Calcul de la Portée d'un Projectile

Vous êtes entraîneur d’une équipe de jeunes athlètes spécialisés en lancer de javelot. Pour améliorer les performances de vos athlètes, vous décidez d’appliquer vos connaissances en physique pour prédire la distance que peut parcourir un javelot. Lors d’une séance d’entraînement au stade local, vous mesurez la vitesse de lancement d’un javelot et décidez d’utiliser ces informations pour calculer la portée maximale que pourrait atteindre le javelot dans des conditions idéales (sans résistance de l’air).

Objectif

Utilisez les principes de la physique du mouvement projectile pour déterminer la distance maximale que le javelot pourrait atteindre, afin de mieux planifier vos sessions d’entraînement et stratégies de compétition.

Données

Vitesse initiale du javelot : \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)
Angle de lancement (par rapport à l’horizontale) : \(\theta = 45^\circ\)
Accélération due à la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma illustrant le lancement du projectile avec ses composantes de vitesse initiale et sa trajectoire.

Questions

Calculez les composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) de la vitesse initiale du javelot.
Déterminez le temps de vol total (\(t_{vol}\)) du javelot.
Calculez la portée (\(R\)) du javelot.

Correction : Calcul de la Portée d’un Projectile

1. Calcul des Composantes de la Vitesse Initiale

La vitesse initiale \(v_0\) fait un angle \(\theta\) avec l'horizontale. Ses composantes horizontale (\(v_{0x}\)) et verticale (\(v_{0y}\)) sont calculées à l'aide de la trigonométrie : \[ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) \] \[ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) \] L'angle doit être en degrés ou radians selon la fonction trigonométrique utilisée par la calculatrice.

Données pour cette étape

Vitesse initiale : \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)
Angle de lancement : \(\theta = 45^\circ\)
\(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\)

Calculs

Composante horizontale :

\begin{aligned} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0x} &= (20 \, \text{m/s}) \times \cos(45^\circ) \\ v_{0x} &\approx (20 \, \text{m/s}) \times 0.707 \\ v_{0x} &\approx 14.14 \, \text{m/s} \end{aligned}

Composante verticale :

\begin{aligned} v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \\ v_{0y} &= (20 \, \text{m/s}) \times \sin(45^\circ) \\ v_{0y} &\approx (20 \, \text{m/s}) \times 0.707 \\ v_{0y} &\approx 14.14 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultats

Les composantes de la vitesse initiale sont :

Composante horizontale : \(v_{0x} \approx 14.1 \, \text{m/s}\)
Composante verticale : \(v_{0y} \approx 14.1 \, \text{m/s}\)

2. Calcul du Temps de Vol Total (\(t_{vol}\))

Le temps de vol est le temps total pendant lequel le javelot est en l'air. En négligeant la résistance de l'air et en supposant que le point de lancement et le point d'impact sont à la même hauteur, le temps de vol est le double du temps nécessaire pour atteindre le sommet de la trajectoire (\(t_{pic}\)). Au sommet, la composante verticale de la vitesse (\(v_y\)) est nulle. L'équation de la vitesse verticale est : \(v_y(t) = v_{0y} - gt\). Au sommet (\(t = t_{pic}\)), \(v_y = 0\), donc \(0 = v_{0y} - g t_{pic}\), ce qui donne \(t_{pic} = \frac{v_{0y}}{g}\). Le temps de vol total est \(t_{vol} = 2 \times t_{pic} = \frac{2 v_{0y}}{g}\).

Données pour cette étape

Composante verticale de la vitesse initiale : \(v_{0y} \approx 14.14 \, \text{m/s}\) (calculée à l'étape 1)
Accélération de la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul

\begin{aligned} t_{vol} &= \frac{2 v_{0y}}{g} \\ t_{vol} &\approx \frac{2 \times 14.14 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ t_{vol} &\approx \frac{28.28}{9.81} \, \text{s} \\ t_{vol} &\approx 2.88 \, \text{s} \end{aligned}

Résultat

Le temps de vol total du javelot est \(t_{vol} \approx 2.88 \, \text{s}\).

3. Calcul de la Portée du Javelot (\(R\))

La portée (\(R\)) est la distance horizontale totale parcourue par le javelot pendant son temps de vol. En l'absence de résistance de l'air, le mouvement horizontal se fait à vitesse constante (\(v_{0x}\)). \[ R = v_{0x} \times t_{vol} \] On peut aussi utiliser la formule directe de la portée (pour un lancement et une réception à la même hauteur) : \[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]

Données pour cette étape

Composante horizontale de la vitesse initiale : \(v_{0x} \approx 14.14 \, \text{m/s}\) (calculée à l'étape 1)
Temps de vol : \(t_{vol} \approx 2.88 \, \text{s}\) (calculé à l'étape 2)
Alternativement : \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\), \(\theta = 45^\circ\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calculs

Méthode 1 : Utilisation des composantes

\begin{aligned} R &= v_{0x} \times t_{vol} \\ R &\approx (14.14 \, \text{m/s}) \times (2.88 \, \text{s}) \\ R &\approx 40.72 \, \text{m} \end{aligned}

Méthode 2 : Utilisation de la formule de la portée

\begin{aligned} R &= \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ R &= \frac{(20 \, \text{m/s})^2 \times \sin(2 \times 45^\circ)}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ R &= \frac{400 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \times \sin(90^\circ)}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ R &= \frac{400 \times 1}{9.81} \, \text{m} \\ R &\approx 40.77 \, \text{m} \end{aligned}

Les légères différences sont dues aux arrondis intermédiaires dans la méthode 1.

Résultat Final

La portée du javelot (distance horizontale maximale) est \(R \approx 40.8 \, \text{m}\).

Il est important de noter que cet calcul idéal néglige la résistance de l'air, qui réduirait significativement la portée réelle d'un javelot. De plus, l'angle optimal pour la portée maximale en présence de résistance de l'air est généralement inférieur à 45°.

Calcul de la Portée d’un Projectile