 000 km/h). Notre petite fusée est encore très loin du compte !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la poussée durait 3 secondes, quelle serait la nouvelle altitude atteinte en fin de poussée (en m) ?
Simulateur 3D : Décollage de la fusée
Temps: 0.0 s | Altitude: 0.0 m
Question 3 : Calculer l'énergie cinétique
Principe (le concept physique)
L'énergie cinétique est l'énergie associée au mouvement. Le travail de la poussée a servi à augmenter l'énergie potentielle de la fusée (en la faisant monter) et son énergie cinétique (en la faisant accélérer). Nous calculons cette énergie cinétique à l'instant précis où le moteur s'éteint, en utilisant la masse de la fusée et la vitesse que nous venons de calculer.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation d'énergie cinétique d'un système entre deux points est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s'exercent sur ce système. Ici, \(\Delta E_c = W(\vec{F}) + W(\vec{P})\). C'est une autre façon de résoudre les problèmes de mécanique, souvent plus simple quand on ne s'intéresse pas au temps mais seulement aux états initial et final.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'énergie ne se perd jamais, elle se transforme. Au début, toute l'énergie est chimique (dans le propulsif). Pendant le vol, elle devient cinétique (mouvement) et potentielle (altitude). Après l'apogée, l'énergie potentielle se retransforme en énergie cinétique pendant la chute. Comprendre ces transferts d'énergie est une vision très puissante de la physique.
Normes (la référence réglementaire)
En ingénierie, les calculs d'énergie sont fondamentaux. Par exemple, pour concevoir les freins d'une voiture, les ingénieurs doivent calculer l'énergie cinétique maximale du véhicule pour s'assurer que les freins pourront la dissiper sous forme de chaleur sans défaillir. De même, les boucliers thermiques des capsules spatiales sont conçus pour dissiper l'immense énergie cinétique lors de la rentrée atmosphérique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de l'énergie cinétique (\(E_c\)) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise la vitesse calculée précédemment, qui est la vitesse instantanée de la fusée à la fin de la poussée. La masse est considérée constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse, \(m = 0.5 \, \text{kg}\)
- Vitesse en fin de poussée, \(v_f \approx 100.38 \, \text{m/s}\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)
Attention aux unités. Si la vitesse était en km/h, il faudrait impérativement la convertir en m/s avant d'appliquer la formule. La règle est simple : 1 m/s = 3.6 km/h. Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3.6.
Schéma (Avant les calculs)
Énergie d'un corps en mouvement
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec les unités du Système International. Le résultat sera en Joules (J).
Schéma (Après les calculs)
Énergie Cinétique Acquise
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une énergie de 2519 Joules (ou 2.5 kJ) est considérable. Pour donner un ordre de grandeur, c'est l'énergie nécessaire pour soulever une masse de 250 kg d'un mètre. Toute cette énergie va maintenant se convertir en énergie potentielle de pesanteur pendant que la fusée continue sa montée sur son élan, jusqu'à atteindre son apogée (altitude maximale).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre la vitesse au carré. Une autre erreur est d'oublier le facteur 1/2. Ces deux erreurs conduisent à des résultats très éloignés de la réalité.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'énergie cinétique dépend de la masse et du CARRÉ de la vitesse.
- Unité : le Joule (J).
- Elle représente "l'énergie du mouvement" de l'objet.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'énergie d'un litre d'essence est d'environ 32 millions de Joules (32 MJ). Le propulsif de notre petite fusée, bien que moins dense, a libéré une quantité d'énergie comparable à une toute petite fraction de goutte d'essence pour atteindre cette vitesse.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la masse de la fusée était doublée (1 kg) mais qu'elle atteignait la même vitesse, quelle serait son énergie cinétique en Joules ?
Simulateur 3D : Énergie Cinétique
Énergie Cinétique : 2519 J
Question 4 : Nouvelle accélération après extinction
Principe (le concept physique)
Dès que le moteur s'éteint, la force de poussée disparaît instantanément. La seule force qui s'exerce encore sur la fusée (en négligeant les frottements) est son propre poids, dirigé vers le bas. Le mouvement de la fusée va donc changer radicalement : elle va commencer à décélérer sous l'effet de la gravité.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
C'est un cas classique de "chute libre", même si le mouvement est initialement vers le haut. On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids. En appliquant le PFD, on trouve que \(\sum \vec{F} = \vec{P} = m\vec{g}\). Donc \(m\vec{a} = m\vec{g}\), ce qui simplifie en \(\vec{a} = \vec{g}\). L'accélération de l'objet est égale à l'accélération de la pesanteur, quelle que soit sa masse ou sa vitesse.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est une des découvertes fondamentales de Galilée : en l'absence de frottement d'air, une plume et une boule de pétanque lâchées de la même hauteur tombent à la même vitesse et avec la même accélération. C'est parce que l'accélération de la pesanteur (\(a=g\)) ne dépend pas de la masse de l'objet.
Normes (la référence réglementaire)
La valeur standard de l'accélération de la pesanteur, notée \(g_0\), est fixée par convention internationale à exactement 9.80665 m/s². C'est une valeur moyenne qui sert de référence pour de nombreux calculs en physique et en ingénierie. En pratique, \(g\) varie légèrement avec l'altitude et la latitude.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On refait le bilan des forces. Seul le poids P subsiste.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On néglige toujours la résistance de l'air. La seule force agissant sur la fusée est son poids. La phase de vol balistique commence.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Intensité de la pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s²}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pas besoin de calcul compliqué ici. Dès qu'un objet est en "chute libre" (soumis uniquement à son poids), son accélération est \(\vec{g}\). Il suffit de bien orienter le vecteur : comme l'axe est vers le haut et que \(\vec{g}\) est vers le bas, la composante de l'accélération est \(-g\).
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces après extinction
Calcul(s) (l'application numérique)
Le calcul est direct.
Schéma (Après les calculs)
Accélération en vol balistique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'accélération est maintenant négative, ce qui signifie que la vitesse, qui était positive (vers le haut), va diminuer. La fusée décélère. Elle continue de monter sur son élan, mais de moins en moins vite, jusqu'à ce que sa vitesse s'annule à l'apogée. Ensuite, sa vitesse deviendra négative et elle commencera à redescendre, toujours avec cette même accélération de -9.81 m/s².
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas penser que parce que la vitesse est vers le haut, l'accélération doit l'être aussi. L'accélération est liée aux forces, pas à la vitesse. Dès que la poussée cesse, la seule force est vers le bas, donc l'accélération est vers le bas. C'est une décélération.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Après l'extinction du moteur, la seule force est le poids (chute libre).
- L'accélération devient égale à \(-g\), soit -9.81 m/s².
- Cette accélération est constante et indépendante de la masse.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les astronautes à bord de la Station Spatiale Internationale sont en état d'impesanteur non pas parce qu'ils sont "hors de la gravité" (elle est encore d'environ 90% de sa valeur au sol), mais parce qu'ils sont en chute libre permanente. La station et tout ce qu'elle contient "tombent" continuellement vers la Terre, mais avec une vitesse horizontale si grande qu'ils manquent constamment la surface. Ils sont en orbite.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sur la Lune, où g est environ 1.62 m/s², quelle serait cette accélération de chute libre (en m/s²) ?
Simulateur 3D : Vol Balistique
Vitesse: 100.4 m/s | Accélération: -9.81 m/s²
Outil Interactif : Paramètres du Lancement
Modifiez les paramètres de la fusée pour voir leur influence sur les performances du lancement.
Paramètres d'Entrée
Résultats en fin de poussée
Le Saviez-Vous ?
Le "père" de l'astronautique moderne est souvent considéré comme étant Constantin Tsiolkovski, un scientifique russe qui, dès 1903, a théorisé l'usage de fusées à propergol liquide pour atteindre l'espace. Son équation, "l'équation de Tsiolkovski", est toujours fondamentale aujourd'hui pour calculer la variation de vitesse d'une fusée.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi néglige-t-on les frottements de l'air ?
Pour un exercice de niveau Seconde, inclure la force de frottement de l'air (qui dépend du carré de la vitesse) rendrait les équations beaucoup trop complexes à résoudre. C'est une simplification nécessaire pour se concentrer sur les principes de base. En réalité, pour une fusée rapide, les frottements sont une force très importante qui limite la vitesse et l'altitude.
La masse de la fusée est-elle vraiment constante ?
Non. En éjectant du gaz, la fusée perd de la masse. Pour les grandes fusées comme Ariane, cette perte de masse est considérable et doit absolument être prise en compte. Pour une micro-fusée où le carburant ne représente qu'une petite partie de la masse totale, la considérer comme constante pendant la courte poussée est une approximation acceptable.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la poussée du moteur (F), l'accélération initiale de la fusée va...
2. À l'apogée (altitude maximale) de sa trajectoire, la vitesse de la fusée est... et son accélération est...
- Poussée (F)
- Force de réaction qui propulse la fusée, générée par l'éjection de gaz à haute vitesse. Unité : Newton (N).
- Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
- Deuxième loi de Newton, qui énonce que la somme des forces appliquées à un objet est égale au produit de sa masse par son accélération (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)).
- Énergie Cinétique (Ec)
- Énergie possédée par un corps en raison de son mouvement. Elle se calcule par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). Unité : Joule (J).
D’autres exercices de physique seconde:
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