Calcul du pH et du pKa d’une Solution

Calculer le pH de solutions d'acides faibles et de solutions tampons, et déterminer le pKa à partir de données expérimentales.

Le pH est une mesure de l'acidité ou de la basicité d'une solution aqueuse. Il est défini comme le cologarithme décimal de l'activité des ions hydronium H$_3$O$^+$ (ou H$^+$ par simplification) :

\text{pH} = -\log_{10}[H_3O^+]

Pour un acide faible HA, sa dissociation dans l'eau est un équilibre :

\text{HA(aq)} + \text{H}_2\text{O(l)} \rightleftharpoons \text{A}^-\text{(aq)} + \text{H}_3\text{O}^+\text{(aq)}

La constante d'acidité $K_a$ de cet équilibre est :

K_a = \frac{[\text{A}^-][\text{H}_3\text{O}^+]}{[\text{HA}]}

Le pKa est défini comme :

\text{p}K_a = -\log_{10}(K_a)

L'équation de Henderson-Hasselbalch relie le pH, le pKa et les concentrations de l'acide faible et de sa base conjuguée :

\text{pH} = \text{p}K_a + \log_{10}\left(\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\right)

Cette équation est particulièrement utile pour les solutions tampons, qui résistent aux variations de pH lors de l'ajout de petites quantités d'acide ou de base.

Données du Problème

On s'intéresse à l'acide acétique (CH$_3$COOH), un acide faible.

Masse molaire de l'acide acétique (CH$_3$COOH) : $M = 60.05 \text{ g/mol}$
pKa de l'acide acétique à 25°C : $pK_a = 4.76$

Questions

Calculer la constante d'acidité $K_a$ de l'acide acétique.
On prépare une solution en dissolvant $1.20 \text{ g}$ d'acide acétique pur dans de l'eau pour obtenir $200.0 \text{ mL}$ de solution. Calculer la concentration molaire initiale $C_0$ de l'acide acétique dans cette solution.
En utilisant une approximation (ou une résolution d'équation du second degré), calculer le pH de cette solution d'acide acétique à 25°C.
À $100.0 \text{ mL}$ de la solution précédente, on ajoute $50.0 \text{ mL}$ d'une solution d'hydroxyde de sodium (NaOH) de concentration $C_B = 0.050 \text{ mol/L}$.
1. Écrire l'équation de la réaction entre l'acide acétique et l'hydroxyde de sodium.
2. Calculer les quantités de matière initiales d'acide acétique et d'ions hydroxyde.
3. Dresser un tableau d'avancement et déterminer les quantités de matière des espèces présentes à l'état final.
4. Calculer le pH de la solution obtenue. S'agit-il d'une solution tampon ? Justifier.
Quel volume de la solution de NaOH à $0.050 \text{ mol/L}$ faudrait-il ajouter aux $100.0 \text{ mL}$ de la solution initiale d'acide acétique pour obtenir une solution de pH égal au pKa de l'acide acétique ?

Correction : Calcul du pH et du pKa d’une Solution

1. Calcul de la Constante d'Acidité ($K_a$)

On utilise la relation $\text{p}K_a = -\log_{10}(K_a)$, donc $K_a = 10^{-\text{p}K_a}$.

Données :
$\text{p}K_a = 4.76$

\begin{aligned} K_a &= 10^{-\text{p}K_a} \\ &= 10^{-4.76} \\ &\approx 1.7378 \times 10^{-5} \end{aligned}

La constante d'acidité de l'acide acétique est $K_a \approx 1.74 \times 10^{-5}$.

2. Calcul de la Concentration Molaire Initiale ($C_0$) de l'Acide Acétique

D'abord, calculer la quantité de matière $n$ d'acide acétique ($n = m/M$), puis la concentration $C_0 = n/V$.

Données :
$m_{\text{CH}_3\text{COOH}} = 1.20 \text{ g}$
$M(\text{CH}_3\text{COOH}) = 60.05 \text{ g/mol}$
Volume de la solution $V = 200.0 \text{ mL} = 0.2000 \text{ L}$

Quantité de matière d'acide acétique :

\begin{aligned} n_{\text{CH}_3\text{COOH}} &= \frac{1.20 \text{ g}}{60.05 \text{ g/mol}} \\ &\approx 0.01998 \text{ mol} \end{aligned}

Concentration molaire initiale :

\begin{aligned} C_0 &= \frac{n_{\text{CH}_3\text{COOH}}}{V} \\ &= \frac{0.01998 \text{ mol}}{0.2000 \text{ L}} \\ &\approx 0.0999 \text{ mol/L} \approx 0.100 \text{ mol/L} \end{aligned}

La concentration molaire initiale de l'acide acétique est $C_0 \approx 0.100 \text{ mol/L}$.

Quiz Intermédiaire : Électrons de Valence

3. Calcul du pH de la Solution d'Acide Acétique Initiale

Pour un acide faible HA, on a l'équilibre : HA + H$_2$O $\rightleftharpoons$ A$^-$ + H$_3$O$^+$.
$K_a = \frac{[\text{A}^-][\text{H}_3\text{O}^+]}{[\text{HA}]}$. Si on note $x = [\text{H}_3\text{O}^+]$, alors $[\text{A}^-]=x$ et $[\text{HA}] = C_0 - x$.
Donc $K_a = \frac{x^2}{C_0 - x}$. Si l'acide est faiblement dissocié ($x \ll C_0$), on peut approximer $C_0 - x \approx C_0$, d'où $K_a \approx x^2/C_0$ et $x = \sqrt{K_a C_0}$.
Vérifions l'approximation : si pH < pKa - 1, l'approximation est valable. Sinon, il faut résoudre l'équation du second degré : $x^2 + K_a x - K_a C_0 = 0$.

Données :
$C_0 = 0.100 \text{ mol/L}$
$K_a \approx 1.74 \times 10^{-5}$

Avec l'approximation :

\begin{aligned} [\text{H}_3\text{O}^+] &= \sqrt{K_a C_0} \\ &= \sqrt{(1.74 \times 10^{-5}) \times 0.100} \\ &= \sqrt{1.74 \times 10^{-6}} \\ &\approx 1.319 \times 10^{-3} \text{ mol/L} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{pH} &= -\log_{10}(1.319 \times 10^{-3}) \\ &\approx -(-2.879) \\ &\approx 2.88 \end{aligned}

Vérification de l'approximation : $x/C_0 = (1.319 \times 10^{-3}) / 0.100 = 0.01319$, soit 1.3%. L'approximation est acceptable (généralement si < 5-10%).

Le pH de la solution initiale d'acide acétique est d'environ $2.88$.

Quiz Intermédiaire : pH et Acide Faible

4. Ajout de NaOH à la Solution d'Acide Acétique

a. Équation de la réaction : L'acide acétique (acide faible) réagit avec l'hydroxyde de sodium (base forte).

\text{CH}_3\text{COOH(aq)} + \text{OH}^-\text{(aq)} \rightarrow \text{CH}_3\text{COO}^-\text{(aq)} + \text{H}_2\text{O(l)}

b. Quantités de matière initiales :

Données :
Volume d'acide acétique $V_A = 100.0 \text{ mL} = 0.1000 \text{ L}$, $C_0 = 0.100 \text{ mol/L}$.
Volume de NaOH $V_B = 50.0 \text{ mL} = 0.0500 \text{ L}$, $C_B = 0.050 \text{ mol/L}$.

\begin{aligned} n_{\text{CH}_3\text{COOH, initial}} &= C_0 \times V_A \\ &= 0.100 \text{ mol/L} \times 0.1000 \text{ L} \\ &= 0.0100 \text{ mol} \end{aligned}

\begin{aligned} n_{\text{OH}^-, \text{initial}} &= C_B \times V_B \\ &= 0.050 \text{ mol/L} \times 0.0500 \text{ L} \\ &= 0.0025 \text{ mol} \end{aligned}

c. Tableau d'avancement (réaction totale car base forte) :

Espèce	CH$_3$COOH	OH$^-$	CH$_3$COO$^-$	H$_2$O
État Initial (mol)	0.0100	0.0025	0	excès
Variation (mol)	-0.0025	-0.0025	+0.0025	+0.0025
État Final (mol)	0.0075	0 (limitant)	0.0025	excès

d. Calcul du pH de la solution obtenue :
La solution contient un acide faible (CH$_3$COOH) et sa base conjuguée (CH$_3$COO$^-$). C'est une solution tampon. On utilise l'équation de Henderson-Hasselbalch.
Volume total $V_T = V_A + V_B = 0.1000 \text{ L} + 0.0500 \text{ L} = 0.1500 \text{ L}$.
Concentrations finales :

[\text{CH}_3\text{COOH}] = \frac{0.0075 \text{ mol}}{0.1500 \text{ L}} = 0.050 \text{ mol/L}

[\text{CH}_3\text{COO}^-] = \frac{0.0025 \text{ mol}}{0.1500 \text{ L}} \approx 0.01667 \text{ mol/L}

\begin{aligned} \text{pH} &= \text{p}K_a + \log_{10}\left(\frac{[\text{CH}_3\text{COO}^-]}{[\text{CH}_3\text{COOH}]}\right) \\ &= 4.76 + \log_{10}\left(\frac{0.01667}{0.050}\right) \\ &= 4.76 + \log_{10}(0.3334) \\ &\approx 4.76 + (-0.477) \\ &\approx 4.28 \end{aligned}

Oui, c'est une solution tampon car elle contient des quantités significatives d'un acide faible et de sa base conjuguée.

a. CH$_3$COOH(aq) + OH$^-$(aq) $\rightarrow$ CH$_3$COO$^-$(aq) + H$_2$O(l).
b. $n_{\text{CH}_3\text{COOH, initial}} = 0.0100 \text{ mol}$ ; $n_{\text{OH}^-, \text{initial}} = 0.0025 \text{ mol}$.
c. État final : $n_{\text{CH}_3\text{COOH}} = 0.0075 \text{ mol}$ ; $n_{\text{CH}_3\text{COO}^-} = 0.0025 \text{ mol}$.
d. Le pH de la solution est d'environ $4.28$. C'est une solution tampon.

Quiz Intermédiaire : Solution Tampon

5. Volume de NaOH pour pH = pKa

Lorsque pH = pKa, d'après l'équation de Henderson-Hasselbalch, $\log_{10}\left(\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\right) = 0$, ce qui signifie $[\text{A}^-] = [\text{HA}]$.
Cela se produit lorsque la moitié de l'acide initial a été neutralisé par la base forte, c'est-à-dire à la demi-équivalence.
Il faut ajouter une quantité de NaOH égale à la moitié de la quantité initiale d'acide acétique. $n_{\text{NaOH ajouté}} = n_{\text{CH}_3\text{COOH, initial}} / 2$.

Données :
$n_{\text{CH}_3\text{COOH, initial}} = 0.0100 \text{ mol}$ (pour $100 \text{ mL}$ de solution initiale)
$C_B = 0.050 \text{ mol/L}$

Quantité de NaOH à ajouter :

n_{\text{NaOH}} = \frac{0.0100 \text{ mol}}{2} = 0.0050 \text{ mol}

Volume de NaOH correspondant :

\begin{aligned} V_{\text{NaOH}} &= \frac{n_{\text{NaOH}}}{C_B} \\ &= \frac{0.0050 \text{ mol}}{0.050 \text{ mol/L}} \\ &= 0.100 \text{ L} = 100 \text{ mL} \end{aligned}

Il faudrait ajouter $100 \text{ mL}$ de la solution de NaOH à $0.050 \text{ mol/L}$ pour obtenir pH = pKa.

Glossaire des Termes Clés

pH :

Mesure de l'acidité ou de la basicité d'une solution aqueuse, basée sur la concentration en ions H$_3$O$^+$.

pKa :

Mesure de la force d'un acide faible. C'est le cologarithme décimal de la constante d'acidité $K_a$.

Constante d'Acidité ($K_a$) :

Constante d'équilibre de la réaction de dissociation d'un acide faible dans l'eau.

Acide Faible :

Acide qui ne se dissocie pas complètement dans l'eau.

Base Conjuguée :

Espèce formée lorsqu'un acide perd un proton (H$^+$).

Solution Tampon :

Solution qui résiste aux variations de pH lors de l'ajout de petites quantités d'acide ou de base. Elle est typiquement composée d'un acide faible et de sa base conjuguée (ou d'une base faible et de son acide conjugué) en concentrations appréciables.

Équation de Henderson-Hasselbalch :

Équation qui relie le pH, le pKa et le rapport des concentrations de la base conjuguée à l'acide faible dans une solution tampon.

Titrage :

Technique de laboratoire utilisée pour déterminer la concentration d'une solution inconnue (l'analyte) en la faisant réagir avec une solution de concentration connue (le titrant).

Point de Demi-Équivalence :

Point d'un titrage où la moitié de l'analyte a réagi avec le titrant. Pour le titrage d'un acide faible par une base forte, au point de demi-équivalence, pH = pKa.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la température affecte-t-elle le pKa d'un acide faible et, par conséquent, le pH d'une solution tampon ?

2. Expliquez le concept de "pouvoir tampon" d'une solution. De quels facteurs dépend-il ?

3. Comment choisirait-on un couple acide/base conjuguée approprié pour préparer une solution tampon à un pH spécifique ?

4. Décrivez la forme générale d'une courbe de titrage d'un acide faible par une base forte. Identifiez les régions clés (pH initial, zone tampon, point d'équivalence, après l'équivalence).

5. Les polyacides (comme l'acide phosphorique H$_3$PO$_4$) ont plusieurs pKa. Comment cela se manifeste-t-il sur leur courbe de titrage et dans la formation de solutions tampons ?

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