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Exercices Physique Chimie

Descente d’un Skieur sur une Pente Enneigée

Descente d’un Skieur sur une Pente Enneigée

Descente d’un Skieur sur une Pente Enneigée

Appliquer les lois de Newton pour analyser les forces agissant sur un objet glissant sur un plan incliné à vitesse constante.

Lorsqu'un objet descend un plan incliné, plusieurs forces agissent sur lui. La compréhension de ces forces est essentielle pour analyser son mouvement. Les principales forces sont le poids, la réaction normale du support et les forces de frottement.

  • Le poids (\(\vec{P}\)) est la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet, dirigée verticalement vers le bas. Sa valeur est \(P = mg\).
  • La réaction normale (\(\vec{R_N}\) ou \(\vec{N}\)) est la force exercée par le support (le plan incliné) sur l'objet, perpendiculairement à la surface du support et dirigée vers l'extérieur de celui-ci.
  • La force de frottement (\(\vec{f}\)) est exercée par le support sur l'objet, parallèlement à la surface du support et s'opposant au mouvement (ou à la tendance au mouvement). Si l'objet glisse, il s'agit de frottement cinétique, dont la valeur est souvent modélisée par \(f_k = \mu_k \times R_N\), où \(\mu_k\) est le coefficient de frottement cinétique.

Si l'objet est en équilibre ou se déplace à vitesse constante (mouvement rectiligne uniforme), la somme vectorielle des forces agissant sur lui est nulle (Première loi de Newton) : \(\sum \vec{F} = \vec{0}\).

Données du Problème

Un skieur de masse \(m = 75 \text{ kg}\) (équipement compris) descend une piste enneigée, rectiligne, inclinée d'un angle \(\alpha = 15^\circ\) par rapport à l'horizontale. Le skieur glisse à vitesse constante.

On prendra l'intensité de la pesanteur \(g = 9.8 \text{ N/kg}\).

On modélisera les forces de frottement exercées par la neige sur les skis par une force unique \(\vec{f}\), opposée au mouvement.

α G P RN f x y Skieur descendant une pente
Bilan des forces sur un skieur descendant une pente à vitesse constante.

Questions

  1. Faire le bilan des forces s'exerçant sur le skieur. Représenter ces forces sur un schéma clair, en indiquant leur direction et leur sens.
  2. Calculer la valeur du poids \(\|\vec{P}\|\) du skieur.
  3. Choisir un repère orthonormé (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) avec l'axe (Ox) parallèle à la pente et orienté vers le bas, et l'axe (Oy) perpendiculaire à la pente et orienté vers le haut. Décomposer le poids \(\vec{P}\) en ses composantes \(\vec{P_x}\) et \(\vec{P_y}\) selon ces axes. Exprimer puis calculer les valeurs de \(\|\vec{P_x}\|\) et \(\|\vec{P_y}\|\).
  4. Le skieur descend à vitesse constante. Appliquer le principe d'inertie (première loi de Newton).
  5. En projetant la relation d'équilibre sur l'axe (Oy), déterminer la valeur de la réaction normale \(\|\vec{R_N}\|\).
  6. En projetant la relation d'équilibre sur l'axe (Ox), déterminer la valeur de la force de frottement \(\|\vec{f}\|\).
  7. Calculer le coefficient de frottement cinétique \(\mu_k\) entre les skis et la neige, sachant que \(\|\vec{f}\| = \mu_k \times \|\vec{R_N}\|\).

Correction : Descente d’un Skieur sur une Pente Enneigée

1. Bilan des forces et Schéma

Le skieur est soumis à son poids, à la réaction normale de la piste et à la force de frottement.

Les forces s'exerçant sur le skieur sont :

  • Le poids \(\vec{P}\) : vertical, dirigé vers le bas, appliqué au centre de gravité G du skieur.
  • La réaction normale \(\vec{R_N}\) : perpendiculaire à la piste, dirigée vers le haut (par rapport à la surface de la piste).
  • La force de frottement \(\vec{f}\) : parallèle à la piste, dirigée vers le haut de la pente (s'opposant au mouvement de descente).

Le schéma est fourni dans l'énoncé.

Forces : Poids \(\vec{P}\), Réaction normale \(\vec{R_N}\), Force de frottement \(\vec{f}\).

2. Valeur du poids \(\|\vec{P}\|\)

Le poids est donné par la relation \(P = m \times g\).

Données :
\(m = 75 \text{ kg}\)
\(g = 9.8 \text{ N/kg}\)

\[ \begin{aligned} \|\vec{P}\| &= m \times g \\ &= 75 \text{ kg} \times 9.8 \text{ N/kg} \\ &= 735 \text{ N} \end{aligned} \]

La valeur du poids du skieur est \(\|\vec{P}\| = 735 \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Quelle est la direction et le sens du poids d'un objet ?

3. Décomposition du poids \(\vec{P}\)

L'angle \(\alpha\) de la piste se retrouve entre la direction de \(\vec{P}\) (verticale) et la perpendiculaire à la pente (direction de \(\vec{R_N}\) et \(\vec{P_y}\)). L'axe (Ox) est le long de la pente vers le bas.

Données :
\(\|\vec{P}\| = 735 \text{ N}\)
\(\alpha = 15^\circ\)

Composante parallèle à la pente (selon Ox) :

\[ \begin{aligned} \|\vec{P_x}\| = P_x &= \|\vec{P}\| \sin(\alpha) \\ &= 735 \text{ N} \times \sin(15^\circ) \\ &\approx 735 \text{ N} \times 0.2588 \\ &\approx 190.2 \text{ N} \end{aligned} \]

Composante perpendiculaire à la pente (selon Oy, mais dirigée vers le bas du plan incliné) :

\[ \begin{aligned} \|\vec{P_y}\| = P_y &= \|\vec{P}\| \cos(\alpha) \quad \text{(valeur absolue de la composante)} \\ &= 735 \text{ N} \times \cos(15^\circ) \\ &\approx 735 \text{ N} \times 0.9659 \\ &\approx 709.9 \text{ N} \end{aligned} \]

Note : Dans le repère choisi, \(\vec{P_x}\) est positive (vers le bas de la pente) et la projection de \(\vec{P}\) sur Oy est \(-P_y\) car Oy est vers le haut.

Les valeurs des composantes du poids sont :

  • \(\|\vec{P_x}\| \approx 190.2 \text{ N}\) (dirigée vers le bas de la pente)
  • \(\|\vec{P_y}\| \approx 709.9 \text{ N}\) (dirigée perpendiculairement à la pente, "enfonçant" le skieur)
Quiz Intermédiaire

Question : Sur un plan incliné d'angle \(\alpha\), la composante du poids perpendiculaire au plan \(P_N\) (ou \(P_y\)) est donnée par :

  • \(P \tan(\alpha)\)

4. Application du Principe d'Inertie

Le skieur descend à vitesse constante, donc son mouvement est rectiligne uniforme. D'après le principe d'inertie, la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur lui est nulle.

\[ \sum \vec{F} = \vec{P} + \vec{R_N} + \vec{f} = \vec{0} \]

La condition d'équilibre (ou de mouvement rectiligne uniforme) est \(\vec{P} + \vec{R_N} + \vec{f} = \vec{0}\).

5. Détermination de la Réaction Normale \(\|\vec{R_N}\|\)

On projette la relation d'équilibre sur l'axe (Oy) perpendiculaire à la pente et orienté vers le haut.

Données :
Composante de \(\vec{P}\) selon Oy : \(P_{Oy} = -\|\vec{P_y}\| = -P \cos(\alpha)\)
Composante de \(\vec{R_N}\) selon Oy : \(R_{Ny} = \|\vec{R_N}\|\)
Composante de \(\vec{f}\) selon Oy : \(f_y = 0\)

Projection sur (Oy) : \(\sum F_y = 0\)

\[ \begin{aligned} P_{Oy} + R_{Ny} + f_y &= 0 \\ -P \cos(\alpha) + \|\vec{R_N}\| + 0 &= 0 \\ \|\vec{R_N}\| &= P \cos(\alpha) \end{aligned} \]

Calcul numérique :

\[ \begin{aligned} \|\vec{R_N}\| &= 735 \text{ N} \times \cos(15^\circ) \\ &\approx 735 \text{ N} \times 0.9659 \\ &\approx 709.9 \text{ N} \end{aligned} \]

La valeur de la réaction normale est \(\|\vec{R_N}\| \approx 710 \text{ N}\).

6. Détermination de la Force de Frottement \(\|\vec{f}\|\)

On projette la relation d'équilibre sur l'axe (Ox) parallèle à la pente et orienté vers le bas.

Données :
Composante de \(\vec{P}\) selon Ox : \(P_{Ox} = \|\vec{P_x}\| = P \sin(\alpha)\)
Composante de \(\vec{R_N}\) selon Ox : \(R_{Nx} = 0\)
Composante de \(\vec{f}\) selon Ox : \(f_x = -\|\vec{f}\|\) (car \(\vec{f}\) s'oppose au mouvement vers le bas)

Projection sur (Ox) : \(\sum F_x = 0\)

\[ \begin{aligned} P_{Ox} + R_{Nx} + f_x &= 0 \\ P \sin(\alpha) + 0 - \|\vec{f}\| &= 0 \\ \|\vec{f}\| &= P \sin(\alpha) \end{aligned} \]

Calcul numérique :

\[ \begin{aligned} \|\vec{f}\| &= 735 \text{ N} \times \sin(15^\circ) \\ &\approx 735 \text{ N} \times 0.2588 \\ &\approx 190.2 \text{ N} \end{aligned} \]

La valeur de la force de frottement est \(\|\vec{f}\| \approx 190 \text{ N}\).

7. Calcul du Coefficient de Frottement Cinétique \(\mu_k\)

On utilise la relation \(\|\vec{f}\| = \mu_k \times \|\vec{R_N}\|\).

Données :
\(\|\vec{f}\| \approx 190.2 \text{ N}\)
\(\|\vec{R_N}\| \approx 709.9 \text{ N}\)

\[ \begin{aligned} \mu_k &= \frac{\|\vec{f}\|}{\|\vec{R_N}\|} \\ &\approx \frac{190.2 \text{ N}}{709.9 \text{ N}} \\ &\approx 0.2679 \end{aligned} \]

Le coefficient de frottement cinétique est \(\mu_k \approx 0.268\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La réaction normale \(\vec{R_N}\) est toujours :

Question 2 : Si un objet glisse à vitesse constante sur un plan incliné, la somme des forces agissant sur lui est :

Question 3 : La composante du poids parallèle à un plan incliné d'angle \(\alpha\) est :

Question 4 : La force de frottement cinétique est généralement :

Glossaire des Termes Clés

Poids (\(\vec{P}\)) :

Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. Vertical, vers le bas, valeur \(P = mg\).

Réaction Normale (\(\vec{R_N}\) ou \(\vec{N}\)) :

Composante de la force exercée par un support sur un objet, perpendiculaire à la surface de contact.

Force de Frottement (\(\vec{f}\)) :

Force qui s'oppose au mouvement relatif (ou à la tendance au mouvement) entre deux surfaces en contact. Elle est parallèle aux surfaces.

Frottement Cinétique :

Force de frottement qui s'exerce lorsque deux surfaces glissent l'une sur l'autre. Sa valeur est \(f_k = \mu_k R_N\).

Coefficient de Frottement Cinétique (\(\mu_k\)) :

Nombre sans dimension qui caractérise le frottement entre deux surfaces en mouvement relatif.

Plan Incliné :

Surface plane formant un angle avec l'horizontale.

Principe d'Inertie (Première Loi de Newton) :

Un corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur lui est nulle.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Que se passerait-il si l'angle \(\alpha\) de la piste était plus grand ? La force de frottement serait-elle plus grande ou plus petite pour maintenir une vitesse constante (en supposant \(\mu_k\) constant) ?

2. Si le skieur voulait accélérer en descendant la pente, comment la somme des forces devrait-elle être modifiée ?

3. Le coefficient de frottement statique \(\mu_s\) est généralement supérieur au coefficient de frottement cinétique \(\mu_k\). Quel angle maximal la piste pourrait-elle avoir pour que le skieur reste immobile au départ, sans glisser ?

4. Comment la force de résistance de l'air (frottement avec l'air), négligée ici, influencerait-elle le mouvement du skieur, notamment à grande vitesse ?

5. Si le skieur était tiré vers le haut de la pente à vitesse constante par un téléski, quelles seraient les forces en jeu et comment s'équilibreraient-elles ?

Descente d’un Skieur sur une Pente Enneigée

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