Calcul du Rendement Énergétique

Contexte : La conversion d'énergie et le rendementRapport entre l'énergie utile produite par un système et l'énergie totale qu'il a consommée. C'est une mesure de son efficacité..

Dans tous les systèmes physiques, l'énergie se transforme d'une forme à une autre. Par exemple, une bouilloire électrique convertit l'énergie électrique en énergie thermique pour chauffer de l'eau. Cependant, cette conversion n'est jamais parfaite : une partie de l'énergie est toujours "perdue", souvent sous forme de chaleur dissipée dans l'environnement. Le rendement énergétique est une grandeur qui nous permet de quantifier l'efficacité de cette conversion.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à distinguer l'énergie consommée (celle que vous payez sur votre facture d'électricité) de l'énergie utile (celle qui accomplit la tâche souhaitée). Vous saurez calculer un rendement et comprendre la notion de pertes énergétiques.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer un rendement énergétique.
Appliquer la formule de l'énergie électrique : \(E = P \cdot \Delta t\).
Appliquer la formule de l'énergie thermique : \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\).
Quantifier les pertes d'énergie dans un système simple.

Données de l'étude

On utilise une bouilloire électrique pour chauffer de l'eau. On mesure les paramètres de l'expérience, qui sont résumés dans le tableau ci-dessous.

Schéma de l'expérience

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(P\)	Puissance électrique de la bouilloire	2200	W
\(\Delta t\)	Durée de chauffage	120	s
\(m\)	Masse d'eau	0,8	kg
\(T_{\text{initiale}}\)	Température initiale de l'eau	20	°C
\(T_{\text{finale}}\)	Température finale de l'eau	95	°C
\(c_{\text{eau}}\)	Capacité thermique massique de l'eau	4185	J·kg⁻¹·°C⁻¹

Questions à traiter

Calculer l'énergie électrique \(E_{consommée}\) par la bouilloire pendant le chauffage.
Calculer l'énergie thermique \(E_{utile}\) absorbée par l'eau.
En déduire le rendement énergétique \(\eta\) de la bouilloire.
Calculer la quantité d'énergie \(E_{perdue}\) dissipée dans l'environnement.
Proposez une modification simple de la bouilloire qui pourrait améliorer son rendement. Justifiez votre réponse.

Les bases sur les Transferts d'Énergie

L'énergie est une grandeur fondamentale en physique qui se conserve. Elle peut changer de forme (électrique, thermique, mécanique, etc.), mais la quantité totale reste la même. Le rendement mesure l'efficacité de ces transformations.

1. Énergie et Puissance
La puissance \(P\) (en Watts) est le débit de l'énergie. L'énergie \(E\) (en Joules) consommée ou produite par un appareil de puissance \(P\) pendant une durée \(\Delta t\) (en secondes) est :

E = P \cdot \Delta t

2. Énergie Thermique (Chaleur)
L'énergie thermique \(Q\) (en Joules) nécessaire pour élever la température d'une masse \(m\) (en kg) d'une substance de capacité thermique massique \(c\) (en J·kg⁻¹·°C⁻¹) d'une variation de température \(\Delta T\) (en °C) est :

Q = m \cdot c \cdot \Delta T \quad \text{avec} \quad \Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}

3. Rendement Énergétique
Le rendement \(\eta\) (un nombre sans unité, souvent exprimé en pourcentage) est le rapport entre l'énergie utile (ce que l'on veut obtenir) et l'énergie consommée (ce que l'on doit fournir).

\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{consommée}}}

Correction : Calcul du Rendement Énergétique d'une Bouilloire

Question 1 : Calcul de l'énergie électrique consommée

Principe (le concept physique)

On cherche à calculer l'énergie totale fournie par le réseau électrique à la bouilloire. Cette énergie dépend de la puissance de l'appareil et de sa durée d'utilisation. C'est l'énergie "entrante" dans notre système.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie électrique est le produit de la puissance et du temps. La puissance, en Watts (W), correspond à une quantité d'énergie en Joules (J) transférée chaque seconde (1 W = 1 J/s). En multipliant cette puissance par le nombre de secondes, on obtient bien l'énergie totale transférée en Joules.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la puissance comme au débit d'un robinet et à l'énergie comme à la quantité d'eau dans un seau. Pour savoir combien d'eau est dans le seau, il faut multiplier le débit par le temps pendant lequel le robinet a coulé. C'est la même logique pour l'énergie.

Normes (la référence réglementaire)

Les unités utilisées (Joule, Watt, seconde) sont celles du Système International (SI), la norme universelle en sciences.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'énergie électrique

E_{\text{consommée}} = P \cdot \Delta t

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la puissance de la bouilloire est constante pendant toute la durée de la chauffe.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On extrait les données pertinentes de l'énoncé.

\(P = 2200 \text{ W}\)
\(\Delta t = 120 \text{ s}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International avant de calculer : la puissance en Watts (W) et le temps en secondes (s). Si le temps était donné en minutes, il faudrait impérativement le convertir.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma représente le flux d'énergie électrique entrant dans la bouilloire.

Flux d'Énergie Consommée

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'énergie consommée

\begin{aligned} E_{\text{consommée}} &= 2200 \text{ W} \cdot 120 \text{ s} \\ &= 264000 \text{ J} \\ &= 264 \text{ kJ} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma est le même, mais on peut maintenant quantifier le flux d'énergie.

Flux d'Énergie Consommée (Quantifié)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

264 000 Joules est la quantité totale d'énergie que la résistance de la bouilloire a convertie en chaleur. Une partie de cette chaleur a chauffé l'eau, et l'autre s'est dissipée dans l'air, le plastique de la bouilloire, etc.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir le temps en secondes. Si l'énoncé avait donné "2 minutes", il fallait absolument utiliser 120 secondes dans le calcul pour obtenir un résultat en Joules.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : L'énergie est le produit de la puissance par le temps.
Formule Essentielle : \(E = P \cdot \Delta t\).
Unités SI : Joules (J), Watts (W), secondes (s).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Sur votre facture d'électricité, l'énergie n'est pas facturée en Joules mais en kilowattheures (kWh). \(1 \text{ kWh} = 1000 \text{ W} \cdot 3600 \text{ s} = 3 600 000 \text{ J}\). C'est une unité plus pratique pour les grandes consommations.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'énergie électrique consommée par la bouilloire est de 264 000 J (ou 264 kJ).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Calculez l'énergie (en Joules) consommée par une ampoule de 60 W allumée pendant 30 minutes.

Question 2 : Calcul de l'énergie thermique absorbée par l'eau

Principe (le concept physique)

On calcule ici l'énergie qui a réellement servi à notre objectif : chauffer l'eau. C'est l'énergie "utile". Elle dépend de la quantité d'eau, de sa capacité à stocker la chaleur (\(c_{eau}\)), et de l'augmentation de température souhaitée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La capacité thermique massique \(c\) est une propriété de la matière. Celle de l'eau (\(4185 \text{ J·kg⁻¹·°C⁻¹}\)) est très élevée, ce qui signifie qu'il faut beaucoup d'énergie (4185 J) pour chauffer 1 kg d'eau de seulement 1°C. C'est pour cela que l'eau est un excellent "fluide caloporteur" (transporteur de chaleur).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) est l'une des plus importantes en calorimétrie. Assurez-vous de bien comprendre chaque terme : plus vous mettez d'eau (\(m\)) ou plus vous voulez la chauffer (\(\Delta T\)), plus il faudra d'énergie (\(Q\)).

Normes (la référence réglementaire)

Les unités (Joule, kg, °C) sont cohérentes avec la constante \(c_{eau}\) fournie, qui est une valeur de référence standard en physique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'énergie thermique

E_{\text{utile}} = Q = m \cdot c_{eau} \cdot (T_{finale} - T_{initiale})

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la capacité thermique de l'eau est constante sur la plage de température considérée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On extrait les données nécessaires de l'énoncé.

\(m = 0,8 \text{ kg}\)
\(c_{eau} = 4185 \text{ J·kg⁻¹·°C⁻¹}\)
\(T_{\text{initiale}} = 20 \text{ °C}\)
\(T_{\text{finale}} = 95 \text{ °C}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la variation de température \(\Delta T\). Cela simplifie l'application numérique. Ici, \(\Delta T = 95 - 20 = 75 \text{ °C}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente l'énergie absorbée par l'eau, ce qui provoque son échauffement.

Absorption d'Énergie Utile

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la variation de température

\Delta T = 95 \text{ °C} - 20 \text{ °C} = 75 \text{ °C}

Calcul de l'énergie utile

\begin{aligned} E_{\text{utile}} &= 0,8 \text{ kg} \cdot 4185 \text{ J·kg⁻¹·°C⁻¹} \cdot 75 \text{ °C} \\ &= 251100 \text{ J} \\ &= 251,1 \text{ kJ} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant quantifier cette énergie utile.

Absorption d'Énergie Utile (Quantifiée)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il a fallu 251 100 Joules pour chauffer l'eau. En comparant cette valeur à l'énergie consommée (264 000 J), on voit déjà que l'énergie utile est légèrement inférieure, ce qui est attendu. La différence correspond aux pertes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez la cohérence des unités ! La masse doit être en kg (et non en grammes) pour être compatible avec l'unité de \(c_{eau}\). De même, la température doit être en °C (ou en Kelvin, car une variation est identique dans les deux échelles).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : L'énergie pour chauffer une masse dépend de la masse, de la variation de température et de la capacité thermique.
Formule Essentielle : \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "calorie" est une ancienne unité d'énergie thermique. Une calorie (cal) est la quantité d'énergie nécessaire pour élever la température de 1 gramme d'eau de 1°C. On a donc \(1 \text{ cal} \approx 4,185 \text{ J}\).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'énergie thermique absorbée par l'eau est de 251 100 J (ou 251,1 kJ).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Calculez l'énergie (en Joules) nécessaire pour chauffer 0,5 kg d'eau de 15°C à 55°C.

Question 3 : Calcul du rendement énergétique \(\eta\)

Principe (le concept physique)

Le rendement est le rapport qui compare ce qu'on a obtenu (l'énergie utile pour chauffer l'eau) à ce qu'on a dépensé (l'énergie électrique consommée). C'est la mesure de l'efficacité de la bouilloire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un rendement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (soit 0% et 100%). Un rendement de 1 (100%) correspondrait à un système parfait, sans aucune perte, ce qui est physiquement impossible (deuxième principe de la thermodynamique). Plus le rendement est proche de 1, plus le système est efficace.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Assurez-vous toujours que l'énergie utile est bien au numérateur et l'énergie consommée au dénominateur. Le rendement ne peut pas être supérieur à 100%. Si vous obtenez un résultat plus grand que 1, vous avez probablement inversé les deux valeurs.

Normes (la référence réglementaire)

Non applicable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du rendement

\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{consommée}}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Aucune nouvelle hypothèse n'est requise.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les résultats des deux questions précédentes.

\(E_{\text{consommée}} = 264000 \text{ J}\)
\(E_{\text{utile}} = 251100 \text{ J}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour calculer un rapport, les unités doivent être les mêmes (ici, les deux sont en Joules) pour qu'elles s'annulent. Le rendement est un nombre sans dimension. Pour l'exprimer en pourcentage, il suffit de multiplier le résultat par 100.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre le concept de rendement : le rapport entre le flux d'énergie sortant utile et le flux d'énergie entrant.

Bilan Énergétique

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du rendement

\begin{aligned} \eta &= \frac{251100 \text{ J}}{264000 \text{ J}} \\ &= 0,9511... \\ &\approx 0,95 \end{aligned}

Pour l'exprimer en pourcentage : \(0,95 \times 100 = 95\%\).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma peut être complété avec la valeur du rendement.

Bilan Énergétique (Quantifié)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un rendement de 95% est excellent pour un appareil électroménager. Cela signifie que 95% de l'électricité consommée a été efficacement transformée en chaleur pour l'eau. Seuls 5% ont été perdus.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de multiplier par 100 si le résultat est demandé en pourcentage. Une autre erreur est de mal identifier quelle est l'énergie utile et quelle est l'énergie consommée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Le rendement mesure l'efficacité d'une conversion d'énergie.
Formule Essentielle : \(\eta = E_{\text{utile}} / E_{\text{consommée}}\).
Interprétation : Un nombre entre 0 et 1 (ou 0% et 100%).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les moteurs de voitures ont des rendements beaucoup plus faibles, souvent autour de 25-35%. La majorité de l'énergie contenue dans l'essence est perdue sous forme de chaleur dans le moteur et les gaz d'échappement.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le rendement de la bouilloire est d'environ 0,95, soit 95%.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si un appareil consomme 500 kJ et que son rendement est de 80%, quelle est l'énergie utile (en kJ) qu'il a fournie ?

Question 4 : Calcul de l'énergie perdue

Principe (le concept physique)

Le principe de conservation de l'énergie stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite. L'énergie qui n'a pas été "utile" (absorbée par l'eau) n'a pas disparu : elle a été transférée à l'environnement. C'est l'énergie perdue.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour tout système, le bilan énergétique s'écrit : \(E_{\text{consommée}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}\). C'est une conséquence directe du premier principe de la thermodynamique. Connaître deux de ces termes permet de toujours trouver le troisième.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Les "pertes" ne sont pas une notion négative en soi, elles sont une fatalité physique. Le rôle de l'ingénieur est de concevoir des systèmes qui minimisent ces pertes pour améliorer le rendement et économiser les ressources.

Normes (la référence réglementaire)

Non applicable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'énergie perdue

E_{\text{perdue}} = E_{\text{consommée}} - E_{\text{utile}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que toute l'énergie non absorbée par l'eau est considérée comme une perte vers l'extérieur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise à nouveau les résultats des premières questions.

\(E_{\text{consommée}} = 264000 \text{ J}\)
\(E_{\text{utile}} = 251100 \text{ J}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

On peut aussi calculer les pertes à partir du rendement. Si le rendement est de 95%, cela signifie que \(100\% - 95\% = 5\%\) de l'énergie a été perdue. On peut donc calculer : \(E_{\text{perdue}} = (1 - \eta) \cdot E_{\text{consommée}}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma du bilan énergétique montre que l'énergie consommée se divise en deux flux sortants : l'utile et le perdu.

Bilan Énergétique Complet

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'énergie perdue

\begin{aligned} E_{\text{perdue}} &= 264000 \text{ J} - 251100 \text{ J} \\ &= 12900 \text{ J} \\ &= 12,9 \text{ kJ} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant compléter le bilan avec toutes les valeurs.

Bilan Énergétique Complet (Quantifié)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

12 900 Joules ont été "gaspillés" pour chauffer l'air ambiant, la structure de la bouilloire, et pour produire le bruit de l'ébullition. Cette quantité représente bien les 5% de pertes calculées via le rendement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur serait de soustraire dans le mauvais sens. L'énergie perdue est toujours positive, elle ne peut pas être négative. C'est toujours la plus grande énergie (consommée) moins la plus petite (utile).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : La conservation de l'énergie impose que \(E_{consommée} = E_{utile} + E_{perdue}\).
Application : Permet de quantifier les pertes d'un système.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans l'industrie, la récupération de la chaleur "perdue" (ou "chaleur fatale") est un enjeu majeur. Par exemple, la chaleur des fumées d'une usine peut être utilisée pour chauffer des bureaux ou de l'eau, améliorant ainsi le rendement énergétique global du site.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'énergie perdue par la bouilloire est de 12 900 J (ou 12,9 kJ).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Un moteur consomme 800 kJ d'énergie chimique (essence) et produit 200 kJ d'énergie mécanique (mouvement). Quelle est l'énergie perdue sous forme de chaleur (en kJ) ?

Question 5 : Question de réflexion

Principe (le concept physique)

Cette question fait appel à la compréhension des mécanismes de pertes d'énergie. Pour améliorer le rendement, il faut identifier la principale source de perte et proposer une solution pour la réduire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les transferts de chaleur se font par trois modes : conduction (contact direct), convection (mouvement de fluide) et rayonnement (ondes électromagnétiques). Les pertes de chaleur d'une bouilloire se font principalement par convection (l'air chaud qui monte autour) et rayonnement (la chaleur que l'on sent en approchant la main).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

En physique appliquée, il n'y a pas toujours une seule "bonne" réponse. L'important est de proposer une solution logique et de la justifier correctement en s'appuyant sur les principes physiques. Pensez à des objets du quotidien conçus pour garder la chaleur.

Normes (la référence réglementaire)

Non applicable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le raisonnement est qualitatif et ne nécessite pas de formule, si ce n'est de comprendre que pour augmenter \(\eta\), il faut diminuer \(E_{perdue}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la principale source de perte est le transfert de chaleur de la bouilloire vers l'air ambiant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pensez à un thermos. Pourquoi garde-t-il le café chaud ? Les solutions techniques qu'il emploie sont directement applicables à notre problème de bouilloire.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre l'idée d'isolation pour réduire les pertes de chaleur.

Concept d'Isolation Thermique

Calcul(s) (l'application numérique)

Pas de calcul pour cette question de raisonnement.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre le résultat de l'isolation : les flèches de pertes de chaleur sont visiblement réduites.

Effet de l'Isolation

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une solution simple pour améliorer le rendement serait d'ajouter une double paroi isolante à la bouilloire, comme dans un thermos. Cette couche d'isolant (souvent du vide ou un matériau à faible conductivité thermique) réduirait les transferts de chaleur vers l'extérieur. Moins de chaleur perdue signifie qu'une plus grande part de l'énergie électrique consommée sert effectivement à chauffer l'eau, ce qui augmente l'énergie utile et donc le rendement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une mauvaise réponse serait de proposer "augmenter la puissance". Augmenter la puissance chaufferait l'eau plus vite, mais ne changerait pas fondamentalement la proportion d'énergie perdue. Le rendement resterait donc à peu près le même.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Pour améliorer un rendement, il faut réduire les pertes.
Application : L'isolation thermique est la principale méthode pour réduire les pertes de chaleur.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les bouilloires modernes les plus efficaces utilisent justement ce principe de double paroi. Certaines sont même dotées d'une couche d'argenture (comme un miroir) entre les parois pour réduire aussi les pertes par rayonnement.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Une modification efficace serait d'ajouter une double paroi isolante pour réduire les pertes de chaleur vers l'environnement.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Pour une ampoule, la majorité de l'énergie perdue l'est sous forme de chaleur. Quelle technologie d'ampoule a le meilleur rendement lumineux ?

Outil Interactif : Simulateur de Rendement

Utilisez le curseur pour faire varier la masse d'eau dans la bouilloire. Observez comment l'énergie utile et le rendement sont affectés pour un temps de chauffe fixe de 120 secondes.

Paramètres d'Entrée

Masse d'eau (\(m\)) 0.8 kg

Puissance (\(P\)) 2200 W

Résultats Clés

Énergie Utile (\(E_{utile}\)) - kJ

Rendement (\(\eta\)) - %

Rendement Énergétique (\(\eta\)): Rapport sans dimension entre l'énergie utile produite par un système et l'énergie totale qu'il a consommée pour fonctionner. Il mesure son efficacité.
Énergie Électrique: Énergie transférée par un courant électrique. Calculée par \(E = P \cdot \Delta t\), son unité SI est le Joule (J).
Énergie Thermique (Chaleur): Énergie transférée d'un corps chaud vers un corps froid. L'énergie nécessaire pour changer la température d'un objet est calculée par \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\).
Puissance (P): La vitesse à laquelle l'énergie est transférée ou convertie. Son unité SI est le Watt (W), qui correspond à un Joule par seconde (1 W = 1 J/s).
Capacité Thermique Massique (c): Quantité d'énergie thermique qu'il faut fournir à un kilogramme d'une substance pour élever sa température d'un degré Celsius (ou d'un Kelvin). Unité SI : J·kg⁻¹·K⁻¹ ou J·kg⁻¹·°C⁻¹.