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Exercice: Distance, Vitesse et Temps

Déterminer la Distance avec la Vitesse et le Temps

Contexte : La Relation entre Distance, Vitesse et TempsLa relation qui lie la distance, la vitesse et le temps (d = v × t)..

Savoir calculer une distance à partir d'une vitesse et d'un temps est une compétence fondamentale en physique. Elle est essentielle dans de nombreux domaines, de la planification d'un trajet à l'ingénierie. Dans cet exercice, nous allons analyser la relation entre ces trois grandeurs et l'appliquer à un cas concret.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser la formule fondamentale \(d = v \times t\) pour résoudre un problème, en portant une attention particulière aux conversions d'unités.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre ce que sont la distance, la vitesse et le temps.
  • Connaître la formule fondamentale qui lie ces trois grandeurs : \(d = v \times t\).
  • Calculer une distance en kilomètres (km) en connaissant la vitesse (en km/h) et le temps (en heures).
  • Maîtriser les conversions d'unités (minutes en heures, km/h en m/s).

Données de l'étude

Pour cet exercice, nous allons analyser le trajet d'un train à grande vitesse (TGV) sur une nouvelle ligne commerciale.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Sujet d'étude Analyse d'un trajet TGV
Moyen de transport TGV (Train à Grande Vitesse)
Objectif Calculer la distance de la ligne
Schéma du trajet TGV
Gare A Départ Gare B Arrivée Trajet: v = 300 km/h, t = 1h 45min
Nom du Paramètre Description ou Formule Valeur Unité
Vitesse Vitesse de croisière moyenne du TGV 300 km/h
Temps Durée du trajet 1 heure 45 minutes heures et minutes

Questions à traiter

  1. Quelle est la formule fondamentale liant la distance (\(d\)), la vitesse (\(v\)) et le temps (\(t\)) ?
  2. Le temps de trajet est donné en "1 heure 45 minutes". Convertissez cette durée en heures (sous forme décimale).
  3. En utilisant la vitesse de croisière et le temps converti, calculez la distance totale (en km) de la ligne TGV.
  4. Convertissez la vitesse de croisière du TGV (300 km/h) en mètres par seconde (m/s).

Les bases sur la Vitesse

Pour résoudre ce problème, il faut bien comprendre ce que sont la vitesse, le temps et la distance, et comment ils sont liés.

1. Les Trois Grandeurs

  • La Distance (d) : C'est la longueur du trajet. On la mesure en kilomètres (km).
  • Le Temps (t) : C'est la durée du trajet. On la mesure en heures (h).
  • La Vitesse (v) : C'est la distance que tu parcours en un certain temps (par exemple, en 1 heure). On la mesure en kilomètres par heure (km/h).

2. La Formule Fondamentale (Le Triangle)
Pour trouver la relation, on utilise souvent un triangle. Si vous cachez la grandeur que vous cherchez, la formule apparaît.

d v t

Pour trouver la distance (\(d\)), vous cachez le 'd' et il reste \(v\) et \(t\) en bas, côte à côte. On obtient la relation :

\[ d = v \times t \]

Correction : Déterminer la Distance avec la Vitesse et le Temps

Question 1 : Quelle est la formule fondamentale liant la distance (\(d\)), la vitesse (\(v\)) et du temps (\(t\)) ?

Principe

L'objectif ici est d'établir la fondation théorique de l'exercice. Avant de calculer quoi que ce soit, nous devons identifier la "loi" ou la "règle" mathématique qui connecte les trois concepts clés que sont la distance, la vitesse et le temps. Cette question teste votre connaissance de cette relation fondamentale, qui est la pierre angulaire de tous les problèmes de mouvement uniforme.

Mini-Cours

En physique, la distance est le produit de la vitesse moyenne par le temps de parcours. Si on connaît la vitesse et le temps, on peut trouver la distance.

Remarque Pédagogique

Le 'par' dans 'kilomètres *par* heure' (km/h) est une division (\(km \div h\)). Donc \(v = d/t\). En "passant" le \(t\) de l'autre côté, on obtient \(d = v \times t\).

Formule(s)

La formule principale à retenir est celle de la distance :

Formule de la distance

\[ d = v \times t \]
Hypothèses

Cette formule est vraie si on suppose que la vitesse \(v\) est la vitesse *moyenne* pendant tout le temps \(t\).

Astuces

Pensez au triangle \(d\), \(v\), \(t\). \(d\) est en haut, \(v\) et \(t\) sont en bas. En cachant \(d\) avec votre doigt, vous voyez \(v\) et \(t\) côte à côte, ce qui signifie "multiplié" : \(v \times t\).

Schéma

Le triangle est le meilleur "schéma" pour mémoriser cette formule.

Le Triangle (d, v, t)
d v t
Réflexions

Le résultat de cette question n'est pas un chiffre, mais une formule : \(d = v \times t\). Cette formule exprime une idée simple : la distance parcourue est proportionnelle à la vitesse et au temps. Si vous doublez votre vitesse (et gardez le même temps), vous doublez la distance. Si vous doublez votre temps de trajet (et gardez la même vitesse), vous doublez aussi la distance. Comprendre cette proportionnalité est aussi important que de mémoriser la formule elle-même. Elle sert de base à toutes les étapes suivantes.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre les formules ! \(v = d/t\) (pour trouver la vitesse) et \(t = d/v\) (pour trouver le temps) sont aussi correctes, mais ce n'est pas ce qui est demandé ici.

Points à retenir

La formule à retenir est : Distance = Vitesse × Temps.

Le saviez-vous ?

Cette simple formule est utilisée pour calculer des distances incroyablement grandes, comme la distance que la lumière parcourt en une année (c'est ce qu'on appelle une "année-lumière") !

Résultat Final
La formule est : \(d = v \times t\)
Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Relation entre distance, vitesse, temps.
  • Formule Essentielle : \(d = v \times t\).

Question 2 : Le temps de trajet est donné en "1 heure 45 minutes". Convertissez cette durée en heures (sous forme décimale).

Principe

Pour utiliser le temps dans la formule de vitesse (qui est en km/*heure*), nous ne pouvons pas utiliser un format "heures et minutes". Nous devons convertir la partie "minutes" en une fraction d'heure.

Mini-Cours

Il y a 60 minutes dans 1 heure. Pour convertir des minutes en heures, il faut diviser le nombre de minutes par 60. Par exemple, 30 minutes = 30 / 60 = 0,5 heure.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus fréquente est d'écrire 1 heure 45 minutes = 1,45 h. C'est incorrect ! Notre système de temps (sexagésimal) est en base 60, alors que les nombres décimaux sont en base 10.

Formule(s)

Formule de conversion

\[ \text{Temps (en heures)} = \frac{\text{Temps (en minutes)}}{60} \]
Hypothèses

On utilise la définition standard de l'heure (1 h = 60 min).

Donnée(s)

Temps à convertir : 1 heure 45 minutes.

Astuces

Pensez à un cadran d'horloge. 45 minutes, ce sont "trois quarts d'heure". Un quart c'est 0,25. Donc trois quarts, c'est \(3 \times 0,25 = 0,75\).

Schéma (Avant les calculs)

Pour résoudre ce problème, nous devons comprendre visuellement pourquoi "45 minutes" doit être transformé. Une heure (en km/h) est un bloc de 60 minutes. Nous devons trouver quelle fraction de ce bloc représentent nos 45 minutes.

Proportion : Minutes vs Heures
1 Heure = 60 Minutes 45 Minutes ?= 0.75 H
Calcul(s)

On décompose le calcul.

Étape 1 : On sépare les heures et les minutes

\[ t = 1 \text{ heure} + 45 \text{ minutes} \]

Étape 2 : On convertit les minutes en heures

\[ 45 \text{ min} = \frac{45}{60} \text{ h} = 0,75 \text{ h} \]

Étape 3 : On additionne les deux parties

\[ t = 1 \text{ h} + 0,75 \text{ h} = 1,75 \text{ h} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser 45 minutes sur une horloge. Cela représente les trois quarts (3/4) du cadran, ce qui correspond bien à 0,75.

Visualisation : 1h 45min
45 min = 0,75 h
Réflexions

La durée de 1h 45min est donc égale à 1,75 heure. C'est cette valeur que nous devrons utiliser pour les calculs de distance.

Points de vigilance

Répétons-le : 1 heure 45 minutes n'est PAS égal à 1,45 heure. C'est l'erreur la plus commune !

Points à retenir
  • Pour convertir des minutes en heures, on divise par 60.
  • 45 minutes = 0,75 h (trois quarts d'heure).
  • 30 minutes = 0,5 h (une demi-heure).
  • 15 minutes = 0,25 h (un quart d'heure).
Résultat Final
Le temps de trajet converti est de 1,75 heure.
A vous de jouer

En suivant la même méthode, convertissez 2 heures 30 minutes en heures décimales.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Donnée : 1 h 45 min
  • Calcul : \(45 \div 60 = 0,75\). Donc \(t = 1 + 0,75 = 1,75 \text{ h}\).

Question 3 : En utilisant la vitesse de croisière et le temps converti, calculez la distance totale (en km) de la ligne TGV.

Principe

Maintenant que nous avons la formule (Question 1) et les données dans les bonnes unités (Question 2), nous pouvons effectuer l'application numérique pour trouver la distance.

Mini-Cours

Nous allons remplacer les lettres de la formule \(d = v \times t\) par les valeurs numériques du problème : la vitesse \(v\) et le temps \(t\) (en heures décimales).

Formule(s)

Formule de la distance

\[ d = v \times t \]
Hypothèses

On suppose que la vitesse de 300 km/h est la vitesse moyenne sur la totalité du trajet de 1,75 h.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la Q2 :

ParamètreSymboleValeurUnité
VitesseLa distance parcourue en une heure.v300km/h
TempsLa durée du trajet (convertie).t1,75h
Schéma (Avant les calculs)

Nous posons le problème : nous avons la vitesse (300 km/h) et le temps (1,75 h). Nous cherchons la distance (d). Notre formule \(d = v \times t\) montre que nous devons multiplier ces deux valeurs.

Problème : Trouver la distance
300 km/h (Vitesse) 1,75 h (Temps) × Distance = ? km
Calcul(s)

On applique la formule étape par étape.

Étape 1 : On pose la formule

\[ d = v \times t \]

Étape 2 : On remplace par les valeurs

\[ d = 300 \text{ km/h} \times 1,75 \text{ h} \]

Étape 3 : On calcule le résultat

\[ d = 525 \text{ km} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul combine la vitesse et le temps pour trouver la distance totale.

Résultat du Calcul de Distance
Distance (d) = 525 km v = 300 km/h t = 1,75 h ×
Réflexions

Le résultat est 525 km. Cela signifie que la ligne TGV mesure 525 kilomètres. C'est une distance plausible (par exemple, Paris-Lyon est d'environ 450 km, Paris-Bordeaux d'environ 500 km).

Points de vigilance

Si vous n'aviez pas converti le temps, vous auriez pu faire \(300 \times 1,45 = 435 \text{ km}\), ce qui est incorrect. La conversion du temps est cruciale.

Points à retenir
  • 1. Toujours vérifier que les unités sont compatibles (km/h avec h).
  • 2. Appliquer la formule \(d = v \times t\).
Résultat Final
La distance totale de la ligne TGV est de 525 km.
A vous de jouer

Une voiture roule à 100 km/h pendant 2,5 heures (deux heures et demie). Quelle distance parcourt-elle (en km) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Données : \(v = 300 \text{ km/h}\), \(t = 1,75 \text{ h}\)
  • Calcul : \(d = 300 \times 1,75 = 525 \text{ km}\).

Question 4 : Convertissez la vitesse de croisière du TGV (300 km/h) en mètres par seconde (m/s).

Principe

Il s'agit d'une conversion d'unité classique en physique. Nous devons convertir les kilomètres (km) en mètres (m) ET les heures (h) en secondes (s).

Mini-Cours

Pour convertir, on se souvient que :
- \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\)
- \(1 \text{ heure} = 60 \text{ minutes}\)
- \(1 \text{ minute} = 60 \text{ secondes}\)
- Donc \(1 \text{ heure} = 60 \times 60 = 3600 \text{ secondes}\).

Formule(s)

Formule de conversion complète

\[ v \text{ (m/s)} = \frac{v \text{ (km/h)} \times 1000 \text{ (m/km)}}{3600 \text{ (s/h)}} \]

Formule simplifiée (l'astuce)

\[ v \text{ (m/s)} = \frac{v \text{ (km/h)}}{3,6} \]
Donnée(s)

Vitesse à convertir : 300 km/h.

Astuces

Pour passer des km/h aux m/s, il suffit de diviser par 3,6. Pour faire l'inverse (de m/s à km/h), on multiplie par 3,6.

Schéma (Avant les calculs)

Le problème est une double conversion. Nous devons convertir les 'km' en 'm' (en haut) et les 'h' en 's' (en bas). Ce schéma montre les deux conversions que nous devons effectuer.

Problème : Double Conversion
km h m s × 1000 × 3600
Calcul(s)

On utilise la formule simplifiée (division par 3,6).

Étape 1 : On pose la formule

\[ v \text{ (m/s)} = v \text{ (km/h)} \div 3,6 \]

Étape 2 : On remplace par la valeur

\[ v \text{ (m/s)} = 300 \div 3,6 \]

Étape 3 : On calcule le résultat

\[ v \text{ (m/s)} \approx 83,33... \text{ m/s} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la conversion : on divise les kilomètres par 3,6 pour obtenir des mètres par seconde.

Conversion km/h \(\rightarrow\) m/s
300 km/h 83,33 m/s ÷ 3,6
Réflexions

Une vitesse de 300 km/h équivaut à 83,33 mètres *par seconde*. Cela signifie que le TGV parcourt presque la longueur d'un terrain de football à chaque seconde !

Points de vigilance

Attention à ne pas mélanger les opérations ! On divise par 3,6 pour passer de km/h à m/s. On multiplie pour le sens inverse.

Points à retenir
  • 1 km = 1000 m
  • 1 h = 3600 s
  • km/h \(\rightarrow\) m/s : On divise par 3,6.
Résultat Final
La vitesse de croisière du TGV est d'environ 83,33 m/s.
A vous de jouer

Convertissez une vitesse de 90 km/h (la vitesse d'une voiture sur une route nationale) en m/s.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Donnée : \(v = 300 \text{ km/h}\)
  • Calcul : \(v \text{ (m/s)} = 300 \div 3,6 = 83,33 \text{ m/s}\).

Outil Interactif : Simulateur

Jouez avec les curseurs pour voir comment la distance change quand vous modifiez la vitesse ou le temps.

Paramètres d'Entrée
300 km/h
1.75 h
Résultats Clés
Distance (d) (en km) -
Vitesse (en m/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une voiture roule à 50 km/h. Quelle distance parcourt-elle en 2 heures ?

2. La formule pour calculer la distance (d) est...

3. Un TGV roule à 300 km/h pendant 15 minutes. Quelle distance parcourt-il ?

4. Si la vitesse est en km/h et le temps en heures, la distance est en...

5. Comment convertir 72 km/h en m/s ?

Glossaire

Distance (d)
La longueur d'un trajet, mesurée en mètres (m) ou kilomètres (km).
Vitesse (v)
La distance parcourue pendant une unité de temps (par ex. en 1 heure). Mesurée en km/h ou m/s.
Temps (t)
La durée d'un événement, mesurée en secondes (s) ou en heures (h).
Unité
Une mesure standard pour une grandeur physique (exemples : le kilomètre, l'heure, le kilomètre par heure).
Conversion d'unités
Le processus de changer une mesure d'une unité à une autre (par exemple, de minutes à heures) sans changer sa valeur.
m/s (mètre par seconde)
L'unité de vitesse du Système International (SI). 1 m/s = 3,6 km/h.
Exercice: Distance, Vitesse et Temps

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