Loi d'Ohm avec des Lampes LED en Parallèle
📝 Contexte de l'Étude
Dans le cadre d'un chantier de rénovation énergétique d'un salon privatif, le bureau d'études électriques a décidé de remplacer l'ancien système d'éclairage halogène par une solution moderne et économique.
L'installation choisie est un circuit à Très Basse Tension de Sécurité (TBTS). Elle comporte une source de tension continue stabilisée, qui alimente un ensemble de 4 spots LED identiques branchés en parallèle.
Ce montage en dérivation permet d'assurer qu'en cas de défaillance d'une seule ampoule LED, les autres continuent de fonctionner indépendamment. Pour les besoins de l'étude à point de fonctionnement nominal, chaque spot LED sera modélisé par sa résistance équivalente.
En tant que technicien responsable de la validation, vous devez calculer le bilan des courants afin de pouvoir dimensionner l'alimentation et la protection par fusible.
Vous devrez également analyser la résilience du système face à un aléa technique majeur, causé par une erreur de manipulation humaine sur le réseau électrique.
Pour cet exercice de dimensionnement de niveau débutant, les fils conducteurs en cuivre sont considérés comme des conducteurs parfaits. Leur résistance est négligée afin d'alléger la résolution mathématique. Le régime établi est supposé permanent (DC).
Pour mener à bien cette étude, nous recensons les caractéristiques des composants achetés, les signaux d'entrée imposés par l'installation et les réglementations électriques en vigueur.
📚 Normes et Règlements de Conception
NF C 15-100 Domaine TBTS (Très Basse Tension)🧩 COMPOSANTS ET MATÉRIELS
-
Spots LED (Quantité : 4)
- Puissance active unitaire : \( P_{\text{LED}} = \mathbf{6} \text{ W} \)
- Tension de fonctionnement : \( U_{\text{nom}} = \mathbf{12} \text{ V} \)
⚡ ALIMENTATION ET SIGNAUX
-
Source de Tension Stabilisée
- Tension délivrée (Continue) : \( U_{\text{src}} = \mathbf{12} \text{ V} \)
- Facteur de sécurité exigé : Marge de \(\mathbf{25\%}\) sur le calibre du fusible.
3. Méthodologie d'Analyse & Travail Demandé
Afin d'assurer un fonctionnement sûr, optimal et conforme aux standards électriques, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.
Question 1 : Modélisation des Récepteurs
Calculez la résistance équivalente d'un seul spot LED \( R_{\text{LED}} \), puis déduisez-en la résistance équivalente totale \( R_{\text{éq}} \) de l'installation vue par l'alimentation.
Question 2 : Bilan des Courants et de la Puissance
Déterminez le courant appelé par une seule branche \( I_{\text{LED}} \), puis déduisez le courant total \( I_{\text{tot}} \) fourni par l'alimentation et la puissance totale consommée \( P_{\text{tot}} \).
Question 3 : Dimensionnement de la Protection
En appliquant une marge de sécurité de 25% sur le courant nominal total, déterminez le calibre minimal du fusible de protection à installer en tête de circuit.
Question 4 (Finale) : L'Erreur de Maintenance
🚨 SCÉNARIO DE DÉFAUT : Un utilisateur remplace par mégarde le dernier spot LED par un ancien spot Halogène 12V d'une puissance de 50W.
👉 Travail demandé : Calculez le nouveau courant total appelé par l'installation et démontrez mathématiquement pourquoi le fusible va déclencher.
Loi d’Ohm avec des Lampes LED en Parallèle
🎯 1. Objectif Technique
L'objectif de cette première étape est de transformer les données de puissance fournies par le constructeur en une grandeur physique élémentaire : la résistance électrique (mesurée en Ohms).
Par la suite, nous devrons simplifier le schéma de nos 4 récepteurs montés en parallèle pour obtenir une seule résistance globale. Celle-ci modélisera la charge totale vue par la source de tension.
Avant de pouvoir utiliser la loi d'Ohm à l'échelle du circuit complet, il est impératif de connaître la valeur résistive individuelle d'un spot LED.
Imaginez la résistance électrique comme une caisse de supermarché. Si une seule caisse (par exemple de 24 Ohms) freine l'avancée des clients, le fait d'ouvrir 4 caisses identiques en parallèle permet à 4 fois plus de clients de passer en même temps.
L'obstacle global (la résistance équivalente) est donc tout simplement divisé par 4 !
Nous allons croiser deux formules de base. D'une part, la puissance active électrique absorbée par un composant, qui est le produit de sa tension par son courant.
D'autre part, la loi d'Ohm, qui nous dicte que la tension électrique est proportionnelle à la résistance et au courant.
Nous devons créer une nouvelle formule à partir des deux lois connues de tous : la puissance (\( P = U \times I \)) et la loi d'Ohm (\( U = R \times I \)).
Relation de la Puissance Dissipée :Puisque nous cherchons \( R \) et n'avons pas encore le courant \( I \), nous allons ruser. Dans la loi d'Ohm, on peut isoler \( I = \frac{U}{R} \). Remplaçons ce \( I \) dans la formule de la puissance : \( P = U \times \left(\frac{U}{R}\right) \). Cela nous donne la formule finale liant directement la puissance, la tension et la résistance.
L'inverse mathématique de la résistance équivalente globale \( R_{\text{éq}} \) équivaut à la somme des inverses respectifs des \( n \) résistances disposées en parallèle.
Justification documentaire des paramètres numériques utilisés pour l'application numérique :
- \( P_{\text{LED}} = 6 \text{ W} \) : Puissance nominale inscrite directement sur le culot physique du spot LED (issue du cahier des charges).
- \( U_{\text{src}} = 12 \text{ V} \) : Tension nominale de service garantie par le transformateur de l'alimentation électrique stabilisée.
Dans la pratique, lorsque l'on raccorde en parallèle une quantité précise \( N \) de résistances strictement identiques (qui présentent toutes la même valeur \( R \)), le calcul est ultra-rapide.
La résistance équivalente se calcule très simplement en divisant cette valeur par le nombre de composants : \( \frac{R}{N} \). C'est exactement l'histoire de nos caisses de supermarché ! Cela évite de manipuler des calculs de fractions compliqués.
⚙️ 7. Exécution de la Note de Calculs
Nous appliquons dans un premier temps la formule de la puissance pour déterminer la résistance d'un spot LED individuel.
Calcul du spot unitaire Étape 1 : Détermination de la résistance \( R_{\text{LED}} \)Nous remplaçons la tension \( U \) par sa valeur de \( 12 \text{ V} \) et la puissance \( P \) par \( 6 \text{ W} \).
Dans un second temps, nous divisons par 4 pour évaluer la charge totale imposée au réseau.
Calcul de la charge globale Étape 2 : Résistance équivalente de l'installation \( R_{\text{éq}} \)Nous divisons la résistance préalablement calculée par le nombre de spots identiques connectés (\( N_{\text{spots}} = 4 \)).
L'installation résidentielle complète, composée de ses 4 spots de plafond, a été modélisée avec succès.
Du point de vue de l'alimentation électrique, l'ensemble se comporte exactement comme s'il devait fournir de l'énergie à une seule grosse résistance fictive de \( 6 \text{ } \Omega \).
Le résultat obtenu de \( 6 \text{ } \Omega \) est parfaitement cohérent physiquement.
La résistance globale du réseau (\( 6 \text{ } \Omega \)) est effectivement bien inférieure à la résistance d'une branche isolée (\( 24 \text{ } \Omega \)). Cela démontre que plus l'on ajoute d'appareils en parallèle, plus on ouvre de "chemins" pour le courant, ce qui facilite grandement sa circulation globale.
L'erreur la plus commune d'un débutant consiste à additionner simplement les résistances (par exemple : \( 24 + 24 + 24 + 24 = 96 \text{ } \Omega \)).
Ce type de calcul est strictement réservé aux branchements en série (à la queue leu leu). Dans un circuit en parallèle, c'est la facilité à conduire le courant (la conductance) qui s'additionne !
❓ 12. Question Fréquente
Pourquoi affirme-t-on souvent qu'une diode LED n'est pas une véritable résistance ? C'est tout à fait exact en interne : une LED est un composant semi-conducteur. Néanmoins, l'ampoule "spot LED" vendue dans le commerce contient toujours un petit circuit électronique caché (un driver) pour s'adapter au courant. Ainsi, lorsqu'il est alimenté correctement à 12V, on a le droit de le modéliser par une résistance fictive pour simplifier la vie de l'installateur.
🎯 1. Objectif Technique
L'enjeu de cette étape est de déterminer la quantité exacte de courant (l'intensité électrique en Ampères) qui va circuler dans les fils de ligne principaux.
Cela nous permettra de vérifier de manière formelle si notre alimentation électrique est dimensionnée pour supporter la charge totale.
Il existe deux façons de faire ce calcul en génie électrique. C'est une excellente occasion de vérifier que les deux méthodes aboutissent au même résultat.
Soit nous calculons le courant aspiré par une seule petite lampe et nous le multiplions par 4 (loi des nœuds). Soit nous calculons directement le courant total appelé par notre "grosse résistance" de 6 Ohms en utilisant la loi d'Ohm générale sur l'ensemble du circuit.
La Loi des Nœuds s'imagine très facilement comme un réseau de distribution d'eau.
Le tuyau principal (venant du mur) fournit un grand débit d'eau qui va se séparer dans 4 petits tuyaux identiques (nos LED). À la fin du circuit, les 4 petits tuyaux se rejoignent.
Il n'y a pas de fuite : la somme de l'eau dans les petits tuyaux est exactement égale à l'eau du gros tuyau initial.
Voici comment extraire le courant à partir de l'énergie et de la tension.
Calcul de l'Intensité par la Puissance :Pour trouver le courant \( I \), on prend la formule de la puissance \( P = U \times I \). En divisant des deux côtés par la tension \( U \), on isole le courant, ce qui donne la formule suivante :
Le courant total \( I_{\text{tot}} \) peut aussi se calculer en divisant la tension de la source par la résistance équivalente totale de notre circuit.
Justification documentaire des paramètres chiffrés :
- \( P_{\text{LED}} = 6 \text{ W} \) : Cahier des charges du constructeur.
- \( U_{\text{src}} = 12 \text{ V} \) : Tension nominale du transformateur.
- \( R_{\text{éq}} = 6 \text{ } \Omega \) : Résultat trouvé à la Question 1.
En électricité, c'est toujours une excellente idée de calculer la même chose par deux chemins différents (ici par les puissances thermiques et par la loi d'Ohm). C'est ce qu'on appelle une auto-vérification. Si les résultats sont identiques, vous êtes certain de ne pas vous être trompé !
⚙️ 7. Exécution de la Note de Calculs
Calculons le courant pour un spot, puis multiplions-le par 4 pour avoir le total.
Calcul par analyse des branches Étape 1 : Courant d'un spotLe courant tiré par un unique spot de \( 6 \text{ W} \) sur du \( 12 \text{ V} \) :
Nous additionnons virtuellement nos 4 spots.
Vérifions ensuite cela grâce à la loi d'Ohm de la première question, avant de définir la puissance totale.
Auto-vérification & Puissance Globale Étape 3 : Loi d'Ohm GlobaleVérifions avec notre résistance \( R_{\text{éq}} \) de \( 6 \text{ } \Omega \).
Calculons la puissance totale tirée du mur.
Le fil conducteur principal qui sort de l'alimentation (juste avant de se séparer vers chaque lampe) sera parcouru en permanence par un courant continu de 2 Ampères.
Cette énergie est suffisante pour fournir les 24 Watts de puissance lumineuse demandés par le salon.
Un courant de 2 Ampères est une valeur énergétique très modeste. C'est tout l'avantage des éclairages LED modernes en matière d'efficacité énergétique.
Les fils en cuivre classiques de l'installation résidentielle ne risquent absolument pas de chauffer de manière dangereuse sous un courant électrique aussi faible. Les pertes par Effet Joule sont ainsi parfaitement minimisées.
Il est courant de s'emmêler les pinceaux au début de son apprentissage : dans un branchement en parallèle, ce n'est pas le courant qui est le même partout !
C'est la tension électrique (12V) qui est strictement identique pour chaque ampoule. Le courant, lui, se divise à chaque nœud de raccordement.
❓ 12. Question Fréquente
Aurait-on pu trouver la puissance totale plus simplement ? Tout à fait. Puisque nous allumons 4 spots de \( 6 \text{ W} \) chacun, la puissance globale de l'installation est simplement l'addition de ces puissances : \( 4 \times 6 \text{ W} = 24 \text{ W} \). Le principe de conservation de l'énergie est toujours respecté en électricité.
🎯 1. Objectif Technique
Pour éviter tout risque d'incendie des câbles ou de surchauffe destructrice (en cas de court-circuit franc), il est crucial de protéger la ligne.
Nous devons calculer et choisir correctement la valeur nominale (le calibre) du petit composant de sécurité appelé fusible, qui sera placé au départ du fil.
Le fil métallique à l'intérieur du fusible ne doit surtout pas fondre quand l'installation fonctionne normalement (quand le courant de ligne est sagement stabilisé à \( 2 \text{ A} \)).
Il a pour mission de fondre uniquement s'il y a un problème électrique inhabituel. On va donc lui accorder une petite "marge de tolérance" de 25% pour qu'il ne saute pas lors des micro-pics d'allumage.
Cependant, il ne faut pas le choisir avec un calibre trop gros, sinon il ne protègera plus l'installation en cas de vrai danger.
La règle d'or en électrotechnique pour le choix d'un composant de protection est stricte : Courant normal du circuit \(\leq\) Calibre du fusible \(\leq\) Courant maximal admissible du câble.
En électricité résidentielle, rajouter une marge de sécurité de 25% au courant normal d'emploi permet d'absorber les variations passagères tout en respectant les normes de sécurité (NF C 15-100).
Appliquons mathématiquement cette petite marge de sécurité de 25%.
Seuil de déclenchement minimum :Nous appliquons un coefficient de majoration au courant total de fonctionnement normal \( I_{\text{tot}} \).
Justification documentaire des paramètres mis en jeu pour la définition du calibre :
- \( I_{\text{tot}} = 2{,}0 \text{ A} \) : Courant normal trouvé à l'étape 2.
- Calibres disponibles dans le commerce : 1A, 2A, 3A, 5A, 10A, 16A...
Dans un magasin de bricolage, vous ne pouvez pas acheter un fusible "sur mesure" avec des virgules (ex: 2,8 Ampères). La règle est de faire votre calcul, puis de choisir dans le rayon la valeur standardisée qui est immédiatement au-dessus de votre résultat de calcul.
⚙️ 7. Exécution de la Note de Calculs
Calculons le courant avec la marge, de manière très simple, puis choisissons le bon fusible.
1. Le courant avec marge Calcul mental de la tolérance :Prendre une marge de 25%, c'est simplement ajouter un quart (1/4) de la valeur de base. Un quart de \( 2 \text{ A} \), c'est \( 0{,}5 \text{ A} \). Le courant limite est donc de \( 2 \text{ A} + 0{,}5 \text{ A} = 2{,}5 \text{ A} \).
Il nous faut un fusible qui résiste à au moins \( 2{,}5 \text{ A} \). Dans la liste des tailles standard, la première valeur juste au-dessus est de \( 3 \text{ A} \).
Notre petit réseau d'éclairage de plafond est maintenant totalement sécurisé.
Les lampes LED consommeront leurs \( 2 \text{ A} \), et le fusible de protection gardera un œil ouvert, prêt à couper le courant s'il venait à dépasser durablement le cap critique des \( 3 \text{ Ampères} \).
C'est un excellent choix d'ingénierie : la valeur de coupure (3A) est très proche de la valeur nominale d'utilisation (2A).
Le système de protection est ainsi extrêmement réactif. Il évitera catégoriquement que les petits fils de cuivre ne surchauffent en cas de problème de surcharge électrique.
Beaucoup de bricoleurs pensent qu'il faut toujours mettre des gros disjoncteurs divisionnaires de \( 10 \text{ A} \) ou \( 16 \text{ A} \) dans le tableau électrique car "c'est la norme standard".
Mettre un gros fusible de 16A sur des fils aussi fins (prévus pour 2A) est suicidaire ! Le fil de cuivre fondra dans le plafond et provoquera un incendie bien avant que le fusible de 16A ne réagisse.
❓ 12. Question Fréquente
Et si on ajoute un 5ème spot LED au plafond l'an prochain ? Le nouveau courant nominal sera de \( 2{,}5 \text{ A} \) (\( 5 \times 0{,}5 \text{ A} \)). Le fusible de \( 3 \text{ A} \) laissera passer le courant sans fondre tout de suite. Mais il n'y aura quasiment plus aucune marge de sécurité. Le fusible risquera de "fatiguer" thermiquement et de sauter de manière aléatoire. Il faudrait alors redimensionner la protection.
🎯 1. Objectif Technique
Imaginons un cas pratique de maintenance défaillante : un utilisateur a remplacé un spot LED cassé par une vieille ampoule halogène très gourmande (50W) qui traînait dans un placard, croyant bien faire.
Notre rôle est de calculer le nouvel appel de courant et de vérifier scientifiquement si le fusible de sécurité va résister à cette erreur humaine majeure.
Le circuit électrique n'est plus parfaitement symétrique : nous avons désormais 3 LEDs "sages" (6W) et un monstre énergivore (50W) branchés en dérivation côte à côte.
Plutôt que de nous arracher les cheveux à recalculer une résistance totale complexe, nous allons opter pour une méthode plus expéditive et claire.
Nous allons simplement calculer le courant aspiré par chaque ampoule individuellement, puis les additionner (loi des nœuds) pour vérifier si l'on dépasse la limite fatidique des 3 Ampères du fusible.
Règle d'or de l'électricité : La prise de courant (la source) impose les Volts, mais ce sont les appareils branchés (les récepteurs) qui décident des Ampères tirés !
Remplacer une LED de 6W par une ampoule de 50W, c'est comme ouvrir soudainement une énorme vanne sur un réseau d'eau : cela va brutalement aspirer un débit de courant gigantesque depuis le générateur.
Recalculons l'intensité demandée par le mauvais composant pour l'ajouter au reste.
Courant de la vieille ampoule :Le courant \( I_{\text{halo}} \) aspiré par l'halogène se trouve toujours avec la formule extraite de la puissance.
La nouvelle intensité \( I_{\text{défaut}} \) est l'addition du courant des 3 LEDs intactes et du courant du spot halogène intrus.
Le fusible résistera-t-il ? Il faut que cette nouvelle somme reste inférieure ou égale à la tolérance du fusible (\( 3 \text{ A} \)).
D'où viennent nos chiffres ?
- \( P_{\text{halo}} = 50 \text{ W} \) : C'est la valeur énorme inscrite sur l'ampoule trouvée par le client.
- \( I_{\text{LED}} = 0{,}5 \text{ A} \) : C'est le petit appétit d'une seule LED, calculé à l'étape 2.
- \( I_{\text{fusible}} = 3 \text{ A} \) : Le bouclier protecteur choisi à l'étape 3.
En cas de pépin sur une installation, plutôt que de sortir des calculs compliqués de résistances globales, faites toujours la simple somme des courants des appareils branchés. Si cette somme dépasse la valeur écrite sur le disjoncteur/fusible au mur, vous avez trouvé votre coupable !
⚙️ 7. Exécution de la Note de Calculs
Calculons le besoin électrique de l'ampoule halogène.
1. Le poids du coupable Étape 1 : Le courant de l'halogèneBranchée sur le \( 12 \text{ V} \), cette vieille ampoule réclame énormément d'énergie.
Vérifions ensuite si ce nouveau courant total fait disjoncter le système.
Étape 2 : Le total accumulé dans le filOn fait la somme des 3 LEDs toujours en place (3 fois \( 0{,}5 \text{ A} \)) et du gouffre halogène.
Est-ce que \( 5{,}67 \text{ A} \) passe au travers de la porte de \( 3 \text{ A} \) fixée par le fusible ? Évidemment que non.
Conclusion de la crise : L'aspiration de courant monte soudainement à \( 5{,}67 \text{ A} \). C'est presque le double de ce que le pauvre petit fusible de \( 3 \text{ A} \) est physiquement capable de supporter sans fondre.
À la seconde même où l'utilisateur appuie sur l'interrupteur, le minuscule fil de sécurité enfermé dans la cartouche fusible fond sous la chaleur générée par ces \( 5{,}67 \text{ A} \) inattendus.
Le fil métallique se sectionne net (fusion par effet Joule), le courant ne peut plus circuler, et toutes les lumières du salon s'éteignent instantanément.
C'est une excellente nouvelle pour la sécurité de l'habitat ! Cela prouve que notre dimensionnement d'un fusible de \( 3 \text{ A} \) était parfaitement calculé.
Si l'on avait installé un énorme disjoncteur de \( 16 \text{ A} \) à la place, le courant de défaut de \( 5{,}67 \text{ A} \) serait passé. Les fils très fins dans le faux plafond auraient dangereusement surchauffé, risquant de déclencher un incendie d'origine électrique.
Le fusible a littéralement "sacrifié sa vie" pour protéger la maison de l'échauffement thermique.
Face à ce salon plongé dans le noir, le mauvais réparateur dira : "L'alimentation stabilisée 12V est morte, il faut la changer".
Le bon électrotechnicien regardera en l'air, identifiera l'intrus halogène, le dévissera, remplacera le fusible brûlé par un composant neuf de même calibre (3A), et revissera une vraie ampoule LED compatible.
❓ 12. Question Fréquente
Comment empêcher physiquement les gens de faire cette erreur dangereuse ? Les concepteurs industriels utilisent ce qu'on appelle le "détrompage mécanique". En changeant volontairement la forme des branchements et des douilles électriques des nouvelles LED, il devient tout simplement impossible d'enfoncer une vieille ampoule halogène énergivore par accident.
