Étude du Mouvement sur Plan Incliné

Les forces s'exerçant sur le bloc sont :

• Le poids \(\vec{P}\) : vertical, vers le bas, de norme \(P = mg\).
• La réaction normale \(\vec{R}_N\) (ou \(\vec{N}\)) : perpendiculaire au plan incliné, dirigée vers le haut (opposée à l'enfoncement dans le plan).
• La force de frottement cinétique \(\vec{f}_c\) : parallèle au plan incliné, dirigée dans le sens opposé au mouvement (donc vers le haut du plan si le bloc glisse vers le bas). Sa norme est \(f_c = \mu_c R_N\).

La deuxième loi de Newton s'écrit \(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\). Donc, \(\vec{P} + \vec{R}_N + \vec{f}_c = m\vec{a}\). On projette cette équation vectorielle sur les axes du repère \((O, \vec{i'}, \vec{j'})\) :

• Axe \(Ox'\) (parallèle au plan, orienté vers le bas) : L'angle entre \(\vec{P}\) et la perpendiculaire au plan est \(\alpha\). Donc l'angle entre \(\vec{P}\) et le plan incliné (direction \(-\vec{i'}\) si P était vers le haut du plan) est \(90^\circ - \alpha\). La composante de \(\vec{P}\) selon \(\vec{i'}\) est \(P \sin(\alpha)\). \(\vec{f}_c\) est selon \(-\vec{i'}\). \(\vec{R}_N\) est selon \(\vec{j'}\).
• Axe \(Oy'\) (perpendiculaire au plan, orienté vers le haut) : La composante de \(\vec{P}\) selon \(\vec{j'}\) est \(-P \cos(\alpha)\). \(\vec{R}_N\) est selon \(\vec{j'}\). \(\vec{f}_c\) est selon \(\vec{i'}\).

Projection sur \(Ox'\) :

Projection sur \(Oy'\) (le mouvement n'a pas lieu selon cet axe, donc l'accélération selon \(Oy'\) est nulle) :

D'après la projection sur l'axe \(Oy'\), on a \(R_N - P \cos(\alpha) = 0\). La norme du poids est \(P = mg\).

Données : \(m = 2.0 \text{ kg}\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\), \(\alpha = 30^\circ\) (\(\cos(30^\circ) \approx 0.866\)).

La norme de la force de frottement cinétique est donnée par \(f_c = \mu_c R_N\).

Données : \(\mu_c = 0.20\), \(R_N \approx 16.991 \text{ N}\).

D'après la projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe \(Ox'\) (parallèle au plan, orienté vers le bas) : \(P \sin(\alpha) - f_c = ma\). On peut donc exprimer l'accélération \(a\).

Expression littérale de \(a\) :

Calcul numérique :

Composante du poids parallèle au plan : \(P_x = P \sin(\alpha) = 19.62 \text{ N} \times 0.50 = 9.81 \text{ N}\).

Force de frottement : \(f_c \approx 3.3982 \text{ N}\).

Vérification avec la formule littérale :

Le mouvement est rectiligne uniformément varié, car l'accélération \(a\) est constante. L'objet part du repos (\(v_A = 0\)) et parcourt une distance \(d = AB\). On peut utiliser la relation indépendante du temps : \(v_B^2 - v_A^2 = 2ad\).

Données : \(v_A = 0\), \(a \approx 3.2059 \text{ m/s}^2\), \(d = 5.0 \text{ m}\).

Pour un mouvement rectiligne uniformément varié partant du repos, la distance \(d\) parcourue en un temps \(t\) est \(d = \frac{1}{2}at^2\). Alternativement, on peut utiliser \(v_B = v_A + at_{AB}\), soit \(v_B = at_{AB}\) puisque \(v_A=0\).

Utilisation de \(v_B = at_{AB}\) :

Données : \(v_B \approx 5.662 \text{ m/s}\), \(a \approx 3.2059 \text{ m/s}^2\).

Vérification avec \(d = \frac{1}{2}at_{AB}^2\) :

Réponses Correctes :

Question 1 : c) \(mg \sin(\alpha)\).

Question 2 : b) Proportionnelle à la réaction normale et s'oppose au mouvement.

Question 3 : b) Diminue (car \(R_N = mg \cos(\alpha)\) diminue, donc \(f_c = \mu_c R_N\) diminue).

Question 4 : c) Est inférieure à \(g \sin(\alpha)\) si le frottement n'est pas nul.

Plan Incliné :

Surface plane formant un angle avec l'horizontale, sur laquelle un objet peut se déplacer.

Poids (\(\vec{P}\)) :

Force de gravitation exercée par la Terre sur un objet, dirigée verticalement vers le bas. \(P = mg\).

Réaction Normale (\(\vec{R}_N\) ou \(\vec{N}\)) :

Composante de la force de contact exercée par un support sur un objet, perpendiculaire à la surface de contact.

Force de Frottement Cinétique (\(\vec{f}_c\)) :

Force qui s'oppose au mouvement relatif de deux surfaces en contact glissant l'une sur l'autre. Sa norme est \(f_c = \mu_c R_N\).

Coefficient de Frottement Cinétique (\(\mu_c\)) :

Constante sans dimension qui caractérise le frottement entre deux surfaces en mouvement relatif.

Deuxième Loi de Newton :

Affirme que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un objet est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération (\(\Sigma \vec{F}_{ext} = m\vec{a}\)).

Accélération (\(\vec{a}\)) :

Taux de variation du vecteur vitesse d'un objet par rapport au temps. Unité : m/s\(^2\).

Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :

Mouvement d'un objet dont la trajectoire est une droite et dont l'accélération est constante.

Équations Horaires :

Fonctions mathématiques qui décrivent la position, la vitesse et l'accélération d'un objet en fonction du temps.