Calcul de la distance Terre-Lune

La distance entre la Terre et la Lune peut être mesurée avec une grande précision en utilisant des signaux lumineux, comme des impulsions laser. En mesurant le temps que met un signal lumineux pour faire l'aller-retour entre la Terre et un réflecteur placé sur la Lune, on peut en déduire la distance.

Objectif

Calculer la distance moyenne entre la Terre et la Lune à partir du temps de parcours d'un signal lumineux.

Données

Vitesse de la lumière dans le vide : \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Temps mesuré pour un signal lumineux aller-retour Terre-Lune-Terre : \(t_{total} = 2.56 \, \text{s}\)

Schéma illustrant la mesure de la distance Terre-Lune par écho lumineux.

Questions

Distance totale parcourue par la lumière : En utilisant la vitesse de la lumière et le temps total mesuré, calculez la distance totale (\(D_{totale}\)) parcourue par le signal lumineux.
Calcul de la distance Terre-Lune : En déduire la distance moyenne (\(d\)) entre la Terre et la Lune.
Réflexion : Si la mesure du temps était de \(2.60 \, \text{s}\) au lieu de \(2.56 \, \text{s}\), quelle serait la nouvelle distance calculée ? Comment la précision de la mesure du temps affecte-t-elle le résultat ?

Correction : Calcul de la Distance Terre-Lune

1. Distance Totale Parcourue par la Lumière (\(D_{totale}\))

La distance parcourue par un objet (ou un signal) se déplaçant à une vitesse constante est donnée par la formule : \[ \text{Distance} = \text{Vitesse} \times \text{Temps} \] Ici, la vitesse est celle de la lumière (\(c\)) et le temps est le temps total de l'aller-retour (\(t_{total}\)).

Données pour cette étape

Vitesse de la lumière : \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Temps total aller-retour : \(t_{total} = 2.56 \, \text{s}\)

Calcul

\begin{aligned} D_{totale} &= c \times t_{total} \\ D_{totale} &= (3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}) \times (2.56 \, \text{s}) \\ D_{totale} &= 7.68 \times 10^8 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat

La distance totale parcourue par le signal lumineux est \(D_{totale} = 7.68 \times 10^8 \, \text{m}\).

2. Calcul de la Distance Terre-Lune (\(d\))

La distance totale \(D_{totale}\) correspond à un aller-retour entre la Terre et la Lune. La distance Terre-Lune (\(d\)) est donc la moitié de cette distance totale. \[ d = \frac{D_{totale}}{2} \]

Données pour cette étape

Distance totale : \(D_{totale} = 7.68 \times 10^8 \, \text{m}\) (calculée à l'étape 1)

Calcul

\begin{aligned} d &= \frac{D_{totale}}{2} \\ d &= \frac{7.68 \times 10^8 \, \text{m}}{2} \\ d &= 3.84 \times 10^8 \, \text{m} \end{aligned}

Convertissons cette distance en kilomètres (km) : \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\).

d = \frac{3.84 \times 10^8}{1000} \, \text{km} \] \[ d = 3.84 \times 10^5 \, \text{km} \] \[ d = 384,000 \, \text{km}

Résultat

La distance moyenne entre la Terre et la Lune calculée est \(d = 3.84 \times 10^8 \, \text{m}\), soit \(384,000 \, \text{km}\).

3. Réflexion : Impact de la Précision de la Mesure du Temps

Analysons l'effet d'une variation du temps mesuré sur la distance calculée.

Nouveau Temps Mesuré

Nouveau temps total aller-retour : \(t'_{total} = 2.60 \, \text{s}\)
Vitesse de la lumière : \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

Calculs avec le Nouveau Temps

Nouvelle distance totale parcourue :

\begin{aligned} D'_{totale} &= c \times t'_{total} \\ D'_{totale} &= (3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}) \times (2.60 \, \text{s}) \\ D'_{totale} &= 7.80 \times 10^8 \, \text{m} \end{aligned}

Nouvelle distance Terre-Lune :

\begin{aligned} d' &= \frac{D'_{totale}}{2} \\ d' &= \frac{7.80 \times 10^8 \, \text{m}}{2} \\ d' &= 3.90 \times 10^8 \, \text{m} \quad (= 390,000 \, \text{km}) \end{aligned}

Comparaison :

La distance initiale était \(d = 3.84 \times 10^8 \, \text{m}\). La nouvelle distance est \(d' = 3.90 \times 10^8 \, \text{m}\).

La variation de temps est \(\Delta t = 2.60 \, \text{s} - 2.56 \, \text{s} = 0.04 \, \text{s}\).

La variation de distance calculée est \[\Delta d = d' - d \] \[\Delta d = (3.90 - 3.84) \times 10^8 \, \text{m} \] \[\Delta d = 0.06 \times 10^8 \, \text{m} \] \[\Delta d = 6 \times 10^6 \, \text{m} = 6000 \, \text{km}\]

Conclusion sur l'Impact

Une variation du temps mesuré de \(0.04 \, \text{s}\) (soit environ 1.56% d'erreur sur le temps) entraîne une variation de la distance calculée de \(6000 \, \text{km}\) (soit environ 1.56% d'erreur sur la distance).

Cela montre que la précision de la mesure du temps est cruciale pour obtenir une mesure précise de la distance. Une petite erreur sur le temps se traduit par une erreur proportionnellement importante sur la distance, étant donné la très grande vitesse de la lumière. Pour des mesures astronomiques de haute précision, des techniques de chronométrage extrêmement précises sont donc indispensables.

Calcul de la distance Terre-Lune