Exercices Physique Chimie

Analyse de l’Amortissement dans les Circuits

Analyse de l’Amortissement dans les Circuits

Analyse de l’Amortissement dans les Circuits

Contexte : Le circuit RLC sérieCircuit électrique contenant une résistance (R), une bobine (L) et un condensateur (C) connectés en série. C'est un modèle fondamental pour étudier les oscillations et la résonance..

Les circuits RLC sont au cœur de nombreux dispositifs électroniques, notamment dans les systèmes de télécommunication pour le filtrage de fréquences ou la syntonisation des postes de radio. Lorsqu'il est soumis à une tension puis laissé en évolution libre, un tel circuit oscille, mais ces oscillations s'atténuent plus ou moins rapidement à cause de la présence de la résistance qui dissipe l'énergie par effet JoulePhénomène par lequel le passage d'un courant électrique dans un conducteur produit de la chaleur. La puissance dissipée est P = R * i².. Ce phénomène est appelé amortissement. Cet exercice a pour but d'analyser les différents types d'amortissement en fonction des valeurs des composants.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à établir l'équation différentielle régissant l'évolution d'un circuit RLC et à identifier, par le calcul, les trois régimes d'amortissement possibles : pseudo-périodique, critique et apériodique.

Objectifs Pédagogiques

  • Établir l'équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur.
  • Identifier les différents régimes d'amortissement (pseudo-périodique, critique, apériodique).
  • Calculer la pseudo-période, la pulsation propre et la résistance critique.
  • Analyser la dissipation d'énergie au sein du circuit.
  • Interpréter graphiquement l'évolution de la tension pour chaque régime.

Données de l'étude

On considère le circuit RLC série ci-dessous. Le condensateur, de capacité \(C\), est initialement chargé sous une tension \(E\). À l'instant \(t=0\), on bascule l'interrupteur en position 2. Le circuit, composé également d'une bobine d'inductance \(L\) et de résistance interne négligeable, et d'un conducteur ohmique de résistance \(R\), évolue alors librement.

Schéma du circuit RLC série en évolution libre
R L C 1 2 E
Caractéristique Symbole Valeur
Inductance de la bobine \(L\) 100 mH
Capacité du condensateur \(C\) 10 µF
Tension initiale du condensateur \(E\) 10 V
Résistance (étude de cas) \(R_1, R_2, R_3\) 20 \(\Omega\), 200 \(\Omega\), 500 \(\Omega\)

Questions à traiter

  1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur pour \(t > 0\).
  2. Dans le cas où \(R = R_1 = 20 \, \Omega\), déterminer la nature du régime. Calculer la pseudo-pulsation \(\omega'\) et la pseudo-période \(T'\) des oscillations.
  3. Calculer la valeur de la résistance critique \(R_c\) du circuit. En déduire la nature du régime pour \(R = R_2 = 200 \, \Omega\).
  4. Pour \(R = R_3 = 500 \, \Omega\), décrire qualitativement l'allure de \(u_C(t)\). Comparer le temps de retour à l'équilibre avec celui du régime critique.
  5. Calculer l'énergie totale \(E_{tot}(0)\) emmagasinée dans le circuit à l'instant initial \(t=0\).

Les bases sur l'Amortissement RLC

Un circuit RLC libre est régi par une équation différentielle du second ordre. La forme de la solution de cette équation, et donc le comportement du circuit, dépendent directement de la valeur de la résistance \(R\) par rapport à \(L\) et \(C\).

1. Équation Différentielle
En appliquant la loi des mailles, on obtient l'équation différentielle pour la tension aux bornes du condensateur, \(u_C(t)\) : \[ L\frac{di}{dt} + Ri + u_C = 0 \] Sachant que \(i = \frac{dq}{dt}\) et \(q = C u_C\), on a \(i = C\frac{du_C}{dt}\) et \(\frac{di}{dt} = C\frac{d^2u_C}{dt^2}\). En substituant, on obtient : \[ \frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0 \]

2. Les Trois Régimes d'Amortissement
La solution dépend du signe du discriminant \(\Delta\) de l'équation caractéristique \(r^2 + \frac{R}{L}r + \frac{1}{LC} = 0\). \[ \Delta = \left(\frac{R}{L}\right)^2 - \frac{4}{LC} \]

  • Si \(\Delta < 0\) (\(R < 2\sqrt{\frac{L}{C}}\)) : Régime pseudo-périodique. La tension oscille avec une amplitude qui décroît exponentiellement.
  • Si \(\Delta = 0\) (\(R = 2\sqrt{\frac{L}{C}}\)) : Régime critique. La tension retourne à zéro le plus rapidement possible, sans osciller.
  • Si \(\Delta > 0\) (\(R > 2\sqrt{\frac{L}{C}}\)) : Régime apériodique. La tension retourne à zéro sans osciller, mais plus lentement que le régime critique.

Correction : Analyse de l’Amortissement dans les Circuits

Question 1 : Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C(t)\)

Principe

Pour trouver l'équation qui régit l'évolution du circuit, on utilise la loi fondamentale des circuits électriques : la loi des mailles (ou loi d'additivité des tensions), qui stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée est nulle à tout instant.

Mini-Cours

La loi des mailles est une conséquence de la conservation de l'énergie. Chaque composant d'un circuit (résistance, bobine, condensateur) génère une tension à ses bornes. La loi nous dit que si l'on parcourt une boucle fermée, la somme des augmentations de potentiel doit être égale à la somme des chutes de potentiel. Pour notre circuit, \(u_L\), \(u_R\), \(u_C\) sont les tensions aux bornes de chaque dipôle.

Remarque Pédagogique

L'étape cruciale est de bien orienter le circuit. On choisit un sens arbitraire pour le courant \(i(t)\) et on exprime toutes les tensions en fonction de ce sens (convention récepteur). Une erreur de signe à ce stade invalidera tout le raisonnement.

Normes

L'établissement de cette équation ne fait pas appel à une norme de construction, mais aux lois fondamentales de l'électrocinétique, notamment les lois de Kirchhoff, formulées au milieu du 19ème siècle, qui sont le pilier de toute l'analyse de circuits.

Formule(s)

Relations constitutives des composants

\[ u_R = Ri, \quad u_L = L \frac{di}{dt}, \quad i = C \frac{du_C}{dt} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on considère les composants comme idéaux : la bobine est purement inductive (résistance interne nulle), le condensateur est parfait (pas de courant de fuite), et les fils de connexion ont une résistance nulle.

Donnée(s)

Pour cette question purement théorique, aucune valeur numérique n'est nécessaire. On travaille avec les grandeurs littérales R, L et C.

Astuces

Le but est d'obtenir une équation avec une seule variable, ici \(u_C(t)\). L'astuce consiste à utiliser la relation \(i = f(u_C)\) pour remplacer \(i\) et sa dérivée dans la loi des mailles, afin d'éliminer toutes les autres variables.

Schéma (Avant les calculs)
Orientation du circuit pour la loi des mailles
RuRLuLCuCi(t)
Calcul(s)

Application de la loi des mailles

\[ u_L(t) + u_R(t) + u_C(t) = 0 \]

Substitution des relations

\[ L \frac{d}{dt}\left(C \frac{du_C}{dt}\right) + R \left(C \frac{du_C}{dt}\right) + u_C = 0 \]

Développement de l'équation

\[ LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation des Tensions dans la Maille
RuRLuLCuCi(t)
Réflexions

L'équation obtenue est celle d'un oscillateur harmonique amorti. Le terme en dérivée seconde (\(\frac{d^2u_C}{dt^2}\)) représente l'inertie du système (due à la bobine), le terme en dérivée première (\(\frac{du_C}{dt}\)) représente l'amortissement (dû à la résistance), et le terme \(u_C\) représente la force de rappel (due au condensateur).

Points de vigilance

Attention aux signes : Assurez-vous que les flèches de tension sont bien orientées en opposition à la flèche du courant pour chaque composant passif (convention récepteur). Une erreur ici change le signe du terme d'amortissement et le résultat physique.

Points à retenir

L'équation différentielle du second ordre est la signature d'un système oscillant du second ordre. Savoir l'établir et reconnaître sa forme canonique est une compétence fondamentale en physique.

Le saviez-vous ?

Cette même équation différentielle modélise de très nombreux phénomènes physiques : un pendule amorti, un système masse-ressort avec frottements, les suspensions d'une voiture... C'est un des modèles les plus universels de la physique.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on \(u_C\) et pas \(i\) comme variable ?

On pourrait tout à fait établir l'équation avec l'intensité \(i(t)\). Cependant, la tension \(u_C\) est souvent plus facile à mesurer expérimentalement avec un oscilloscope. De plus, les conditions initiales (\(u_C(0) = E\) et \(i(0) = 0\)) sont souvent plus simples à exprimer en fonction de \(u_C\).

Résultat Final
L'équation différentielle régissant l'évolution de la tension aux bornes du condensateur est : \(\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0\).
A vous de jouer

Si la bobine avait une résistance interne \(r\), comment l'équation différentielle serait-elle modifiée ?

Question 2 : Nature du régime et pseudo-période pour \(R_1 = 20 \, \Omega\)

Principe

La nature du régime (comment le circuit retourne à l'équilibre) est déterminée en comparant le terme d'amortissement \((R/L)^2\) au terme oscillant \(4/LC\). Si l'amortissement est faible, le système oscille : c'est le régime pseudo-périodique.

Mini-Cours

Le discriminant \(\Delta\) de l'équation caractéristique est le critère mathématique clé. Un discriminant négatif mène à des solutions en sinus et cosinus, multipliées par une exponentielle décroissante. Physiquement, cela se traduit par une oscillation dont l'amplitude s'atténue avec le temps. La pulsation de ces oscillations, \(\omega'\), est légèrement plus faible que la pulsation propre \(\omega_0\) que l'on aurait sans amortissement.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs de calcul, il est conseillé de calculer chaque terme du discriminant séparément avant de les comparer. Soyez particulièrement vigilant avec les puissances de dix des unités (millihenrys, microfarads).

Normes

Il n'y a pas de norme à proprement parler, mais la terminologie (pseudo-périodique, pulsation propre, etc.) est standardisée au niveau international dans l'enseignement et la pratique de la physique et de l'ingénierie électrique.

Formule(s)

Pulsation propre et pseudo-pulsation

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{R}{2L}\right)^2} \]

Pseudo-période

\[ T' = \frac{2\pi}{\omega'} \]
Hypothèses

On suppose que les valeurs de R, L et C restent constantes pendant toute l'expérience et ne dépendent pas de la température ou de la fréquence.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance\(R_1\)20\(\Omega\)
Inductance\(L\)0.1H
Capacité\(C\)10 x 10-6F
Astuces

Une astuce pour déterminer rapidement la nature du régime est de calculer d'abord la résistance critique \(R_c = 2\sqrt{L/C}\) et de comparer directement \(R_1\) à cette valeur. Si \(R_1 < R_c\), le régime est pseudo-périodique.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du circuit étudié
R1LC
Calcul(s)

Calcul du carré du coefficient d'amortissement

\[ \begin{aligned} \left(\frac{R_1}{2L}\right)^2 &= \left(\frac{20}{2 \times 0.1}\right)^2 \\ &= 100^2 \\ &= 10000 \, \text{s}^{-2} \end{aligned} \]

Calcul du carré de la pulsation propre

\[ \begin{aligned} \omega_0^2 &= \frac{1}{LC} \\ &= \frac{1}{0.1 \times 10 \times 10^{-6}} \\ &= 10^6 \, \text{s}^{-2} \end{aligned} \]

Comme \((R_1/2L)^2 < \omega_0^2\), le régime est bien pseudo-périodique.

Calcul du carré de la pseudo-pulsation

\[ \begin{aligned} \omega'^2 &= \omega_0^2 - \left(\frac{R_1}{2L}\right)^2 \\ &= 10^6 - 10000 \\ &= 990000 \, \text{rad}^2 \cdot \text{s}^{-2} \end{aligned} \]

Calcul de la pseudo-pulsation

\[ \begin{aligned} \omega' &= \sqrt{990000} \\ &\approx 995 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

Calcul de la pseudo-période

\[ \begin{aligned} T' &= \frac{2\pi}{\omega'} \\ &\approx \frac{2\pi}{995} \\ &\approx 6.31 \times 10^{-3} \, \text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Allure de la tension en régime pseudo-périodique
tuC
Réflexions

Une pseudo-période de 6.31 ms signifie que la tension aux bornes du condensateur oscille, passant par un maximum puis un minimum environ toutes les 6.31 millisecondes. Cependant, l'amplitude de ces oscillations diminue rapidement à cause de l'effet Joule dans la résistance de 20 \(\Omega\).

Points de vigilance

Unités : L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les mH en H et les µF en F. Toutes les unités doivent être dans le Système International pour que les calculs soient homogènes. Formule : Ne pas confondre \(\omega'\) et \(\omega_0\). L'amortissement ralentit toujours les oscillations, donc on a toujours \(\omega' < \omega_0\).

Points à retenir

Pour identifier un régime pseudo-périodique, le critère est \(R < 2\sqrt{L/C}\). La pseudo-période se calcule à partir de la pseudo-pulsation \(\omega'\), qui dépend à la fois de la pulsation propre et du terme d'amortissement.

Le saviez-vous ?

Les circuits RLC en régime pseudo-périodique sont la base des oscillateurs contrôlés en tension (VCO) utilisés dans les synthétiseurs de musique électronique pour générer des sons, ou dans les boucles à verrouillage de phase (PLL) pour les communications sans fil.

FAQ
Pourquoi est-ce "pseudo"-périodique et pas simplement "périodique" ?

Un phénomène est dit périodique s'il se répète à l'identique à intervalles de temps réguliers. Ici, à cause de l'amortissement, l'amplitude de l'oscillation diminue à chaque cycle. Le signal ne revient jamais à sa valeur maximale précédente. Il a donc une "pseudo"-période, mais n'est pas strictement périodique.

Résultat Final
Pour \(R_1 = 20 \, \Omega\), le régime est pseudo-périodique, avec une pseudo-pulsation \(\omega' \approx 995 \, \text{rad/s}\) et une pseudo-période \(T' \approx 6.31 \, \text{ms}\).
A vous de jouer

Calculez la nouvelle pseudo-période \(T'\) si la résistance est augmentée à \(R = 100 \, \Omega\).

Question 3 : Résistance critique \(R_c\) et nature du régime pour \(R_2 = 200 \, \Omega\)

Principe

Le régime critique représente la frontière exacte entre le comportement oscillant (amortissement faible) et le comportement non-oscillant (amortissement fort). C'est la condition pour laquelle le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans dépasser la position nulle.

Mini-Cours

Mathématiquement, le régime critique correspond au cas où le discriminant de l'équation caractéristique est nul (\(\Delta=0\)). Cela signifie que l'équation admet une racine double. La solution n'est plus une sinusoïde amortie, mais une fonction de la forme \((A+Bt)e^{-\alpha t}\). Ce facteur "t" assure que la tension chute rapidement vers zéro.

Remarque Pédagogique

La valeur de la résistance critique, \(R_c\), ne dépend que de l'inductance \(L\) et de la capacité \(C\). C'est une caractéristique intrinsèque du circuit oscillant (LC). La résistance \(R\) que l'on y place est ensuite comparée à cette valeur de référence.

Normes

Le concept de "facteur de qualité" \(Q\) est souvent utilisé dans les normes industrielles (ex: normes IEEE pour les filtres). Pour un circuit RLC série, \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\). Le régime critique correspond à un facteur de qualité de \(Q = 0.5\).

Formule(s)

Condition du régime critique

\[ \left(\frac{R_c}{L}\right)^2 - \frac{4}{LC} = 0 \Rightarrow R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment : composants idéaux et constants.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Inductance\(L\)0.1H
Capacité\(C\)10 x 10-6F
Astuces

Le rapport \(L/C\) est appelé "impédance caractéristique" au carré. Penser à calculer d'abord ce rapport simplifie le calcul. Ici \(L/C = 0.1 / (10 \times 10^{-6}) = 10000 \, \Omega^2\). La racine carrée est donc \(100 \, \Omega\).

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du circuit étudié
R2LC
Calcul(s)

Calcul de la résistance critique

\[ \begin{aligned} R_c &= 2\sqrt{\frac{L}{C}} \\ &= 2\sqrt{\frac{0.1}{10 \times 10^{-6}}} \\ &= 2\sqrt{10000} \\ &= 2 \times 100 \\ &= 200 \, \Omega \end{aligned} \]

La résistance \(R_2\) de l'énoncé est de \(200 \, \Omega\). Comme \(R_2 = R_c\), le régime est bien critique.

Schéma (Après les calculs)
Allure de la tension en régime critique
tuCE
Réflexions

Avoir \(R_2 = R_c\) signifie que les composants ont été choisis pour obtenir le retour à l'équilibre le plus rapide possible sans aucun dépassement. C'est un réglage optimal dans de nombreuses applications où les oscillations sont indésirables (ex: suspensions de voiture).

Points de vigilance

Veillez à ne pas inverser L et C sous la racine. Une erreur commune est de calculer \(2\sqrt{C/L}\). L'analyse dimensionnelle peut aider : \(\sqrt{L/C}\) a bien la dimension d'une résistance.

Points à retenir

La résistance critique \(R_c = 2\sqrt{L/C}\) est LA valeur de référence qui sépare les régimes oscillants des régimes non-oscillants. C'est une caractéristique fondamentale du couple (L, C).

Le saviez-vous ?

Les premiers galvanomètres à aiguille étaient conçus avec un amortissement critique. Si l'amortissement était trop faible, l'aiguille oscillait longtemps avant de se stabiliser, rendant la lecture difficile. S'il était trop fort, elle mettait trop de temps à atteindre la valeur finale.

FAQ
Est-il facile d'obtenir un régime parfaitement critique en pratique ?

Non, c'est très difficile. Les valeurs des composants ne sont jamais parfaitement exactes (tolérances de fabrication). En pratique, on vise un régime légèrement sous-amorti (pseudo-périodique avec une seule petite oscillation) ou légèrement sur-amorti (apériodique).

Résultat Final
La résistance critique du circuit est \(R_c = 200 \, \Omega\). Pour \(R_2 = 200 \, \Omega\), le régime est donc critique.
A vous de jouer

Quelle devrait être la valeur de l'inductance L pour que la résistance critique soit de \(100 \, \Omega\) (en gardant C = 10 µF) ?

Question 4 : Description du régime pour \(R_3 = 500 \, \Omega\)

Principe

Lorsque la résistance est nettement supérieure à la résistance critique (\(R > R_c\)), le freinage exercé par l'amortissement est si fort que le système ne parvient même pas à commencer une oscillation. Il retourne "paresseusement" à son état d'équilibre.

Mini-Cours

Le discriminant \(\Delta\) est positif, l'équation caractéristique a donc deux racines réelles négatives, \(r_1\) et \(r_2\). La solution est une somme de deux exponentielles décroissantes : \(u_C(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}\). Il n'y a plus de termes sinus ou cosinus, ce qui confirme l'absence d'oscillations. L'une des exponentielles décroît plus lentement que l'autre et impose la durée totale du retour à l'équilibre.

Remarque Pédagogique

La première étape est toujours de comparer la résistance donnée à la résistance critique déjà calculée. Puisque \(500 \, \Omega > 200 \, \Omega\), on peut immédiatement conclure que le régime est apériodique sans autre calcul.

Normes

Dans les fiches techniques des appareils de mesure comme les oscilloscopes, on peut trouver des spécifications sur le temps de réponse à un échelon de tension, qui est directement lié à ce régime apériodique pour éviter tout dépassement ("overshoot").

Formule(s)

Condition du régime apériodique

\[ R > R_c \quad \text{où} \quad R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}} \]
Hypothèses

On continue de travailler avec des composants idéaux.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance étudiée\(R_3\)500\(\Omega\)
Résistance critique\(R_c\)200\(\Omega\)
Astuces

Pour visualiser le phénomène, imaginez une balançoire que vous essayez de pousser dans de la mélasse : elle ne pourra pas osciller et reviendra très lentement à sa position verticale. La résistance électrique joue un rôle analogue à la viscosité du fluide.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du circuit étudié
R3LC
Réflexions

Pour \(R_3 = 500 \, \Omega\), le régime est apériodique. La tension \(u_C(t)\) va décroître depuis sa valeur initiale \(E=10V\) jusqu'à 0V, sans jamais osciller. Comme le montre le graphique, cette décroissance est plus lente que celle du régime critique (\(R_2=200\Omega\)). Un amortissement trop fort "freine" excessivement le système et l'empêche de revenir rapidement à l'équilibre.

Schéma (Après les calculs)
Comparaison des régimes critique et apériodique
tuC(t)ERégime Critique (R2)Régime Apériodique (R3)
Points de vigilance

Ne pas conclure que "plus d'amortissement, c'est mieux". Le régime critique est l'optimum pour un retour rapide. Le régime apériodique, bien que non-oscillant, est plus lent. C'est un point de confusion fréquent.

Points à retenir

Le régime apériodique se produit pour \(R > R_c\). Il est caractérisé par une absence d'oscillations et un retour à l'équilibre plus lent que le régime critique.

Le saviez-vous ?

Les systèmes de fermeture automatique des portes de bâtiments sont un bon exemple mécanique d'amortissement apériodique. On ne veut pas que la porte claque (régime pseudo-périodique) ni qu'elle se ferme trop vite (critique), mais qu'elle se ferme lentement et sûrement (apériodique).

FAQ
Si le régime apériodique est lent, a-t-il des applications utiles ?

Oui. Dans les circuits d'alimentation, par exemple, on veut éviter à tout prix les surtensions ("overshoot") qui pourraient endommager les composants. Un régime apériodique garantit l'absence de dépassement, même si le temps de stabilisation est un peu plus long.

Résultat Final
Pour \(R_3 = 500 \, \Omega\), le régime est apériodique. La tension \(u_C(t)\) décroît vers zéro sans osciller et plus lentement que pour le régime critique.
A vous de jouer

Si on garde \(R=500 \Omega\) mais qu'on choisit un condensateur de \(C=1 \mu F\), le régime sera-t-il encore plus amorti ou moins amorti ? (Indice : calculez la nouvelle valeur de \(R_c\)). Il sera encore plus amorti car \(R_c\) augmente à \(632 \Omega\).

Question 5 : Énergie totale initiale \(E_{tot}(0)\)

Principe

L'énergie dans un circuit RLC est stockée sous deux formes : électrique dans le condensateur et magnétique dans la bobine. L'énergie totale est la somme de ces deux. Les conditions initiales du circuit déterminent comment cette énergie est répartie au moment \(t=0\).

Mini-Cours

L'énergie potentielle électrique stockée dans un condensateur de capacité C portant la tension \(u_C\) est \(E_C = \frac{1}{2} C u_C^2\). L'énergie magnétique stockée dans une bobine d'inductance L parcourue par un courant \(i\) est \(E_L = \frac{1}{2} L i^2\). Ces deux formes d'énergie sont analogues à l'énergie potentielle et l'énergie cinétique d'un système mécanique.

Remarque Pédagogique

Le point clé ici est de bien analyser l'état du circuit à \(t=0^+\), c'est-à-dire juste après la bascule de l'interrupteur. Les grandeurs qui ne peuvent pas subir de discontinuité (tension aux bornes d'un condensateur, courant dans une bobine) conservent la valeur qu'elles avaient juste avant, à \(t=0^-\).

Normes

Le calcul d'énergie est basé sur les principes fondamentaux de la physique (conservation de l'énergie). Les normes interviennent plutôt au niveau de la gestion thermique : l'énergie dissipée par la résistance doit pouvoir être évacuée sans surchauffe du composant.

Formule(s)

Expression de l'énergie totale

\[ E_{tot}(t) = E_C(t) + E_L(t) = \frac{1}{2} C u_C(t)^2 + \frac{1}{2} L i(t)^2 \]
Hypothèses

On suppose que le condensateur a eu le temps de se charger complètement à la tension E avant \(t=0\), et qu'aucun courant ne circulait dans la boucle RLC.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension initiale\(u_C(0) = E\)10V
Courant initial\(i(0)\)0A
Capacité\(C\)10 x 10-6F
Inductance\(L\)0.1H
Astuces

À \(t=0\), l'un des deux termes d'énergie est souvent nul. Si le circuit part du repos (courant nul), toute l'énergie est dans le condensateur. Si on démarrait avec un condensateur déchargé mais un courant initial, toute l'énergie serait dans la bobine.

Schéma (Avant les calculs)
État du circuit à l'instant t=0+
RLCuC(0)=E+-i(0)=0
Calcul(s)

Application de la formule à t=0

\[ E_{tot}(0) = \frac{1}{2} C u_C(0)^2 + \frac{1}{2} L i(0)^2 \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} E_{tot}(0) &= \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6}) \times 10^2 + \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0^2 \\ &= 5 \times 10^{-6} \times 100 + 0 \\ &= 5 \times 10^{-4} \, \text{J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Décroissance de l'énergie totale au cours du temps
tEtotEtot(0)
Réflexions

L'énergie initiale est de 0.5 millijoules. Cette énergie, initialement stockée entièrement sous forme électrique dans le condensateur, va ensuite être transférée à la bobine (énergie magnétique) puis dissipée sous forme de chaleur dans la résistance par effet Joule, jusqu'à ce que l'énergie totale du circuit devienne nulle.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur \(1/2\) dans les formules d'énergie. C'est une erreur très classique. De même, la tension doit être au carré, ne l'oubliez pas.

Points à retenir

L'énergie totale dans un circuit RLC est la somme des énergies électrique et magnétique. Dans un circuit libre, cette énergie totale ne peut que diminuer (ou rester constante si R=0) à cause de la dissipation par effet Joule.

Le saviez-vous ?

Le transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine est analogue au transfert entre énergie potentielle et énergie cinétique pour un pendule. Le condensateur chargé est le pendule à sa hauteur maximale (énergie potentielle max), et la bobine avec un courant maximal correspond au pendule à sa vitesse maximale (énergie cinétique max).

FAQ
Cette énergie est-elle dissipée à la même vitesse dans les trois régimes ?

Non. La vitesse de dissipation de l'énergie dépend de la résistance R. Plus R est grande, plus l'énergie est dissipée rapidement. Ainsi, l'énergie se dissipe plus vite en régime apériodique qu'en régime pseudo-périodique.

Résultat Final
L'énergie totale emmagasinée dans le circuit à l'instant initial est \(E_{tot}(0) = 0.5 \, \text{mJ}\).
A vous de jouer

Quelle serait l'énergie initiale si la tension de charge E était de 20 V ?

Outil Interactif : Simulateur d'Amortissement

Utilisez les curseurs pour faire varier la résistance et la capacité du circuit. Observez en temps réel l'impact sur le régime d'amortissement et sur la courbe de la tension \(u_C(t)\). Les valeurs de \(L=100 \text{ mH}\) et \(E=10 \text{ V}\) sont fixes.

Paramètres d'Entrée
20 \(\Omega\)
10 µF
Résultats Clés
Résistance Critique \(R_c\) (\(\Omega\)) -
Nature du régime -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit RLC en régime pseudo-périodique, que fait l'amplitude des oscillations au cours du temps ?

2. Quelle est la condition sur la résistance \(R\) pour obtenir un régime critique ?

3. Si on augmente la valeur de la résistance \(R\) dans un circuit RLC pseudo-périodique, comment la pseudo-période \(T'\) évolue-t-elle ?

4. Quel composant est responsable de la dissipation de l'énergie dans un circuit RLC ?

5. Le régime qui permet le retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation est le régime...

Amortissement
Diminution de l'amplitude d'une oscillation au cours du temps, due à la dissipation d'énergie, généralement par effet Joule dans une résistance.
Régime pseudo-périodique
Régime d'un oscillateur amorti où le système oscille avec une amplitude qui décroît exponentiellement. La fréquence des oscillations est légèrement inférieure à la fréquence propre.
Régime critique
Régime d'amortissement qui permet le retour le plus rapide à la position d'équilibre sans effectuer d'oscillations.
Régime apériodique
Régime d'amortissement fort où le système retourne à sa position d'équilibre sans osciller, mais plus lentement que le régime critique.
Analyse de l’Amortissement dans les Circuits

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