La Montagne Russe Sans Frottement
Contexte : La conservation de l'énergie mécaniquePrincipe fondamental stipulant que l'énergie totale (cinétique + potentielle) d'un système isolé reste constante si seules des forces conservatives agissent..
Cet exercice explore l'un des principes les plus fondamentaux de la physique mécanique à travers un exemple classique et amusant : la montagne russe. Nous allons modéliser le mouvement d'un wagon le long d'un parcours comprenant une descente et un looping. En supposant un système idéal sans frottement, nous utiliserons la conservation de l'énergie mécanique pour déterminer les vitesses et les forces en jeu à différents points du circuit. C'est une application directe de la conversion entre l'énergie potentielleÉnergie stockée par un objet en raison de sa position dans un champ de force, typiquement gravitationnel. Formule : \(E_p = mgh\). de pesanteur et l'énergie cinétiqueÉnergie possédée par un objet en raison de son mouvement. Formule : \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en étapes simples en appliquant le principe de conservation de l'énergie. Vous apprendrez également à analyser les forces dans un mouvement circulaire vertical, notamment la condition pour ne pas "décoller" au sommet d'un looping.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique dans un système sans frottement.
- Calculer l'énergie potentielle et l'énergie cinétique d'un objet à différents points de sa trajectoire.
- Analyser les forces (poids, force normale) s'appliquant sur un objet en mouvement circulaire vertical.
- Déterminer la condition de vitesse minimale pour maintenir le contact dans un looping.
- Calculer la hauteur de départ minimale requise pour compléter une trajectoire avec looping.
Données de l'étude
Schéma du Parcours de la Montagne Russe
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du wagon | \(m\) | 500 | kg |
| Hauteur de départ | \(h\) | 40 | m |
| Rayon du looping | \(R\) | 10 | m |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Déterminer l'expression littérale de la vitesse \(v_B\) du wagon au point B (le plus bas du parcours), puis calculer sa valeur numérique.
- Déterminer l'expression littérale de la vitesse \(v_C\) du wagon au point C (le sommet du looping), puis calculer sa valeur numérique.
- Déterminer l'expression littérale de la force normale \(N_C\) exercée par le rail sur le wagon au point C. Le wagon décolle-t-il ? Calculer la valeur de \(N_C\).
- Quelle est la hauteur minimale \(h_{\text{min}}\) de laquelle le wagon doit être lâché pour qu'il puisse tout juste terminer le looping ?
- Si le wagon part de cette hauteur minimale \(h_{\text{min}}\), quelle est sa vitesse au point D (à la même hauteur que le centre du cercle) ?
Les bases sur l'Énergie Mécanique et le Mouvement Circulaire
Pour résoudre cet exercice, deux concepts majeurs de la physique sont nécessaires : la conservation de l'énergie mécanique et la dynamique du mouvement circulaire.
1. Conservation de l'Énergie Mécanique
En l'absence de forces non conservatives (comme les frottements), l'énergie mécanique totale \(E_m\) d'un système se conserve. Elle est la somme de l'énergie cinétique \(E_c\) et de l'énergie potentielle de pesanteur \(E_p\).
\[ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{constante} \]
Cela signifie que l'énergie mécanique en un point 1 est égale à l'énergie mécanique en un point 2 : \(E_{m1} = E_{m2}\).
2. Dynamique du Mouvement Circulaire
Un objet de masse \(m\) en mouvement circulaire uniforme de rayon \(R\) à une vitesse \(v\) subit une accélération centripète dirigée vers le centre du cercle. La somme des forces radiales doit être égale à la force centripète \(F_c\).
\[ \sum F_{\text{radiales}} = F_c = m \frac{v^2}{R} \]
Au sommet du looping (point C), les deux forces agissant sur le wagon sont le poids (\(mg\)) et la réaction normale du support (\(N_C\)), toutes deux dirigées vers le bas (vers le centre du cercle).
Correction : La Montagne Russe Sans Frottement
Question 1 : Vitesse au point B
Principe
Au cours de la descente entre A et B, l'énergie potentielle de pesanteur du wagon, due à son altitude, est convertie en énergie cinétique, l'énergie du mouvement. Comme on néglige les frottements, aucune énergie n'est perdue : l'énergie mécanique totale est conservée.
Mini-Cours
La conservation de l'énergie mécanique est l'un des principes les plus puissants de la physique. Il stipule que pour un système soumis uniquement à des forces conservatives (comme la gravité), la somme \(E_c + E_p\) reste constante. Cela permet de relier la vitesse et la position d'un objet en deux points de sa trajectoire sans avoir à analyser les forces et accélérations à chaque instant.
Remarque Pédagogique
L'approche la plus simple est de toujours commencer par identifier les deux points d'intérêt (ici, A et B) et d'écrire l'égalité des énergies mécaniques entre ces deux points. C'est une méthode systématique qui fonctionne à tous les coups dans ce type de problème.
Normes
Ce problème ne fait pas appel à des normes d'ingénierie spécifiques mais aux principes fondamentaux de la mécanique newtonienne, établis par Isaac Newton au XVIIe siècle.
Formule(s)
Principe de conservation
Expression des énergies
Hypothèses
Le cadre du calcul est défini par les conditions initiales et les simplifications de l'énoncé.
- Le wagon est lâché sans vitesse initiale : \(v_A = 0\).
- Le point B est au niveau du sol, que l'on prend comme référence pour l'énergie potentielle : \(h_B = 0\).
- La hauteur du point A est \(h_A = h\).
- Les forces de frottement sont négligées.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de départ | \(h\) | 40 | m |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Remarquez que la masse \(m\) apparaît dans chaque terme de l'équation de l'énergie. On peut donc la simplifier. Cela signifie que la vitesse finale au point B ne dépend pas de la masse du wagon ! Un wagon lourd ou léger arrivera en bas avec la même vitesse.
Schéma (Avant les calculs)
Conversion d'Énergie de A à B
Calcul(s)
On part de l'équation de conservation de l'énergie.
On remplace les termes par leurs valeurs connues (\(v_A=0\), \(h_A=h\), \(h_B=0\)).
Après simplification, l'énergie potentielle en A est entièrement convertie en énergie cinétique en B.
On isole \(v_B^2\) en simplifiant par \(m\) et en multipliant par 2.
On obtient l'expression finale de \(v_B\) en prenant la racine carrée.
Il ne reste plus qu'à remplacer les variables par leurs valeurs numériques pour trouver la vitesse.
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Vitesse au Point B
Réflexions
Une vitesse de 28.01 m/s correspond à plus de 100 km/h ! Cela illustre la grande quantité d'énergie stockée par un objet en hauteur, qui peut être libérée sous forme de vitesse.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier que la vitesse initiale \(v_A\) est nulle. Si le wagon avait été poussé au départ, son énergie cinétique initiale devrait être incluse dans le calcul, menant à une vitesse finale plus élevée.
Points à retenir
Pour un objet lâché d'une hauteur \(h\) sans vitesse initiale et sans frottement, sa vitesse à la base est toujours \(v = \sqrt{2gh}\). C'est une formule fondamentale dérivée de la conservation de l'énergie.
Le saviez-vous ?
Les expériences de pensée de Galilée sur les chutes de corps le long de plans inclinés ont jeté les bases de la compréhension de la conversion entre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique, bien avant que ces concepts ne soient formellement nommés.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse du wagon au point B s'il était lâché d'une hauteur de 60 m ?
Question 2 : Vitesse au point C (sommet du looping)
Principe
Entre le point A et le point C, le principe de conservation de l'énergie mécanique s'applique toujours. La différence est qu'au point C, le wagon a une altitude non nulle, il possède donc encore de l'énergie potentielle en plus de son énergie cinétique.
Mini-Cours
La clé est de bien définir l'énergie potentielle en chaque point par rapport à une origine commune (le niveau du sol, où \(h=0\)). Au point A, \(E_{p,A}=mgh\). Au point C, le wagon est à une hauteur égale au diamètre du looping, donc \(h_C=2R\), et son énergie potentielle est \(E_{p,C}=mg(2R)\).
Remarque Pédagogique
Il est possible de calculer la vitesse en C à partir du point B, mais il est plus direct de le faire à partir du point A. Cela évite d'utiliser un résultat précédemment calculé (la vitesse \(v_B\)) et limite ainsi les risques de propager une erreur de calcul.
Normes
Nous restons dans le cadre des principes de la mécanique classique.
Formule(s)
Équation de conservation de l'énergie
Hypothèses
On ajoute la coordonnée verticale du point C.
- \(v_A = 0\), \(h_A = h\).
- La hauteur du point C est \(h_C = 2R\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de départ | \(h\) | 40 | m |
| Rayon du looping | \(R\) | 10 | m |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Avant de calculer, vérifiez que \(h > 2R\). Si ce n'est pas le cas, le wagon ne peut physiquement pas atteindre le sommet du looping (sauf s'il avait une vitesse initiale). La quantité sous la racine carrée serait négative, ce qui est un bon indicateur d'une impossibilité physique.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des hauteurs A et C
Calcul(s)
On applique la conservation de l'énergie entre A et C, avec \(v_A=0\).
On regroupe les termes d'énergie potentielle.
On isole \(v_C^2\).
On trouve l'expression littérale de la vitesse \(v_C\).
On procède à l'application numérique.
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique au Point C
Réflexions
La vitesse au point C (19.81 m/s) est bien inférieure à celle au point B (28.01 m/s). C'est logique, car une partie de l'énergie cinétique a été "restituée" pour regagner de l'altitude et donc de l'énergie potentielle.
Points de vigilance
L'erreur classique est de mal évaluer la hauteur du point C. C'est le sommet du looping, son altitude est donc le diamètre, soit \(2R\), et non le rayon \(R\).
Points à retenir
La vitesse en un point quelconque d'altitude \(h_{\text{quelconque}}\) est donnée par la formule générale \(v = \sqrt{2g(h - h_{\text{quelconque}})}\). Cette question est une simple application de ce principe.
Le saviez-vous ?
Pour maximiser les sensations, les designers de montagnes russes créent des sections appelées "airtime hills" (collines à airtime), où la vitesse au sommet est juste suffisante pour que la force normale devienne très faible, donnant aux passagers une sensation d'impesanteur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(h=30\) m et \(R=12\) m, quelle serait la vitesse \(v_C\) ?
Question 3 : Force Normale au point C
Principe
Le wagon suit une trajectoire circulaire. Cela signifie qu'il subit une accélération centripète, dirigée vers le centre du cercle. D'après la deuxième loi de Newton, cette accélération est provoquée par une force résultante, la force centripète, qui est la somme de toutes les forces réelles s'exerçant sur le wagon (ici, le poids et la force normale).
Mini-Cours
La force centripète n'est pas une force supplémentaire à ajouter, mais la force nette qui cause le mouvement circulaire. Pour un objet au sommet d'un looping, le poids \(\vec{P}\) et la force normale \(\vec{N}\) sont toutes deux dirigées vers le bas. Leur somme constitue la force centripète : \(N_C + mg = m v_C^2 / R\).
Remarque Pédagogique
Pour ce type de problème, dessiner un diagramme des forces (ou diagramme de corps libre) est une étape cruciale. Il permet de visualiser correctement toutes les forces en jeu et d'établir la bonne équation de la dynamique.
Normes
L'analyse des forces par un diagramme de corps libre est une méthode standard en dynamique, essentielle en ingénierie mécanique et civile pour l'analyse des structures et des mécanismes.
Formule(s)
Loi de Newton appliquée au mouvement circulaire
Hypothèses
On suppose que le wagon est en contact avec la partie intérieure du rail. La force normale \(\vec{N}\) est donc dirigée vers l'intérieur du cercle.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 500 | kg |
| Vitesse au sommet | \(v_C\) | 19.81 | m/s |
| Rayon | \(R\) | 10 | m |
| Gravité | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
L'expression littérale \(N_C = mg(\frac{2h}{R} - 5)\) est très utile. Elle montre que pour que \(N_C\) soit positive (et donc que le wagon ne décolle pas), il faut que \(\frac{2h}{R} > 5\), soit \(h > 2.5R\). Cela permet de vérifier la validité du looping sans même calculer les vitesses !
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des Forces au Point C
Calcul(s)
On isole la force normale \(N_C\) à partir de la loi de Newton.
On peut aussi trouver son expression en fonction de la hauteur de départ \(h\) en remplaçant \(v_C^2\) par \(2g(h - 2R)\).
On passe à l'application numérique en utilisant la valeur de \(v_C\) déjà calculée.
Schéma (Après les calculs)
Vecteurs Forces et Accélération au Point C
Réflexions
La force normale est positive (\(14715 \text{ N} > 0\)), ce qui confirme que le wagon est bien en appui sur le rail. Cette force est environ 3 fois plus grande que le poids du wagon (\(mg \approx 4905 \text{ N}\)), ce qui signifie que les passagers se sentiraient "plaqués" contre leur siège avec une force de \(1g\) (poids) + \(2g\) (force d'inertie), soit \(3g\) au total.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est de considérer la force centripète comme une force s'ajoutant aux autres. Rappelez-vous : c'est la résultante des forces réelles (poids, normale). Ne l'ajoutez jamais à un diagramme de corps libre.
Points à retenir
La condition pour qu'un objet reste en contact à l'intérieur d'une boucle verticale est que la force normale soit positive ou nulle (\(N \geq 0\)). C'est la clé pour résoudre les problèmes de hauteur minimale.
Le saviez-vous ?
Les pilotes de chasse et les astronautes subissent un entraînement en centrifugeuse pour s'habituer à des forces G bien plus élevées que celles ressenties dans une montagne russe. Les forces exercées sur leur corps sont régies par les mêmes principes de mouvement circulaire.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(h=50\) m et \(R=10\) m, quelle serait la valeur de la force normale \(N_C\) ?
Question 4 : Hauteur Minimale \(h_{\text{min}}\)
Principe
On cherche la condition limite exacte où le wagon réussit "tout juste" le looping. Ce moment critique se produit lorsque le wagon est sur le point de perdre le contact avec le rail au sommet. Physiquement, cela correspond au moment où la force normale exercée par le rail sur le wagon devient nulle (\(N_C=0\)).
Mini-Cours
À la vitesse critique au sommet, le poids du wagon fournit à lui seul la totalité de la force centripète nécessaire pour suivre la trajectoire circulaire. L'équation de la dynamique devient alors simplement \(mg = m v_{C,min}^2 / R\), ce qui donne la vitesse minimale requise au sommet : \(v_{C,min} = \sqrt{gR}\). En utilisant ensuite la conservation de l'énergie, on peut relier cette vitesse minimale à la hauteur de départ minimale.
Remarque Pédagogique
C'est un excellent exemple de problème où l'on doit travailler "à l'envers". On part de la condition physique finale souhaitée (contact maintenu, \(N_C=0\)) pour en déduire la condition initiale nécessaire (hauteur de départ \(h_{\text{min}}\)).
Normes
L'analyse des conditions limites est une pratique standard en ingénierie et en physique pour déterminer les marges de sécurité et les points de défaillance d'un système.
Formule(s)
Condition de contact limite
Hypothèses
La seule hypothèse est la condition physique de la réussite "juste" du looping.
- Condition limite : \(N_C = 0\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon du looping | \(R\) | 10 | m |
Astuces
Mémorisez le résultat \(h_{\text{min}} = 2.5 R\). C'est un raccourci très courant et utile pour les problèmes de looping vertical simple. Il vous fera gagner un temps précieux lors des examens.
Schéma (Avant les calculs)
Forces au Point C à la Vitesse Minimale
Calcul(s)
On utilise l'expression littérale de \(N_C\) et on la pose égale à zéro.
Puisque \(mg \neq 0\), c'est le terme entre parenthèses qui doit être nul.
On réarrange pour isoler le terme contenant la hauteur.
On résout pour \(h_{\text{min}}\).
On remplace R par sa valeur pour trouver le résultat numérique.
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Hauteurs Requises
Réflexions
Ce résultat montre que pour réussir le looping, il ne suffit pas de partir d'une hauteur égale au sommet du looping (20 m). Il faut une hauteur supplémentaire (5 m dans ce cas) pour s'assurer que le wagon ait assez d'énergie cinétique au sommet pour ne pas tomber. C'est l'énergie nécessaire pour fournir la vitesse \(v_{C,min} = \sqrt{gR}\).
Points de vigilance
L'erreur conceptuelle la plus grave serait de penser que la vitesse au sommet peut être nulle (\(v_C=0\)) pour réussir le looping. Si la vitesse était nulle, le wagon tomberait verticalement au lieu de suivre la courbe.
Points à retenir
La hauteur minimale pour un looping est \(h_{\text{min}} = 2.5R\). Cette hauteur se décompose en \(2R\) pour atteindre le sommet (énergie potentielle) et \(0.5R\) supplémentaire qui est converti en énergie cinétique minimale nécessaire au sommet.
Le saviez-vous ?
Les vrais loopings de montagnes russes ne sont pas des cercles parfaits. Ils ont une forme de "goutte d'eau" (une boucle clothoïde), avec un rayon de courbure plus petit au sommet et plus grand sur les côtés. Cela permet de réduire les forces d'accélération sur les passagers et de rendre l'attraction plus sûre et plus confortable.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la hauteur minimale requise pour un looping de 15 mètres de rayon ?
Question 5 : Vitesse au point D avec \(h_{\text{min}}\)
Principe
Une fois de plus, nous utilisons la conservation de l'énergie mécanique. Le wagon part de la hauteur minimale \(h_{\text{min}}\) que nous venons de calculer, et nous voulons trouver sa vitesse à un point intermédiaire D, situé à une hauteur égale au rayon \(R\).
Mini-Cours
Ce problème renforce l'idée que le principe de conservation de l'énergie est un outil puissant qui relie l'état du système en n'importe quel point de sa trajectoire. L'énergie mécanique totale, fixée par la hauteur de départ \(h_{\text{min}}\), reste la même en B, C, D ou tout autre point.
Remarque Pédagogique
Il est plus simple de comparer directement le point de départ A (où \(v_A=0\)) au point D, plutôt que de passer par le point C. Cela évite d'utiliser des calculs intermédiaires et mène directement à la solution.
Normes
Application directe des principes de la physique.
Formule(s)
Équation de conservation de l'énergie
Hypothèses
Le cadre du calcul est défini par la nouvelle hauteur de départ et la position du point D.
- Hauteur de départ : \(h_A = h_{\text{min}} = 2.5R\).
- Hauteur du point D : \(h_D = R\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon du looping | \(R\) | 10 | m |
| Gravité | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
En travaillant avec les expressions littérales (\(h_{\text{min}}=2.5R\), \(h_D=R\)), on peut obtenir une expression simple pour \(v_D\) qui ne dépend que de \(g\) et \(R\), montrant une relation fondamentale indépendante des valeurs numériques spécifiques.
Schéma (Avant les calculs)
Trajet de A à D
Calcul(s)
On pose l'égalité des énergies mécaniques entre le point de départ A (à \(h_{min}\)) et le point D.
On remplace les hauteurs par leurs expressions en fonction de R.
On soustrait \(mgR\) de chaque côté.
On simplifie par \(m\) et on multiplie par 2 pour isoler \(v_D^2\).
On extrait la racine carrée pour obtenir la vitesse.
On termine avec l'application numérique.
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Vitesse au Point D
Réflexions
Comparons les vitesses à la hauteur minimale de départ : \(v_B = \sqrt{5gR} \approx 22.1 \text{ m/s}\), \(v_D = \sqrt{3gR} \approx 17.2 \text{ m/s}\), et \(v_C = \sqrt{gR} \approx 9.9 \text{ m/s}\). La vitesse diminue bien avec l'altitude, comme prévu par la conservation de l'énergie.
Points de vigilance
Faites attention à bien identifier la hauteur de chaque point. Le point D est à mi-hauteur du looping, son altitude est donc \(R\) par rapport au sol.
Points à retenir
Cet exemple final démontre la puissance de la conservation de l'énergie pour analyser n'importe quel point d'une trajectoire complexe, à condition de bien identifier les hauteurs et les vitesses aux points de départ et d'arrivée.
Le saviez-vous ?
La sensation d'être "poussé" vers l'extérieur dans un virage (ou un looping) n'est pas due à une "force centrifuge" réelle. C'est l'effet de votre propre inertie : votre corps a tendance à vouloir continuer en ligne droite, et c'est le wagon qui tourne et vous "pousse" vers l'intérieur pour vous forcer à suivre la courbe.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En partant de \(h_{\text{min}}=25\) m (\(R=10\) m), quelle serait la vitesse à une altitude de 5 m ?
Outil Interactif : Simulateur de Montagne Russe
Utilisez les curseurs pour modifier la hauteur de départ et le rayon du looping. Observez comment la vitesse et la force normale au sommet du looping changent. Le simulateur vous indiquera si le looping est réussi (le wagon reste sur les rails).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la hauteur de départ \(h\) (en la gardant supérieure à \(h_{\text{min}}\)), comment évolue la vitesse \(v_C\) au sommet du looping ?
2. Quelle est la principale transformation d'énergie entre le point A (sommet) et le point B (base) ?
3. Au sommet du looping (point C), si la vitesse est exactement la vitesse minimale pour ne pas décoller, que vaut la force normale \(N_C\) ?
4. Si on ignorait la gravité mais que le wagon avait une vitesse \(v\) au point C, quelles forces s'appliqueraient sur lui ?
5. Que se passerait-il si le rayon \(R\) du looping était augmenté, mais que la hauteur de départ \(h\) restait la même ?
- Énergie Mécanique (\(E_m\))
- La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système. Dans un système sans frottement, elle est conservée.
- Énergie Cinétique (\(E_c\))
- L'énergie qu'un objet possède en raison de son mouvement. Elle dépend de la masse et du carré de la vitesse (\(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)).
- Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\))
- L'énergie stockée par un objet en raison de sa hauteur dans un champ gravitationnel (\(E_p = mgh\)).
- Force Centripète (\(F_c\))
- La force résultante qui maintient un objet en mouvement sur une trajectoire circulaire. Elle est toujours dirigée vers le centre du cercle.
- Force Normale (\(N\))
- La force de contact exercée par une surface sur un objet, perpendiculairement à la surface. C'est elle qui empêche le wagon de passer à travers le rail.
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