Mobilité des Électrons dans un Semi-conducteur
Calculer la mobilité des électrons, la vitesse de dérive, la conductivité et la résistivité d'un échantillon de semi-conducteur en courant continu.
La mobilité des porteurs de charge (électrons ou trous) dans un semi-conducteur est une mesure de la facilité avec laquelle ces porteurs se déplacent sous l'influence d'un champ électrique. Elle est cruciale pour comprendre et concevoir des dispositifs semi-conducteurs.
Concepts et formules clés :
- Champ Électrique (\(E\)) : Dans un conducteur de longueur \(L\) soumis à une différence de potentiel \(V\), \(E = V/L\). Unité : V/m.
- Vitesse de Dérive (\(v_d\)) : Vitesse moyenne des porteurs de charge due au champ électrique. Unité : m/s.
- Mobilité (\(\mu\)) : Facteur de proportionnalité entre la vitesse de dérive et le champ électrique : \(v_d = \mu E\). Unité : m²/(V.s).
- Densité de Courant (\(J\)) : Courant par unité de surface de section transversale. \(J = I/A_s\), où \(A_s\) est l'aire de la section. Unité : A/m².
- Relation entre densité de courant, densité de porteurs, charge et vitesse de dérive : \(J = n q v_d\), où \(n\) est la densité des porteurs de charge (par m³) et \(q\) est la charge élémentaire (\(1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)).
- Conductivité (\(\sigma\)) : Mesure de la capacité d'un matériau à conduire le courant électrique. \(\sigma = n q \mu\). Unité : Siemens par mètre (S/m) ou \((\Omega \cdot m)^{-1}\).
- Résistivité (\(\rho\)) : Inverse de la conductivité. \(\rho = 1/\sigma\). Unité : Ohm-mètre (\(\Omega \cdot m\)).
- Relation avec la résistance : \(R = \rho \frac{L}{A_s}\).
Données du Problème
Un échantillon de silicium de type n est utilisé pour cette étude.
- Longueur de l'échantillon : \(L = 1.0 \text{ cm}\)
- Aire de la section transversale : \(A_s = 0.5 \text{ mm}^2\)
- Tension appliquée aux bornes de l'échantillon : \(V = 2.0 \text{ V}\)
- Courant mesuré à travers l'échantillon : \(I = 4.0 \text{ mA}\)
- Densité des électrons (porteurs majoritaires) : \(n = 5.0 \times 10^{21} \text{ électrons/m}^3\)
- Charge élémentaire : \(q = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)
Questions
- Convertir la longueur \(L\) en mètres et l'aire de section \(A_s\) en mètres carrés.
- Calculer le module du champ électrique (\(E\)) dans l'échantillon.
- Calculer la densité de courant (\(J\)) dans l'échantillon.
- Calculer la vitesse de dérive (\(v_d\)) des électrons.
- Calculer la mobilité des électrons (\(\mu_e\)) dans cet échantillon de silicium.
- Calculer la conductivité (\(\sigma\)) du silicium.
- Calculer la résistivité (\(\rho\)) du silicium.
- Calculer la puissance (\(P\)) dissipée dans l'échantillon.
Correction : Mobilité des Électrons dans un Semi-conducteur
1. Conversion des Unités
Il est essentiel de travailler avec les unités du Système International (SI).
Données :
- \(L = 1.0 \text{ cm}\)
- \(A_s = 0.5 \text{ mm}^2\)
Longueur \(L\) :
Aire de la section \(A_s\) :
- \(L = 0.01 \text{ m}\)
- \(A_s = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)
2. Calcul du Champ Électrique (\(E\))
Le champ électrique est \(E = V/L\).
Données :
- \(V = 2.0 \text{ V}\)
- \(L = 0.01 \text{ m}\)
Le champ électrique est \(E = 200 \text{ V/m}\).
3. Calcul de la Densité de Courant (\(J\))
La densité de courant est \(J = I/A_s\).
Données :
- \(I = 4.0 \text{ mA} = 4.0 \times 10^{-3} \text{ A}\)
- \(A_s = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)
La densité de courant est \(J = 8000 \text{ A/m}^2\).
Quiz Intermédiaire : Unités
4. Calcul de la Vitesse de Dérive (\(v_d\))
On utilise la relation \(J = n q v_d\), donc \(v_d = \frac{J}{nq}\).
Données :
- \(J = 8000 \text{ A/m}^2\)
- \(n = 5.0 \times 10^{21} \text{ m}^{-3}\)
- \(q = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)
La vitesse de dérive des électrons est \(v_d \approx 9.99 \text{ m/s}\).
5. Calcul de la Mobilité des Électrons (\(\mu_e\))
La mobilité est donnée par \(\mu_e = \frac{v_d}{E}\).
Données :
- \(v_d \approx 9.9875 \text{ m/s}\)
- \(E = 200 \text{ V/m}\)
La mobilité des électrons est \(\mu_e \approx 0.0499 \text{ m}^2/(\text{V.s})\) (ou 499 cm²/(V.s)).
Quiz Intermédiaire : Mobilité
6. Calcul de la Conductivité (\(\sigma\))
La conductivité est \(\sigma = n q \mu_e\). Alternativement, \(\sigma = J/E\).
Données (méthode 1) :
- \(n = 5.0 \times 10^{21} \text{ m}^{-3}\)
- \(q = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)
- \(\mu_e \approx 0.0499375 \text{ m}^2/(\text{V.s})\)
Données (méthode 2) :
- \(J = 8000 \text{ A/m}^2\)
- \(E = 200 \text{ V/m}\)
Méthode 1 :
Méthode 2 :
La conductivité du silicium est \(\sigma = 40 \text{ S/m}\).
7. Calcul de la Résistivité (\(\rho\))
La résistivité est l'inverse de la conductivité : \(\rho = 1/\sigma\).
Donnée : \(\sigma = 40 \text{ S/m}\)
La résistivité du silicium est \(\rho = 0.025 \, \Omega \cdot \text{m}\).
8. Calcul de la Puissance (\(P\)) Dissipée
La puissance dissipée dans l'échantillon est \(P = VI\).
Données :
- \(V = 2.0 \text{ V}\)
- \(I = 4.0 \text{ mA} = 4.0 \times 10^{-3} \text{ A}\)
Alternativement, \(P = I^2 R\). D'abord, \(R = \rho L/A_s = (0.025 \, \Omega \cdot \text{m}) \times (0.01 \text{ m}) / (0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2) = 0.00025 / (0.5 \times 10^{-6}) = 500 \, \Omega\).
Alors \(P = (4.0 \times 10^{-3} \text{ A})^2 \times 500 \, \Omega = (16 \times 10^{-6}) \times 500 = 8000 \times 10^{-6} = 8.0 \times 10^{-3} \text{ W}\).
La puissance dissipée dans l'échantillon est \(P = 8.0 \text{ mW}\).
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Glossaire des Termes Clés
Mobilité des Porteurs de Charge (\(\mu\)) :
Mesure de la facilité avec laquelle un porteur de charge (électron ou trou) se déplace dans un matériau sous l'influence d'un champ électrique.
Vitesse de Dérive (\(v_d\)) :
Vitesse moyenne acquise par les porteurs de charge dans un matériau sous l'effet d'un champ électrique.
Densité de Courant (\(J\)) :
Vecteur dont le module est le courant électrique par unité d'aire de section transversale, et dont la direction est celle du mouvement des charges positives.
Conductivité Électrique (\(\sigma\)) :
Propriété d'un matériau à laisser passer le courant électrique. C'est l'inverse de la résistivité.
Résistivité Électrique (\(\rho\)) :
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. C'est l'inverse de la conductivité.
Semi-conducteur de Type n :
Semi-conducteur dopé avec des impuretés donatrices, où les porteurs de charge majoritaires sont les électrons.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Quels sont les principaux mécanismes de diffusion (scattering) qui limitent la mobilité des porteurs de charge dans un semi-conducteur ?
2. Comment la température affecte-t-elle typiquement la mobilité des électrons dans le silicium ? Expliquez les mécanismes impliqués.
3. Quelle est la différence entre la mobilité des électrons et la mobilité des trous dans un semi-conducteur ? Pourquoi sont-elles généralement différentes ?
4. Expliquez le phénomène de saturation de la vitesse de dérive à forts champs électriques.
5. Comment la mobilité des porteurs de charge influence-t-elle les performances des dispositifs semi-conducteurs tels que les transistors MOSFET ou les cellules solaires ?
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