Lois de Newton pour la Rotation : Dynamique d’un Système Poulie-Masse
Contexte : La dynamique de rotationL'étude du mouvement de rotation des objets et des causes de ce mouvement, comme les couples et le moment d'inertie..
Cet exercice est un cas d'étude classique qui combine la dynamique de translation (deuxième loi de Newton) et la dynamique de rotation. Nous analyserons le mouvement d'une masse suspendue à une corde enroulée autour d'une poulie massive. Contrairement aux problèmes simplifiés où la poulie a une masse négligeable, nous considérerons ici son moment d'inertieL'équivalent en rotation de la masse. C'est une mesure de la résistance d'un objet à un changement de son état de rotation., ce qui affecte l'accélération du système. Vous appliquerez le Principe Fondamental de la Dynamique de RotationL'équivalent en rotation de la deuxième loi de Newton (F=ma), qui stipule que le couple net agissant sur un objet est égal au produit de son moment d'inertie et de son accélération angulaire (τ = Iα)..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à coupler les équations du mouvement de translation et de rotation pour analyser un système mécanique complet, une compétence essentielle en physique et en ingénierie.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le moment d'inertie d'un solide simple (cylindre plein).
- Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique pour la translation et la rotation.
- Résoudre un système d'équations pour trouver les accélérations linéaire et angulaire.
- Utiliser les équations de la cinématique pour déterminer la vitesse finale.
Données de l'étude
Schéma du système poulie-masse
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| M | Masse de la poulie (cylindre plein) | 4.0 | kg |
| R | Rayon de la poulie | 0.25 | m |
| m | Masse suspendue | 2.0 | kg |
| g | Accélération de la pesanteur | 9.81 | m/s² |
| h | Hauteur de chute de la masse | 1.5 | m |
Questions à traiter
- Calculer le moment d'inertie \(I\) de la poulie par rapport à son axe de rotation.
- Isoler la masse \(m\) et la poulie \(M\), et dessiner le bilan des forces pour chaque objet (diagrammes de corps libre).
- Appliquer les lois de Newton pour la translation et la rotation afin de dériver une expression pour l'accélération angulaire \(\alpha\) de la poulie. Calculez sa valeur numérique.
- En déduire l'accélération linéaire \(a\) de la masse \(m\).
- Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) de la poulie lorsque la masse \(m\) a chuté d'une hauteur \(h = 1.5\) m.
Les bases sur la Dynamique de Rotation
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser trois concepts fondamentaux qui lient les forces, la masse, l'accélération et leurs équivalents en rotation.
1. Moment d'Inertie (\(I\))
Le moment d'inertie est l'analogue de la masse pour la rotation. Il quantifie la résistance d'un corps à être mis en rotation. Il dépend non seulement de la masse du corps, mais aussi de la répartition de cette masse autour de l'axe de rotation. Pour un cylindre plein et homogène de masse \(M\) et de rayon \(R\) tournant autour de son axe de symétrie, le moment d'inertie est donné par :
\[ I = \frac{1}{2} M R^2 \]
2. Principe Fondamental de la Dynamique de Rotation
Tout comme une force nette provoque une accélération linéaire (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)), un coupleLe couple (ou moment de force) est la capacité d'une force à provoquer une rotation. Il est égal au produit de la force par le bras de levier. net (\(\sum \tau\)) provoque une accélération angulaire (\(\alpha\)). La relation est :
\[ \sum \tau_{\text{ext}} = I \alpha \]
Le couple d'une force \(\vec{F}\) appliquée à un point situé à un vecteur position \(\vec{r}\) de l'axe est \(\tau = r F \sin(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{r}\) et \(\vec{F}\).
3. Lien entre Mouvements Linéaire et Angulaire
Pour un point sur le bord d'un objet en rotation (comme la corde sur notre poulie, qui ne glisse pas), les grandeurs linéaires (tangentielles) sont directement proportionnelles aux grandeurs angulaires. Le rayon \(R\) est le facteur de proportionnalité :
\[ a_t = R \alpha \quad | \quad v_t = R \omega \]
Où \(a_t\) est l'accélération tangentielle et \(v_t\) est la vitesse tangentielle.
Correction : Lois de Newton pour la Rotation : Dynamique d’un Système Poulie-Masse
Question 1 : Calculer le moment d'inertie \(I\) de la poulie.
Principe
Le moment d'inertie caractérise l'opposition d'un corps à sa mise en rotation. Il est l'équivalent de la masse inertielle pour le mouvement de translation. Plus il est élevé, plus il est difficile de modifier la vitesse de rotation de l'objet.
Mini-Cours
Le moment d'inertie \(I\) dépend de la masse de l'objet et de la manière dont cette masse est répartie autour de l'axe de rotation. Pour un corps continu, il est calculé par l'intégrale \(I = \int r^2 dm\) sur tout le volume du corps, où \(r\) est la distance de l'élément de masse \(dm\) à l'axe. Heureusement, pour les formes géométriques simples (sphère, tige, cylindre), ces intégrales ont été calculées et sont disponibles sous forme de formules standards.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours d'identifier correctement la géométrie de l'objet et son axe de rotation. Une poulie est généralement modélisée comme un disque ou un cylindre plein. Assurez-vous de choisir la formule correspondante dans votre formulaire avant tout calcul.
Normes
En physique fondamentale, il n'y a pas de "normes" au sens de codes de construction. Les "règles" sont les lois physiques elles-mêmes, et les formules qui en découlent sont universellement reconnues. La formule pour le moment d'inertie d'un cylindre plein est un résultat standard de la mécanique classique.
Formule(s)
Formule du moment d'inertie d'un cylindre plein
Hypothèses
Pour appliquer cette formule, nous posons les hypothèses suivantes :
- La poulie est un cylindre parfait.
- Sa masse volumique est homogène (la matière est répartie uniformément).
- L'axe de rotation passe exactement par son centre de masse.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la poulie | M | 4.0 | kg |
| Rayon de la poulie | R | 0.25 | m |
Astuces
Vérifiez toujours que vos unités sont dans le Système International (mètres, kilogrammes, secondes) avant de commencer le calcul. Cela vous évitera 90% des erreurs d'application numérique.
Schéma (Avant les calculs)
Modélisation de la Poulie en tant que Cylindre Plein
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma représente le cylindre plein avec son moment d'inertie calculé, illustrant la distribution de sa masse M autour de l'axe de rotation Δ, ce qui détermine sa résistance à la mise en rotation.
Poulie avec Moment d'Inertie Calculé
Réflexions
La valeur de 0.125 kg·m² représente l'inertie de rotation de la poulie. Pour donner un ordre de grandeur, c'est l'inertie d'une masse ponctuelle de 2 kg placée à 25 cm de l'axe (\(I=mr^2\)). Notre poulie, avec sa masse répartie, a donc moins d'inertie qu'un cerceau de même masse et rayon, car une partie de sa masse est plus proche de l'axe.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le rayon au carré (\(R^2\)). Une autre erreur classique est de confondre la formule du cylindre plein (\(\frac{1}{2}MR^2\)) avec celle d'un anneau ou cerceau (\(MR^2\)).
Points à retenir
- Concept Clé : Le moment d'inertie est l'inertie en rotation.
- Formule Essentielle : Pour un cylindre plein, \(I = \frac{1}{2} M R^2\).
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le carré sur le rayon et utiliser les bonnes unités (kg et m).
Le saviez-vous ?
Les patineurs artistiques illustrent parfaitement ce principe. Pour accélérer leur rotation (pirouette), ils ramènent leurs bras le long du corps. Cela réduit leur moment d'inertie. Par la conservation du moment cinétique (\(L = I\omega\)), si \(I\) diminue, \(\omega\) (la vitesse de rotation) doit augmenter.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la poulie était un anneau fin (cerceau) de même masse et de même rayon, quel serait son moment d'inertie ? (Formule : \(I = MR^2\))
Question 2 : Diagrammes de corps libre.
Principe
Pour analyser les forces et les couples, il faut "isoler" mentalement chaque partie du système (la masse et la poulie) et dessiner toutes les forces externes qui s'exercent sur elle. C'est la méthode fondamentale en dynamique pour ne rien oublier.
Mini-Cours
Un Diagramme de Corps Libre (DCL) simplifie une situation mécanique complexe en une représentation graphique claire. La méthode consiste à dessiner l'objet seul, libéré de toutes ses liaisons (supports, cordes, etc.), et à remplacer ces liaisons par les forces qu'elles exercent sur l'objet. Cela permet de faire un inventaire visuel de toutes les interactions externes, ce qui est l'étape indispensable avant d'appliquer les lois de Newton.
Remarque Pédagogique
Un diagramme de corps libre bien fait est la moitié du problème résolu. Prenez le temps de nommer clairement chaque force et d'indiquer sa direction. Attention à la 3ème loi de Newton : la tension que la corde exerce sur la masse est égale en magnitude et opposée en direction à la tension que la masse exerce sur la corde.
Hypothèses
Pour ces diagrammes, nous supposons :
- La corde est de masse négligeable, donc la tension est la même tout le long de la partie verticale.
- L'axe de la poulie est sans frottement.
- Les objets ne sont soumis qu'aux forces indiquées (gravité, tension, réaction de l'axe).
Schéma
Voici les deux diagrammes de corps libre pour la masse m et la poulie M.
Diagrammes de Corps Libre (DCL)
Réflexions
Pour la masse m, nous avons deux forces colinéaires : le poids mg (vers le bas) et la tension T (vers le haut). Pour la poulie, nous avons trois forces : son poids Mg (vers le bas), la réaction de l'axe N (vers le haut, qui compense le poids de la poulie et la tension), et la tension T de la corde qui est tangentielle et qui est la seule à créer un couple par rapport à l'axe de rotation.
Points de vigilance
Trois erreurs communes à éviter : 1) Oublier la réaction de l'axe N sur la poulie. 2) Inclure des forces "internes" comme la force centripète. 3) Dessiner la tension agissant sur la poulie au centre de celle-ci ; elle agit bien tangentiellement, au point où la corde quitte la poulie, car c'est là qu'elle crée un couple.
Points à retenir
Synthèse :
- Isoler chaque corps est une étape non négociable en dynamique.
- Identifier toutes les forces externes (contact et à distance).
- La tension est une force interne au système global, mais externe à chaque sous-système (masse ou poulie).
Question 3 : Calculer l'accélération angulaire \(\alpha\).
Principe
Le cœur du problème est de lier le mouvement de la masse (translation) à celui de la poulie (rotation). On utilise pour cela la deuxième loi de Newton pour chaque mouvement, puis on les combine grâce à la contrainte cinématique de la corde qui ne glisse pas (\(a = R\alpha\)).
Mini-Cours
Un système couplé est un système où le mouvement d'une partie influence directement le mouvement d'une autre. Ici, la masse ne peut pas accélérer sans faire tourner la poulie, et la poulie ne peut pas tourner sans que la masse ne descende. La variable de couplage est la tension \(T\). La résolution de ce type de problème passe quasi-systématiquement par la création d'un système de deux équations (une pour chaque corps) à deux inconnues (ici, \(a\) et \(T\), ou \(\alpha\) et \(T\)).
Formule(s)
(1) PFD pour la masse \(m\)
(2) PFD pour la poulie \(M\)
(3) Condition de non-glissement
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la poulie | M | 4.0 | kg |
| Rayon de la poulie | R | 0.25 | m |
| Masse suspendue | m | 2.0 | kg |
| Accélération de la pesanteur | g | 9.81 | m/s² |
| Moment d'inertie | I | 0.125 | kg·m² |
Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes de Corps Libre (DCL)
Calcul(s)
Étape 1 : Substitution de \(a\) dans l'équation (1)
On commence par remplacer l'accélération linéaire \(a\) dans la première équation par son équivalent en rotation, \(R\alpha\), pour n'avoir que des variables de rotation et la tension.
Étape 2 : Isoler la tension \(T\)
Nous avons maintenant deux équations (une pour la translation, une pour la rotation) qui contiennent la tension \(T\). Nous allons réarranger chacune d'elles pour exprimer \(T\) en fonction des autres variables.
Étape 3 : Égaliser les expressions de \(T\) et résoudre pour \(\alpha\)
Puisque les deux expressions représentent la même tension, on peut les égaliser. Cela nous permet d'éliminer la variable \(T\) et d'obtenir une seule équation avec \(\alpha\) comme seule inconnue, que nous pouvons alors isoler par algèbre.
Étape 4 : Application numérique
Maintenant que nous avons une expression littérale pour \(\alpha\), il ne reste plus qu'à remplacer chaque variable par sa valeur numérique pour trouver le résultat final.
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des accélérations
Points de vigilance
Attention aux signes. Dans l'équation de la masse, \(mg\) est moteur (positif) et \(T\) est résistante (négatif). Pour la poulie, la tension \(T\) crée un couple moteur (positif si on oriente l'axe dans le sens de rotation). Une erreur de signe sur une seule force faussera tout le résultat.
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait \(\alpha\) si la poulie avait une masse négligeable (\(I=0\)) ?
Question 4 : En déduire l'accélération linéaire \(a\) de la masse.
Principe
L'accélération linéaire de la masse est identique à l'accélération tangentielle du point de la corde en contact avec la poulie. Cette dernière est directement liée à l'accélération angulaire \(\alpha\) par la condition de roulement sans glissement.
Formule(s)
Relation accélération linéaire - angulaire
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon de la poulie | R | 0.25 | m |
| Accélération angulaire | \(\alpha\) | 19.62 | rad/s² |
Schéma (Avant les calculs)
Relation Cinématique
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des accélérations
Réflexions
L'accélération de la masse (\(a \approx 4.91\) m/s²) est inférieure à l'accélération de la pesanteur (\(g = 9.81\) m/s²). C'est logique : si la masse était en chute libre, son accélération serait \(g\). Ici, elle est "retenue" par la corde, qui doit non seulement la supporter mais aussi mettre la poulie en rotation. L'inertie de la poulie a donc pour effet de "ralentir" la chute de la masse.
Points de vigilance
Le radian est une unité "adimensionnelle" en termes de grandeurs physiques fondamentales (longueur, masse, temps). Ainsi, un rayon (m) multiplié par une accélération angulaire (rad/s²) donne bien une accélération linéaire (m/s²).
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la tension T dans la corde pendant la chute ? (Utilisez \(T = m(g-a)\)).
Question 5 : Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) après une chute de \(h=1.5\) m.
Principe
Puisque l'accélération angulaire \(\alpha\) est constante, nous pouvons utiliser les équations de la cinématique du mouvement de rotation uniformément accéléré. Nous avons la distance de chute, ce qui nous permet de calculer le déplacement angulaire correspondant, et d'en déduire la vitesse finale.
Mini-Cours
Les équations de la cinématique en rotation sont les analogues directs de celles en translation. Si \(x \to \theta\), \(v \to \omega\), et \(a \to \alpha\), on a :
- \(\omega_f = \omega_i + \alpha t\)
- \(\theta = \omega_i t + \frac{1}{2}\alpha t^2\)
- \(\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2\alpha\theta\)
Formule(s)
Équation de la cinématique (indépendante du temps)
Relation déplacement linéaire - angulaire
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de chute | h | 1.5 | m |
| Rayon de la poulie | R | 0.25 | m |
| Accélération angulaire | \(\alpha\) | 19.62 | rad/s² |
| Vitesse angulaire initiale | \(\omega_i\) | 0 | rad/s |
Schéma (Avant les calculs)
États initial et final
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du déplacement angulaire \(\theta\)
Étape 2 : Calcul de la vitesse angulaire finale \(\omega_f\)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des vitesses
Astuces
Une autre méthode, souvent plus rapide, est d'utiliser la conservation de l'énergie. L'énergie potentielle gravitationnelle perdue par la masse (\(mgh\)) est convertie en énergie cinétique de translation de la masse (\(\frac{1}{2}mv^2\)) et en énergie cinétique de rotation de la poulie (\(\frac{1}{2}I\omega^2\)). L'équation \(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\) donne directement la vitesse finale.
Points de vigilance
Assurez-vous que le déplacement angulaire \(\theta\) est bien exprimé en radians. Les équations de la cinématique angulaire ne fonctionnent qu'avec cette unité. Ne confondez pas tours, degrés et radians.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse linéaire \(v\) de la masse à cet instant ?
Outil Interactif : Simulateur Poulie-Masse
Utilisez les curseurs pour modifier la masse de la poulie (M) et la masse suspendue (m). Observez comment l'accélération linéaire du système change. Le rayon R est fixé à 0.25 m.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le moment d'inertie est une mesure de...
2. Quelle est l'unité standard du couple (torque) dans le Système International ?
3. Si le couple net agissant sur un objet est nul et qu'il est déjà en rotation, l'objet...
4. Dans notre exercice, si la poulie était un anneau fin (cerceau) au lieu d'un cylindre plein, son moment d'inertie serait...
5. Si la corde glissait sur la poulie, la relation \(a = R\alpha\) serait-elle toujours valide ?
Glossaire
- Moment d'inertie (\(I\))
- Une propriété scalaire d'un corps solide qui décrit sa résistance à une modification de sa vitesse de rotation. C'est l'analogue de la masse inertielle en dynamique de translation. Son unité est le kilogramme-mètre carré (kg·m²).
- Couple (\(\tau\))
- Aussi appelé moment de force, le couple est la grandeur vectorielle qui représente la capacité d'une force à faire tourner un système autour d'un point ou d'un axe. Son unité est le Newton-mètre (N·m).
- Accélération angulaire (\(\alpha\))
- Le taux de variation de la vitesse angulaire dans le temps. Elle représente à quelle vitesse la rotation d'un objet s'accélère ou ralentit. Son unité est le radian par seconde carrée (rad/s²).
- Principe Fondamental de la Dynamique de Rotation
- Affirme que la somme des couples externes agissant sur un corps est égale au produit de son moment d'inertie par son accélération angulaire (\(\sum \tau = I\alpha\)). C'est la deuxième loi de Newton appliquée à la rotation.
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