Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement
Contexte : La cinématique sur les chantiers.
Sur un chantier de construction, les grues déplacent des charges lourdes avec précision. La description du mouvement de ces charges est un problème fondamental de la cinématique, la branche de la physique qui étudie le mouvement sans se préoccuper de ses causes. En modélisant la position et la vitesse de la charge par des vecteursOutil mathématique qui possède une magnitude (ou norme) et une direction. En physique, il est utilisé pour représenter des grandeurs comme la position, la vitesse, l'accélération ou la force., les ingénieurs peuvent prévoir la trajectoire, calculer les distances et assurer la sécurité des opérations. Cet exercice vous propose d'étudier le mouvement rectiligne uniforme d'une charge suspendue à une flèche de grue.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des outils vectoriels vus en mathématiques pour décrire un mouvement simple en physique. Nous allons utiliser des coordonnées pour définir la position et la vitesse, et en déduire la trajectoire de l'objet. C'est la première étape avant d'étudier des mouvements plus complexes et les forces qui les provoquent.
Objectifs Pédagogiques
- Différencier masse et poids et calculer la valeur du poids.
- Utiliser les vecteurs pour décrire la position et la vitesse.
- Établir les équations horairesRelations mathématiques qui décrivent les coordonnées de la position (x(t), y(t)) d'un objet en fonction du temps t. d'un mouvement rectiligne uniforme.
- Calculer un vecteur position à un instant donné.
- Calculer un vecteur déplacement et sa norme (distance parcourue).
Données de l'étude
Situation initiale du mouvement
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la charge | \(m\) | 500 | \(\text{kg}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,8 | \(\text{N} \cdot \text{kg}^{-1}\) |
Questions à traiter
- Calculer la valeur du poids \(\vec{P}\) de la charge.
- Établir les équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\) du mouvement de la charge.
- Déterminer les coordonnées de la charge à l'instant \(t = 4,0 \, \text{s}\).
- Calculer le vecteur déplacement \(\vec{M_0M_4}\) entre les instants \(t_0=0\,\text{s}\) et \(t_4=4,0\,\text{s}\), puis en déduire la distance parcourue par la charge.
Les bases de la Cinématique du Point
1. Vecteurs Position, Vitesse et Déplacement :
En physique, on décrit le mouvement dans un repère.
- Le vecteur position \(\vec{r}\) va de l'origine du repère à la position de l'objet. Ses coordonnées sont \((x, y)\).
- Le vecteur vitesse \(\vec{v}\) décrit la rapidité et la direction du mouvement. Ses coordonnées sont \((v_x, v_y)\).
- Le vecteur déplacement \(\Delta\vec{r}\) va de la position initiale à la position finale. Il représente le changement de position.
2. Mouvement Rectiligne Uniforme :
Un mouvement est dit "rectiligne" si la trajectoire est une droite, et "uniforme" si le vecteur vitesse \(\vec{v}\) est constant (sa direction, son sens et sa valeur ne changent pas). Pour ce type de mouvement, les équations horaires sont :
\[ \begin{cases} x(t) = v_x \cdot t + x_0 \\ y(t) = v_y \cdot t + y_0 \end{cases} \quad \text{ou sous forme vectorielle :} \quad \vec{r}(t) = \vec{v} \cdot t + \vec{r}_0 \]
3. Masse et Poids :
La masse (\(m\), en kg) est une mesure de la quantité de matière d'un objet. C'est une grandeur scalaire, invariable. Le poids (\(\vec{P}\), en Newtons) est la force d'attraction gravitationnelle exercée sur cet objet. C'est un vecteur, toujours vertical et dirigé vers le bas. Sa valeur se calcule par :
\[ P = m \times g \]
où \(g\) est l'intensité de la pesanteur.
Correction : Étude d’une Flèche de Grue en Mouvement
Question 1 : Calculer la valeur du poids \(\vec{P}\) de la charge
Principe (le concept physique)
Le poids est la force par laquelle la Terre attire un objet. Il est directement proportionnel à la masse de l'objet. Plus un objet est massif, plus son poids est élevé. Cette force est responsable de la tension dans le câble de la grue.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le poids est une manifestation de l'interaction gravitationnelle. Selon la loi de la gravitation universelle de Newton, deux corps massifs s'attirent. Le poids d'un objet sur Terre est la force d'attraction exercée par la masse de la Terre sur la masse de l'objet. La valeur de \(g\) (\(\approx 9,8 \, \text{N/kg}\)) est une simplification de cette loi pour des objets proches de la surface terrestre.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne jamais confondre la masse et le poids ! C'est une erreur très fréquente. La masse se mesure en kilogrammes (kg) et est la même partout dans l'Univers. Le poids est une force, mesurée en Newtons (N), et dépend de l'astre sur lequel on se trouve (votre poids est environ 6 fois plus faible sur la Lune).
Normes (la référence réglementaire)
Le kilogramme (kg), le Newton (N) et le mètre par seconde carrée (m/s²) sont des unités du Système International (SI). L'intensité de la pesanteur \(g\) est une constante physique standardisée, bien que sa valeur varie légèrement en fonction de l'altitude et de la latitude.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La relation entre le poids \(P\) et la masse \(m\) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On considère que l'intensité de la pesanteur \(g\) est constante sur toute la hauteur du mouvement, ce qui est une excellente approximation pour un déplacement avec une grue.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse de la charge : \(m = 500 \, \text{kg}\)
- Intensité de la pesanteur : \(g = 9,8 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour un calcul mental rapide, on peut souvent arrondir \(g\) à \(10 \, \text{N/kg}\). Le poids serait alors d'environ \(500 \times 10 = 5000 \, \text{N}\). Cela donne un bon ordre de grandeur pour vérifier le résultat de la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Forces agissant sur la charge (simplifié)
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule :
Schéma (Après les calculs)
Charge avec son poids calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La charge de 500 kg est soumise à une force de 4900 Newtons dirigée vers le bas. C'est cette force que le câble de la grue doit compenser pour soulever la charge. 4900 N équivaut approximativement au poids d'une petite voiture.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si la masse est en grammes, il faut la convertir en kilogrammes avant d'utiliser la formule avec \(g\) en \(\text{N/kg}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le poids est une force, en Newtons (N).
- La masse est une quantité de matière, en kilogrammes (kg).
- La formule qui les relie est \(P = m \times g\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les ingénieurs qui conçoivent des grues ne se contentent pas de calculer le poids statique. Ils doivent aussi prendre en compte les forces dynamiques qui apparaissent lors de l'accélération ou du freinage de la charge. Ces forces supplémentaires peuvent augmenter considérablement la tension dans les câbles et doivent être incluses dans les calculs de sécurité.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la valeur du poids de cette même charge sur la Lune, où \(g_{\text{Lune}} \approx 1,6 \, \text{N/kg}\) ?
Question 2 : Établir les équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\)
Principe (le concept physique)
Les équations horaires sont des formules mathématiques qui agissent comme une "boule de cristal" pour le mouvement. Elles permettent de prédire la position exacte (\(x\) et \(y\)) de l'objet à n'importe quel instant \(t\) dans le futur, à condition que le mouvement reste uniforme.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les équations horaires sont obtenues par intégration du vecteur vitesse par rapport au temps. Pour un mouvement uniforme, \(\vec{v}\) est constant. L'intégration de \(\vec{v}\) donne \(\vec{r}(t) = \vec{v} \cdot t + \vec{C}\), où \(\vec{C}\) est une constante vectorielle. En utilisant la condition à \(t=0\), on trouve que \(\vec{C} = \vec{r}(0) = \vec{r}_0\), la position initiale. On obtient ainsi \(\vec{r}(t) = \vec{v} \cdot t + \vec{r}_0\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez aux équations horaires comme à une recette de cuisine pour la position. La position finale (\(\vec{r}(t)\)) est égale à la position de départ (\(\vec{r}_0\)) à laquelle on ajoute le "chemin parcouru" (\(\vec{v} \cdot t\)). C'est une simple addition de vecteurs.
Normes (la référence réglementaire)
La description du mouvement par des équations horaires est le fondement de la cinématique, une branche de la mécanique classique dont les principes ont été établis par Galilée et Newton. C'est un langage universel en physique et en ingénierie.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La forme vectorielle des équations horaires pour un mouvement rectiligne uniforme est :
Ce qui se décompose en coordonnées cartésiennes :
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'hypothèse fondamentale est que le mouvement est rectiligne et uniforme, c'est-à-dire que le vecteur vitesse \(\vec{v}\) reste constant pendant toute la durée étudiée.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vecteur position initiale : \(\vec{r}_0 = 10\vec{i} + 5\vec{j}\), donc \(x_0 = 10 \, \text{m}\) et \(y_0 = 5 \, \text{m}\)
- Vecteur vitesse : \(\vec{v} = 2\vec{i} + 1,5\vec{j}\), donc \(v_x = 2 \, \text{m/s}\) et \(v_y = 1,5 \, \text{m/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Il suffit de remplacer directement les valeurs des coordonnées initiales et des composantes de la vitesse dans les formules générales. C'est une substitution directe, il n'y a pas de piège !
Schéma (Avant les calculs)
Construction des équations horaires
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace les valeurs dans les équations générales :
Schéma (Après les calculs)
Équations horaires établies
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces deux équations forment un système qui décrit complètement le mouvement. Pour n'importe quelle valeur de temps \(t\), on peut maintenant calculer la position exacte de la charge. Elles sont la clé pour répondre aux questions suivantes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'inversez pas les coordonnées ! Assurez-vous de bien mettre \(v_x\) et \(x_0\) dans l'équation pour \(x(t)\), et \(v_y\) et \(y_0\) dans celle pour \(y(t)\). Une erreur ici fausserait toute la trajectoire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le mouvement rectiligne uniforme est décrit par \(\vec{r}(t) = \vec{v} \cdot t + \vec{r}_0\).
- Cela se traduit par deux équations simples, une pour chaque coordonnée.
- Les équations horaires permettent de calculer la position à n'importe quel instant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les systèmes de guidage modernes, comme le GPS, utilisent des principes similaires mais beaucoup plus complexes. Le récepteur GPS calcule sa position en mesurant le temps que met le signal à lui parvenir depuis plusieurs satellites. En connaissant la position et la vitesse de ces satellites (grâce à leurs propres équations horaires !), il peut en déduire sa propre position sur Terre.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le vecteur vitesse était \(\vec{v} = -3\vec{i} + 0\vec{j}\), quelle serait l'équation horaire \(x(t)\) ?
Question 3 : Déterminer les coordonnées de la charge à \(t = 4,0 \, \text{s}\)
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous avons les "formules magiques" (les équations horaires), nous pouvons les utiliser pour répondre à une question concrète : où se trouvera la charge après une certaine durée ? Il s'agit simplement d'appliquer les formules pour une valeur de temps spécifique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Calculer la position à un instant \(t\) donné revient à évaluer les fonctions \(x(t)\) et \(y(t)\) pour cette valeur de \(t\). Le résultat est un couple de coordonnées \((x(t), y(t))\) qui définit un point unique dans le plan, correspondant à la position de l'objet à cet instant précis.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est l'application la plus directe des équations horaires. Assurez-vous de bien remplacer la variable \(t\) par la valeur numérique donnée dans CHACUNE des deux équations pour obtenir les deux coordonnées de la position finale.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de trajectoire est essentiel en balistique, en astronautique (pour calculer les orbites des satellites) et en robotique (pour programmer le mouvement des bras de robots). Les principes de base sont toujours les mêmes : partir d'équations de mouvement pour prédire une position future.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise les équations horaires établies à la question précédente :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'instant initial est bien \(t_0 = 0 \, \text{s}\), donc la durée du mouvement est bien de 4,0 secondes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Instant final : \(t = 4,0 \, \text{s}\)
- Équations horaires : \(x(t) = 2t + 10\) et \(y(t) = 1,5t + 5\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Faites les deux calculs séparément pour ne pas vous embrouiller. D'abord pour x, puis pour y. C'est une simple application numérique.
Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire et point final à déterminer
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la coordonnée \(x\) à \(t=4,0 \, \text{s}\) :
2. Calcul de la coordonnée \(y\) à \(t=4,0 \, \text{s}\) :
Schéma (Après les calculs)
Position finale calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Après 4,0 secondes de mouvement, la charge se trouve au point de coordonnées (18,0 m ; 11,0 m). Elle s'est déplacée horizontalement vers la droite et verticalement vers le haut, conformément à son vecteur vitesse.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Faites attention aux unités. Si le temps était donné en minutes, il faudrait le convertir en secondes avant de l'injecter dans les équations horaires, car la vitesse est en m/s.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- On calcule les coordonnées finales en remplaçant \(t\) par sa valeur dans les équations horaires.
- Chaque équation donne une coordonnée.
- Le résultat est un point de l'espace, la position de l'objet à cet instant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les jeux vidéo et les films d'animation, les moteurs physiques calculent la position de tous les objets en mouvement des dizaines de fois par seconde en utilisant ces mêmes équations horaires (ou des versions plus complexes). C'est ce qui permet de créer des animations fluides et réalistes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelles seraient les coordonnées de la charge à \(t = 10 \, \text{s}\) ?
Question 4 : Calculer le vecteur déplacement et la distance parcourue
Principe (le concept physique)
Le vecteur déplacement représente le "raccourci" en ligne droite entre le point de départ et le point d'arrivée. Sa norme (sa longueur) correspond à la distance totale parcourue par l'objet, car le mouvement est rectiligne.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le vecteur déplacement \(\Delta\vec{r}\) entre un instant initial \(t_i\) et un instant final \(t_f\) est la différence entre les vecteurs position : \(\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_f) - \vec{r}(t_i)\). Pour un mouvement uniforme, on a aussi \(\Delta\vec{r} = \vec{v} \cdot (t_f - t_i) = \vec{v} \cdot \Delta t\). La norme d'un vecteur \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\) se calcule avec le théorème de Pythagore : \(||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne confondez pas la position et le déplacement. La position est un point, le déplacement est un trajet (une flèche entre deux points). Pour calculer les coordonnées du vecteur déplacement, il suffit de faire "coordonnée d'arrivée - coordonnée de départ" pour x, et la même chose pour y.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la norme d'un vecteur est une application directe du théorème de Pythagore, un des piliers des mathématiques et de la géométrie euclidienne, utilisé dans tous les domaines de la science et de l'ingénierie.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Vecteur déplacement :
Distance parcourue (norme du vecteur) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le repère est supposé orthonormé, ce qui est la condition nécessaire pour pouvoir appliquer la formule de la norme basée sur le théorème de Pythagore.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Coordonnées initiales : \(M_0(10,0 \, \text{m} ; 5,0 \, \text{m})\)
- Coordonnées finales : \(M_4(18,0 \, \text{m} ; 11,0 \, \text{m})\) (calculées à la Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque le mouvement est uniforme, on peut aussi calculer le déplacement directement avec la vitesse : \(\Delta\vec{r} = \vec{v} \cdot \Delta t\). Avec \(\Delta t = 4,0 \, \text{s}\) et \(\vec{v} = 2\vec{i} + 1,5\vec{j}\), on obtient \(\Delta\vec{r} = (2 \times 4)\vec{i} + (1,5 \times 4)\vec{j} = 8\vec{i} + 6\vec{j}\). C'est un excellent moyen de vérifier son calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Vecteur déplacement à déterminer
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul des composantes du vecteur déplacement :
2. Calcul de la distance parcourue (norme du vecteur) :
Schéma (Après les calculs)
Vecteur déplacement et distance
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le vecteur \(\vec{M_0M_4} = 8,0\vec{i} + 6,0\vec{j}\) nous indique que la charge s'est déplacée de 8,0 m horizontalement et de 6,0 m verticalement. La distance totale en ligne droite parcourue est de 10,0 m. On reconnaît ici un triangle rectangle de type (6, 8, 10), une version agrandie du célèbre (3, 4, 5).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul de la norme ! Une erreur fréquente est de s'arrêter à la somme des carrés (\(x^2 + y^2\)). De plus, la distance est une grandeur scalaire et doit toujours être positive.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le vecteur déplacement se calcule par la différence des vecteurs position (\(\vec{r}_f - \vec{r}_i\)).
- La distance parcourue dans un mouvement rectiligne est la norme du vecteur déplacement.
- La norme se calcule avec le théorème de Pythagore : \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les contrôleurs aériens utilisent exactement ces principes pour gérer le trafic. Ils modélisent la position et la vitesse de chaque avion par des vecteurs. En calculant les trajectoires futures (les équations horaires), leurs systèmes peuvent détecter les risques de collision bien à l'avance et leur proposer des manœuvres d'évitement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le vecteur déplacement avait été \(\Delta\vec{r} = 5,0\vec{i} + 12,0\vec{j}\), quelle aurait été la distance parcourue ?
Outil Interactif : Trajectoire de la Charge
Modifiez les composantes de la vitesse et la durée du mouvement pour visualiser la trajectoire et la position finale de la charge.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le mot "cinématique" a été inventé par le physicien français André-Marie Ampère au 19ème siècle. Il vient du grec "kinêma", qui signifie "mouvement". C'est la même racine que l'on retrouve dans les mots "cinéma" (images en mouvement) ou "kinésithérapeute" (thérapie par le mouvement).
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la charge est-elle "assimilée à un point matériel" ?
En physique, on simplifie souvent un objet complexe en un seul point qui contiendrait toute sa masse. Cela permet d'étudier son mouvement de translation (déplacement global) sans se soucier de sa rotation sur lui-même ou de sa forme. Pour une charge de grue, cette simplification est très efficace pour décrire sa trajectoire.
Le repère est "lié au sol". Qu'est-ce que ça veut dire ?
Cela signifie que notre système de coordonnées (les axes x et y) est fixe par rapport au sol. C'est un repère "galiléen" ou "inertiel", dans lequel les lois de Newton s'appliquent simplement. Si on avait choisi un repère lié à la cabine de la grue qui tourne, la description du mouvement serait beaucoup plus compliquée !
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un objet a une masse de 10 kg. Son poids sur Terre est d'environ :
2. Dans un mouvement rectiligne uniforme, laquelle de ces grandeurs est constante ?
- Vecteur Position
- Vecteur partant de l'origine d'un repère et pointant vers la position d'un objet. Il caractérise l'emplacement de l'objet à un instant donné.
- Vecteur Vitesse
- Vecteur qui décrit la variation du vecteur position au cours du temps. Il indique la direction, le sens et la rapidité du mouvement.
- Mouvement Rectiligne Uniforme
- Mouvement dont la trajectoire est une droite et dont le vecteur vitesse est constant.
- Poids
- Force d'attraction gravitationnelle exercée par un astre (comme la Terre) sur un objet. C'est une force, exprimée en Newtons (N).
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