Mouvement Linéaire à Accélération Constante
Contexte : La cinématiqueBranche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans se préoccuper des causes qui le provoquent (forces)..
Cet exercice explore un problème classique de cinématique à une dimension. Nous analyserons le mouvement d'une voiture qui se décompose en trois phases distinctes : une phase d'accélération constante, une phase à vitesse constante, et enfin une phase de décélération (accélération négative) jusqu'à l'arrêt complet. La maîtrise de ce type de problème est fondamentale pour comprendre les principes de base du mouvement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en plusieurs étapes simples et à appliquer les équations fondamentales du mouvement uniformément accéléré (MUA) pour chaque segment du trajet.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer correctement les équations de la cinématique pour un mouvement à accélération constante.
- Calculer la vitesse, la distance et le temps pour différentes phases d'un mouvement.
- Analyser et interpréter les graphiques de position, vitesse et accélération en fonction du temps.
Données de l'étude
Phases du Mouvement de la Voiture
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(a_1\) | Accélération pendant la phase 1 | 2.0 | \(\text{m/s}^2\) |
| \(t_1\) | Durée de la phase 1 | 10.0 | \(\text{s}\) |
| \(t_2\) | Durée de la phase 2 (vitesse constante) | 30.0 | \(\text{s}\) |
| \(a_3\) | Accélération (décélération) pendant la phase 3 | -4.0 | \(\text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Calculer la vitesse maximale atteinte par la voiture à la fin de la phase 1.
- Déterminer la distance parcourue pendant la phase d'accélération (phase 1).
- Calculer la distance parcourue à vitesse constante (phase 2).
- Déterminer la durée de la phase de décélération (phase 3) jusqu'à l'arrêt complet.
- Calculer la distance totale parcourue par la voiture du départ à l'arrêt.
Les bases sur la Cinématique
Le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) est décrit par un ensemble d'équations qui relient le déplacement (\(d\)), la vitesse initiale (\(v_i\)), la vitesse finale (\(v_f\)), l'accélération (\(a\)) et le temps (\(t\)).
1. Équation de la vitesse
Elle décrit comment la vitesse change au fil du temps sous l'effet d'une accélération constante.
\[ v_f = v_i + a \cdot t \]
2. Équation du déplacement
Elle permet de calculer la distance parcourue en fonction du temps, de la vitesse initiale et de l'accélération.
\[ d = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]
3. Équation indépendante du temps
Très utile lorsque la durée du mouvement n'est pas connue.
\[ v_f^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot d \]
Correction : Mouvement Linéaire à Accélération Constante
Question 1 : Calculer la vitesse maximale atteinte par la voiture.
Principe
L'accélération est le taux de changement de la vitesse. Pour une accélération constante, la vitesse augmente de manière linéaire avec le temps. La vitesse maximale est donc atteinte juste à la fin de cette phase d'accélération, avant que le mouvement ne change.
Mini-Cours
Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA), la vitesse instantanée \(v(t)\) est une fonction affine du temps. La pente de la droite représentant \(v(t)\) sur un graphique vitesse-temps est égale à l'accélération constante \(a\).
Remarque Pédagogique
Le conseil est de toujours traiter chaque phase du mouvement séparément. Pour cette question, nous nous concentrons uniquement sur la phase 1, en identifiant clairement ses conditions initiales et finales.
Normes
En physique, il n'y a pas de "norme" réglementaire comme en ingénierie, mais nous suivons la convention universelle du Système International d'unités (SI) : mètres (m) pour la distance, secondes (s) pour le temps, et donc mètres par seconde (m/s) pour la vitesse et mètres par seconde au carré (m/s²) pour l'accélération.
Formule(s)
L'outil mathématique qui relie la vitesse finale, la vitesse initiale, l'accélération et le temps est :
Hypothèses
Pour appliquer cette formule, nous posons les hypothèses suivantes :
- L'accélération est parfaitement constante durant toute la phase 1.
- Le mouvement est parfaitement rectiligne.
- La résistance de l'air et les frottements sont négligés.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée pour cette question sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_i\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération (Phase 1) | \(a_1\) | 2.0 | \(\text{m/s}^2\) |
| Temps (Phase 1) | \(t_1\) | 10.0 | \(\text{s}\) |
Astuces
Avant de calculer, vérifiez la cohérence des unités. Ici, nous avons \(\text{m/s}^2 \times \text{s}\), ce qui simplifie en \(\text{m/s}\), l'unité d'une vitesse. C'est un bon signe !
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la phase 1 sur un axe de temps, montrant les conditions initiales et la variable à trouver à l'état final.
Schéma de la Phase 1 : Accélération
Calcul(s)
Calcul de la vitesse maximale
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est un point spécifique sur le graphique de la vitesse en fonction du temps, marquant la fin de la phase d'accélération.
Point final de la Phase 1 sur le graphique v-t
Réflexions
Une vitesse de \(20 \, \text{m/s}\) équivaut à \(72 \, \text{km/h}\) (\(20 \times 3.6\)). C'est une vitesse de croisière tout à fait réaliste sur une route, atteinte en 10 secondes, ce qui correspond à une accélération vive mais plausible pour une voiture moderne.
Points de vigilance
La principale erreur à éviter est de mal identifier la vitesse initiale. L'énoncé précise "initialement au repos", ce qui impose \(v_i = 0\). Si la voiture avait déjà une vitesse, le résultat serait différent.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez :
- La formule de base : \(v_f = v_i + a \cdot t\).
- "Partant du repos" signifie toujours \(v_i = 0\).
- L'accélération et la vitesse sont des vecteurs. Dans un mouvement rectiligne, on peut travailler avec des scalaires signés.
Le saviez-vous ?
Les voitures de Formule 1 peuvent accélérer de 0 à 100 km/h (environ \(27.8 \, \text{m/s}\)) en moins de 2.6 secondes. Leur accélération est bien plus élevée que celle de notre exercice !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse maximale si l'accélération était de \(2.5 \, \text{m/s}^2\) pendant \(12 \, \text{s}\) ?
Question 2 : Déterminer la distance parcourue pendant la phase 1.
Principe
Pour une accélération constante, la distance parcourue n'est pas simplement vitesse × temps (car la vitesse change !). Il faut utiliser une équation cinématique qui prend en compte le fait que la vitesse augmente progressivement.
Mini-Cours
Le déplacement \(d\) en fonction du temps dans un MRUA est une fonction quadratique. C'est pourquoi le graphique de la position en fonction du temps est une parabole. La formule intègre à la fois l'effet de la vitesse initiale et celui de l'accélération sur la distance.
Remarque Pédagogique
Le conseil est de choisir la bonne "arme" pour le bon combat. Nous avons plusieurs équations cinématiques. Celle-ci, \(d = v_i t + \frac{1}{2}at^2\), est parfaite car nous connaissons \(v_i\), \(t\), et \(a\).
Normes
Nous continuons d'appliquer les conventions du Système International (SI). La distance sera donc calculée et exprimée en mètres (m).
Formule(s)
L'outil mathématique pour le déplacement en fonction du temps est :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : accélération constante, mouvement rectiligne, pas de frottements.
Donnée(s)
Nous réutilisons les mêmes données d'entrée pour la phase 1 :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_i\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération (Phase 1) | \(a_1\) | 2.0 | \(\text{m/s}^2\) |
| Temps (Phase 1) | \(t_1\) | 10.0 | \(\text{s}\) |
Astuces
Comme la vitesse initiale est nulle, le premier terme \(v_i \cdot t\) disparaît, ce qui simplifie grandement le calcul. C'est souvent le cas dans les problèmes qui commencent "du repos".
Schéma (Avant les calculs)
Nous cherchons la longueur du segment correspondant à la phase 1 sur un axe de position.
Schéma de la distance (Phase 1)
Calcul(s)
Calcul de la distance parcourue (Phase 1)
Schéma (Après les calculs)
Cette distance calculée correspond à l'aire du triangle sous la courbe du graphique vitesse-temps pour la première phase.
Visualisation de la distance (Aire sous la courbe v-t)
Réflexions
La voiture a parcouru 100 mètres pour atteindre 72 km/h. Cela semble cohérent. Cela montre que même avec une accélération modeste, une distance significative est rapidement couverte.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le temps au carré (\(t^2\)). Une autre erreur serait d'oublier le facteur \(\frac{1}{2}\). Ces deux oublis sont très fréquents en examen !
Points à retenir
Pour cette question, retenez :
- La formule clé du déplacement : \(d = v_i t + \frac{1}{2}at^2\).
- La distance n'est pas linéaire avec le temps quand l'accélération est non-nulle.
- L'aire sous le graphique vitesse-temps représente toujours le déplacement.
Le saviez-vous ?
La relation \(d \propto t^2\) pour un objet en chute libre (accélération constante g) a été démontrée expérimentalement par Galilée en utilisant des plans inclinés pour "ralentir" la gravité et rendre le temps mesurable avec les outils de son époque.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la distance parcourue avec une accélération de \(3.0 \, \text{m/s}^2\) pendant \(8.0 \, \text{s}\) (en partant du repos) ?
Question 3 : Calculer la distance parcourue pendant la phase 2.
Principe
La phase 2 est un mouvement rectiligne uniforme (MRU), car la vitesse est constante. L'accélération est donc nulle. Le calcul de la distance est plus simple : c'est le produit de la vitesse constante par la durée du mouvement.
Mini-Cours
Le MRU est le cas le plus simple de la cinématique. Comme \(a=0\), les équations générales se simplifient. \(v_f = v_i\) devient \(v = \text{constante}\), et \(d = v_i t + \frac{1}{2}at^2\) devient simplement \(d=vt\). Le graphique de la position en fonction du temps est une droite dont la pente est la vitesse.
Remarque Pédagogique
Il est crucial de reconnaître le changement de nature du mouvement. Nous ne sommes plus en MRUA. Appliquer les formules d'accélération ici serait une erreur conceptuelle majeure. Identifiez toujours le type de mouvement avant de choisir votre formule.
Normes
Le Système International (SI) reste notre référence. Les unités (\(\text{m/s}\) et \(\text{s}\)) sont déjà cohérentes, le résultat sera en mètres (m).
Formule(s)
Pour un mouvement à vitesse constante :
Hypothèses
Nous supposons que la vitesse est atteinte instantanément et reste parfaitement constante pendant 30 secondes.
Donnée(s)
Les données pour la phase 2 sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse (constante) | \(v_{\text{max}}\) | 20.0 | \(\text{m/s}\) |
| Temps (Phase 2) | \(t_2\) | 30.0 | \(\text{s}\) |
Astuces
Ce calcul est direct. Pour une estimation rapide, pensez "20 mètres chaque seconde, pendant 30 secondes". Cela donne \(20 \times 30 = 600\).
Schéma (Avant les calculs)
Visuellement, la distance parcourue pendant cette phase correspond à l'aire d'un rectangle sur le graphique vitesse-temps.
Schéma de l'aire (Phase 2)
Calcul(s)
Calcul de la distance parcourue (Phase 2)
Schéma (Après les calculs)
Le segment de la phase 2 est le plus long sur l'axe des positions, ce qui est cohérent avec la longue durée passée à vitesse maximale.
Schéma des distances relatives
Réflexions
En 30 secondes, la voiture a parcouru 600 mètres, soit plus d'un demi-kilomètre. Cela montre l'efficacité du déplacement à vitesse de croisière constante par rapport aux phases de transition.
Points de vigilance
Ne pas utiliser une formule de MRUA ici. Si vous aviez utilisé \(d = \frac{1}{2}at^2\), vous auriez obtenu 0 (car a=0), ce qui est incorrect. La vitesse n'est pas nulle !
Points à retenir
Pour cette question, retenez :
- Un mouvement à vitesse constante a une accélération nulle.
- La formule de la distance est la plus simple : \(d=vt\).
Le saviez-vous ?
La consommation de carburant d'une voiture thermique est généralement la plus faible et la plus efficace lorsqu'elle roule à une vitesse de croisière constante (souvent autour de 80-90 km/h), car le moteur tourne à son régime optimal sans effort d'accélération.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle distance parcourrait la voiture si elle maintenait une vitesse de \(25 \, \text{m/s}\) pendant \(40 \, \text{s}\) ?
Question 4 : Déterminer la durée de la phase de décélération (phase 3).
Principe
C'est la situation inverse de la question 1. Nous connaissons la vitesse de départ (la vitesse maximale), la vitesse d'arrivée (zéro), et l'accélération (négative). Nous devons trouver le temps que cela prend.
Mini-Cours
La décélération est simplement une accélération avec un signe opposé à celui de la vitesse. Les équations de la cinématique restent exactement les mêmes. Le signe négatif de 'a' va naturellement faire diminuer la vitesse au fil du temps dans la formule \(v_f = v_i + at\).
Remarque Pédagogique
La clé ici est d'isoler correctement la variable recherchée (\(t\)) dans l'équation de la vitesse. Une petite manipulation algébrique est nécessaire. Soyez attentif aux signes lors de cette étape.
Normes
Nous utilisons toujours le Système International (SI). Toutes les unités sont déjà cohérentes.
Formule(s)
Formule de base de la vitesse
Formule réarrangée pour trouver le temps
Hypothèses
Nous supposons que la décélération est constante tout au long du freinage.
Donnée(s)
Les données pour la phase 3 sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale (début phase 3) | \(v_{\text{i3}}\) | 20.0 | \(\text{m/s}\) |
| Vitesse finale | \(v_{\text{f3}}\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération (Phase 3) | \(a_3\) | -4.0 | \(\text{m/s}^2\) |
Astuces
Le numérateur (\(v_f - v_i\)) sera négatif (\(0 - 20 = -20\)). Le dénominateur (\(a\)) est aussi négatif (\(-4\)). Un nombre négatif divisé par un nombre négatif donne un résultat positif, ce qui est rassurant pour un temps !
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la phase de freinage, de la vitesse maximale jusqu'à l'arrêt complet.
Schéma de la Phase 3 : Décélération
Calcul(s)
Calcul de la durée de la décélération
Schéma (Après les calculs)
Sur le graphique v-t, cette durée est la base du triangle de la phase 3, montrant le retour de la vitesse à zéro.
Visualisation de la durée de freinage
Réflexions
Il faut 5 secondes à la voiture pour s'arrêter complètement depuis une vitesse de \(72 \, \text{km/h}\). C'est un temps de freinage d'urgence assez court, indiquant une décélération forte mais réaliste (environ 0.4g).
Points de vigilance
Attention aux signes ! Si vous oubliez le signe "-" de l'accélération, vous obtiendrez un temps négatif, ce qui est un signal d'alarme clair indiquant une erreur.
Points à retenir
Pour cette question, retenez :
- La décélération est une accélération négative.
- La formule de la vitesse peut être réarrangée pour trouver n'importe laquelle de ses variables.
Le saviez-vous ?
La distance de freinage n'est pas linéaire. D'après la formule \(v_f^2 = v_i^2 + 2ad\), la distance d'arrêt (\(d\)) est proportionnelle au carré de la vitesse initiale (\(v_i^2\)). Si vous doublez votre vitesse, votre distance de freinage est quadruplée !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Combien de temps faudrait-il pour s'arrêter depuis \(30 \, \text{m/s}\) avec une décélération de \(-5 \, \text{m/s}^2\) ?
Question 5 : Calculer la distance totale parcourue.
Principe
Le principe est simple : la distance totale est la somme des distances de chaque partie du voyage. Il faut additionner les distances calculées (ou à calculer) pour les trois phases distinctes du mouvement.
Mini-Cours
Le déplacement total est une quantité additive. Si un trajet est composé de plusieurs segments, le déplacement total est la somme vectorielle des déplacements de chaque segment. Pour un mouvement rectiligne sans retour en arrière, cela se résume à une simple addition des distances parcourues.
Remarque Pédagogique
C'est une question de synthèse. Elle vous oblige à organiser votre travail et à combiner les résultats des étapes précédentes. La clé est la méthode : calculer chaque partie séparément avant de faire la somme finale.
Normes
Le résultat final doit être exprimé en mètres (m), l'unité de distance du Système International (SI).
Formule(s)
Formule de la distance de freinage
Formule de la distance totale
Hypothèses
Nous utilisons les mêmes hypothèses que précédemment pour chaque phase respective.
Donnée(s)
Nous rassemblons tous les résultats intermédiaires :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Phase 1 | \(d_1\) | 100.0 | \(\text{m}\) |
| Distance Phase 2 | \(d_2\) | 600.0 | \(\text{m}\) |
| Données pour \(d_3\) | \(v_{\text{i3}}=20 \, \text{m/s}\), \(t_3=5 \, \text{s}\), \(a_3=-4 \, \text{m/s}^2\) | ||
Astuces
Pour calculer \(d_3\), vous pouvez aussi utiliser \(d_3 = \frac{v_{\text{i3}}+v_{\text{f3}}}{2}t_3 = \frac{20+0}{2} \times 5 = 10 \times 5 = 50 \, \text{m}\). C'est souvent plus rapide quand on connaît les vitesses initiale et finale !
Schéma (Avant les calculs)
Le problème revient à sommer les longueurs des trois segments du trajet sur un axe de position.
Schéma de la somme des Distances
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la distance de freinage (\(d_3\))
Étape 2 : Calcul de la distance totale
Schéma (Après les calculs)
Le graphique vitesse-temps complet illustre les trois phases du mouvement. La distance totale parcourue est l'aire totale sous cette courbe.
Graphique Vitesse vs. Temps (Complet)
Réflexions
La distance totale est de 750 mètres. Le trajet complet a duré \(10 + 30 + 5 = 45 \, \text{s}\). La vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est donc de \(750 \, \text{m} / 45 \, \text{s} \approx 16.7 \, \text{m/s}\), soit environ \(60 \, \text{km/h}\), ce qui est inférieur à la vitesse maximale, comme attendu.
Points de vigilance
L'erreur classique serait de faire une erreur de calcul dans l'une des étapes précédentes, qui se répercuterait sur le résultat final. Une double vérification de \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) est recommandée.
Points à retenir
Pour cette question, retenez :
- Un problème complexe se résout en le décomposant en parties simples.
- Le déplacement total est la somme des déplacements de chaque phase.
- La méthode et l'organisation sont aussi importantes que les formules elles-mêmes.
Le saviez-vous ?
Dans le monde réel, les accélérations et décélérations ne sont jamais parfaitement constantes. Les changements sont progressifs pour assurer le confort des passagers et pour des raisons mécaniques. Le modèle MRUA est donc une simplification, mais une approximation très puissante pour de nombreux cas.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la phase à vitesse constante (\(t_2\)) n'avait duré que 10 secondes, quelle aurait été la distance totale ? (Rappel : \(d_1=100 \, \text{m}\), \(d_3=50 \, \text{m}\))
Outil Interactif : Simulateur de la Phase 1
Utilisez les curseurs pour modifier l'accélération initiale et sa durée. Observez comment la vitesse maximale et la distance parcourue sont affectées. Le graphique montre l'évolution de la vitesse pendant cette phase.
Paramètres d'Entrée
Résultats de la Phase 1
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de l'accélération dans le Système International ?
2. Si un objet a une accélération constante non nulle, comment est son graphique vitesse-temps ?
3. Pendant la phase 2, la vitesse de la voiture est constante. Quelle est son accélération ?
4. Que représente l'aire sous la courbe d'un graphique vitesse-temps ?
5. Une accélération négative signifie que :
- Cinématique
- Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des objets, en décrivant la trajectoire en fonction du temps, sans tenir compte des forces qui le provoquent.
- Accélération
- Le taux de variation de la vitesse d'un objet par unité de temps. Une accélération positive signifie que la vitesse augmente, une accélération négative (décélération) signifie qu'elle diminue.
- Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
- Mouvement d'un objet se déplaçant en ligne droite avec une accélération constante.
D’autres exercices de physique université:
0 commentaires