Équilibre Statique sur un Plan Incliné

Un objet posé sur un plan incliné est soumis à plusieurs forces. Pour un équilibre statique, la somme vectorielle de ces forces doit être nulle. Les forces s'exerçant sur le bloc sont :

• Le poids \(\vec{P}\) : force verticale dirigée vers le bas, appliquée au centre de gravité du bloc. Sa norme est \(P = mg\).
• La réaction du support \(\vec{R}\) : force exercée par le plan incliné sur le bloc. Elle peut être décomposée en :
  • Une composante normale \(\vec{R}_N\) (ou \(\vec{N}\)), perpendiculaire au plan incliné et dirigée vers l'extérieur du plan.
  • Une composante tangentielle \(\vec{f}_s\) (ou \(\vec{T}\)), parallèle au plan incliné, qui représente la force de frottement statique. Elle s'oppose au mouvement (ou à la tendance au mouvement).

La condition d'équilibre statique est \(\Sigma \vec{F}_{ext} = \vec{0}\). Donc, \(\vec{P} + \vec{R}_N + \vec{f}_s = \vec{0}\). Nous choisissons un repère orthonormé \((O, \vec{i'}, \vec{j'})\) lié au plan incliné :

• L'axe \(Ox'\) est parallèle au plan incliné, orienté vers le bas du plan.
• L'axe \(Oy'\) est perpendiculaire au plan incliné, orienté vers le haut (sortant du plan).

Projections des forces :

• Poids \(\vec{P}\) :
  • Composante selon \(Ox'\) : \(P_x = P \sin(\alpha)\)
  • Composante selon \(Oy'\) : \(P_y = -P \cos(\alpha)\) (dirigée vers les y' négatifs)
• Réaction normale \(\vec{R}_N\) :
  • Composante selon \(Ox'\) : \(0\)
  • Composante selon \(Oy'\) : \(R_N\)
• Force de frottement statique \(\vec{f}_s\) (supposée dirigée vers le haut du plan, s'opposant à la tendance de glissement vers le bas) :
  • Composante selon \(Ox'\) : \(-f_s\)
  • Composante selon \(Oy'\) : \(0\)

La condition d'équilibre projetée sur les axes donne :

La norme du poids est donnée par \(P = mg\).

Données : \(m = 5.0 \text{ kg}\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\).

\(P_x\) est la composante du poids parallèle au plan incliné, tendant à faire glisser le bloc vers le bas. \(P_y\) est la composante du poids perpendiculaire au plan, "pressant" le bloc contre le plan. On a \(\alpha = 30^\circ\), \(\sin(30^\circ) = 0.50\), \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\).

Composante parallèle au plan (\(P_x\)) :

Composante perpendiculaire au plan (\(P_y\), sa norme) :

D'après la condition d'équilibre selon l'axe \(Oy'\) (perpendiculaire au plan), nous avons \(R_N - P \cos(\alpha) = 0\). La réaction normale compense donc la composante du poids perpendiculaire au plan.

D'après la condition d'équilibre selon l'axe \(Ox'\) (parallèle au plan), nous avons \(P \sin(\alpha) - f_s = 0\). La force de frottement statique \(f_s\) doit donc compenser la composante du poids parallèle au plan pour maintenir l'équilibre.

La force de frottement statique maximale que le support peut exercer est donnée par \(f_{s,max} = \mu_s R_N\), où \(\mu_s\) est le coefficient de frottement statique.

Données : \(\mu_s = 0.40\), \(R_N \approx 42.4773 \text{ N}\).

Pour que le bloc reste en équilibre, la force de frottement statique \(f_s\) nécessaire pour compenser la composante \(P_x\) du poids doit être inférieure ou égale à la force de frottement statique maximale \(f_{s,max}\) que le support peut fournir. Condition d'équilibre : \(f_s \le f_{s,max}\).

Comparons \(f_s\) et \(f_{s,max}\) :

\(f_s = 24.525 \text{ N}\) (calculée à la question 6)

\(f_{s,max} \approx 16.99 \text{ N}\) (calculée à la question 7)

On constate que \(f_s > f_{s,max}\) (\(24.525 \text{ N} > 16.99 \text{ N}\)).

La force de frottement statique nécessaire pour maintenir l'équilibre est supérieure à la force maximale que le support peut fournir. Par conséquent, le bloc n'est pas en équilibre statique.

Puisque la composante du poids tendant à faire descendre le bloc (\(P_x = 24.525 \text{ N}\)) est supérieure à la force de frottement maximale que le plan peut opposer (\(f_{s,max} \approx 16.99 \text{ N}\)), le bloc aura tendance à glisser vers le bas du plan incliné.

Réponses Correctes :

Question 1 : d) Perpendiculaire à la surface de contact et dirigée vers l'extérieur de la surface.

Question 2 : c) La réaction normale du support.

Question 3 : c) Égale et opposée à la somme des autres forces parallèles au plan.

Question 4 : b) La composante du poids parallèle au plan (\(P\sin\alpha\)) devient égale à la force de frottement statique maximale (\(\mu_s R_N\)).

Équilibre Statique :

État d'un système où la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur lui est nulle (\(\Sigma \vec{F}_{ext} = \vec{0}\)) et où le système est immobile.

Poids (\(\vec{P}\)) :

Force de gravitation exercée par la Terre (ou un autre astre) sur un objet. \(\vec{P} = m\vec{g}\), dirigé verticalement vers le bas.

Réaction Normale (\(\vec{R}_N\) ou \(\vec{N}\)) :

Composante de la force de contact exercée par un support sur un objet, perpendiculaire à la surface de contact et dirigée vers l'extérieur du support.

Force de Frottement Statique (\(\vec{f}_s\)) :

Force qui s'oppose au glissement (ou à la tendance au glissement) entre deux surfaces en contact. Sa norme s'ajuste pour maintenir l'équilibre, jusqu'à une valeur maximale \(f_{s,max}\).

Coefficient de Frottement Statique (\(\mu_s\)) :

Constante sans dimension qui caractérise la "rugosité" relative entre deux surfaces en contact. Il détermine la force de frottement statique maximale : \(f_{s,max} = \mu_s R_N\).

Plan Incliné :

Surface plane formant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale.

Deuxième Loi de Newton :

Principe fondamental de la dynamique qui stipule que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un objet est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération (\(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\)).