Lumières et Ombres : Construire un Cadran Solaire Horizontal
📝 Situation du Projet
La commune de Saint-Lumière, située dans la vallée de la Drôme, souhaite réhabiliter le "Jardin des Sciences" du collège municipal Aimé Césaire. Au centre géographique exact de ce jardin se trouve un ancien piédestal en pierre calcaire, orienté approximativement vers le Sud, mais qui reste désespérément vide depuis des décennies. Suite à une initiative du conseil municipal des jeunes, un budget a été débloqué pour y installer une œuvre à la fois artistique et scientifique.
En tant qu'ingénieur junior au sein du bureau d'études "Lumière & Espace", spécialiste en optique géométrique et astronomie de position, vous avez été mandaté par le département d'éducation pour concevoir, dimensionner et superviser l'installation d'un cadran solaire horizontal précis sur ce support existant.
Ce projet dépasse la simple décoration : il doit servir d'outil pédagogique pérenne pour les classes de 5ème. Il permettra de démontrer in situ les principes fondamentaux de la propagation rectiligne de la lumière et la mécanique céleste (rotation de la Terre). Vous devez donc justifier chaque dimension par un calcul rigoureux, prouvant que l'ombre projetée indiquera l'heure solaire vraie avec une fiabilité exemplaire tout au long de l'année scolaire.
Votre objectif est de produire le dossier d'exécution (EXE) complet du cadran. Vous devez impérativement :
1. Déterminer l'angle de coupe du style (le gnomon) pour qu'il soit strictement parallèle à l'axe de rotation terrestre.
2. Calculer la position angulaire des lignes horaires sur la table du cadran en utilisant les lois de la projection gnomonique.
3. Fournir le plan de traçage définitif à l'échelle pour le tailleur de pierre.
"Note urgente du Responsable Qualité : Rappel de sécurité absolue à inclure dans le livrable : Ne jamais regarder le Soleil directement, même pour aligner le cadran, sous peine de lésions rétiniennes irréversibles. Utilisez toujours les ombres portées au sol. De plus, la précision du cadran dépend entièrement de la latitude locale. Une erreur de 1° dans vos calculs rendra l'heure fausse de plusieurs minutes !"
Pour mener à bien le dimensionnement, vous ne pouvez pas improviser. Vous devez vous appuyer sur un ensemble strict de paramètres géographiques et de lois physiques qui gouvernent notre système solaire. Ces valeurs sont immuables pour ce site spécifique.
📚 Cadre Normatif & Physique
Le projet respecte les principes suivants :
Les coordonnées suivantes ont été relevées par GPS différentiel au centre du piédestal. Elles constituent la base absolue de tout calcul d'angle.
| POSITION GÉOGRAPHIQUE | |
| Latitude Locale (\(\phi_{\text{lieu}}\)) | 45° Nord (ex: Bordeaux/Valence) |
| Longitude | 0° (Méridien de Greenwich) (Simplification) |
| CONTRAINTES DIMENSIONNELLES | |
| Longueur max. de la Table | 50 cm (Taille de la pierre existante) |
| Matériau du Style (Gnomon) | Tige en Laiton (Rigide, Inoxydable) |
📐 Constantes Astronomiques & Hypothèses
Le système solaire nous impose des vitesses et des cycles que nous ne pouvons modifier. Voici les valeurs à utiliser pour vos calculs de niveau Collège :
- Rotation de la Terre : 1 tour complet (360°) en 24 heures.
- Vitesse angulaire du Soleil : \( 360 / 24 = \) 15° par heure.
- Référence céleste : L'axe de la Terre pointe en permanence vers l'Étoile Polaire.
⚖️ Hypothèses Simplificatrices
Pour rendre l'exercice accessible, nous posons que :
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Latitude du lieu | \(\phi_{\text{lieu}}\) | 45 | Degrés (°) |
| Hauteur arbitraire du style | \(H_{\text{style}}\) | 15 | cm |
| Angle horaire solaire | \(\omega\) | 15 | ° / heure |
E. Protocole de Résolution
Pour construire ce cadran solaire fonctionnel, nous allons suivre une démarche scientifique rigoureuse, allant de la compréhension physique du phénomène jusqu'au calcul géométrique final.
Théorie de l'Ombre
Comprendre comment la lumière rectiligne crée une zone d'ombre et définir le rôle de l'obstacle (le style).
Géométrie du Style
Calculer l'angle d'inclinaison du gnomon en fonction de la latitude locale pour compenser la courbure terrestre.
Traçage des Heures
Déterminer géométriquement ou par calcul la position des lignes horaires sur la table horizontale.
Orientation Finale
Aligner le dispositif avec le Nord Géographique (Vrai) pour une lecture précise.
Lumières et Ombres : Construire un Cadran Solaire Horizontal
🎯 Objectif de l'étape
Avant de construire, nous devons valider le principe physique fondamental. L'objectif est de démontrer, par la modélisation géométrique, comment une ombre se forme et comment sa longueur varie en fonction de la position du Soleil. Nous allons prouver que la longueur de l'ombre portée est inversement proportionnelle à la hauteur du soleil dans le ciel.
📚 Référentiel Théorique
Loi de la propagation rectiligne de la lumière Théorème de Thalès & Trigonométrie (Tangente)Pour qu'un cadran solaire fonctionne avec précision, l'ombre projetée doit être "nette" et géométriquement prévisible. Cela implique que nous considérons la lumière comme se déplaçant en ligne droite parfaite. Si la lumière pouvait contourner les objets, il n'y aurait pas d'ombre franche. De plus, étant donné la distance Terre-Soleil (environ 150 millions de km), nous considérons que les rayons lumineux arrivant sur notre petit cadran de 50 cm sont strictement parallèles entre eux.
Dans un milieu transparent et homogène (comme l'air de notre jardin), la lumière se propage en ligne droite. Lorsqu'elle rencontre un objet opaque (le style en laiton), elle est bloquée. La zone située derrière l'objet, qui ne reçoit pas de rayons lumineux directs, s'appelle la zone d'ombre. La projection de cette zone sur une surface plane (la table horizontale) s'appelle l'ombre portée.
📋 Données d'Entrée & Hypothèses
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Hauteur verticale du style test (\(H\)) | 10 cm |
| Angle du soleil Hiver (\(\alpha_{\text{hiver}}\)) | 25° |
| Angle du soleil Été (\(\alpha_{\text{été}}\)) | 65° |
Plus le soleil est haut dans le ciel (été, midi), plus l'ombre est courte. Plus il est bas sur l'horizon (hiver, matin/soir), plus l'ombre s'allonge. C'est pourquoi la dimension de la table du cadran est critique : elle doit être assez grande pour contenir les ombres longues d'hiver, sinon l'heure ne sera pas lisible une partie de l'année !
📝 Calculs Détaillés : Vérification de la Longueur d'Ombre Hivernale
1. Pose de l'équation
Nous allons vérifier si une table standard de 50 cm de long est suffisante pour un style de 10 cm de haut lorsque le soleil est au plus bas (hiver à 25°). Nous cherchons la longueur \(L_{\text{hiver}}\).
2. Calcul de la tangente
Calculons d'abord la valeur de la tangente de 25 degrés.
3. Résolution numérique finale
Effectuons la division pour obtenir la longueur en centimètres.
Interprétation Physique : Avec une ombre calculée de 21,45 cm, notre table de 50 cm est largement suffisante. L'ombre ne "sortira" pas du cadran, même au cœur de l'hiver. Nous avons une marge de sécurité de plus de 28 cm.
Si nous avions trouvé une longueur de 200 cm, il aurait fallu soit réduire drastiquement la hauteur du style, soit agrandir la table. Ici, le rapport H/L est cohérent pour un usage scolaire.
Attention à la pénombre : si le bout du style est trop épais ou rond, l'extrémité de l'ombre sera floue sur la pierre. Il faut prévoir une pointe fine ou biseautée pour une lecture précise de l'heure.
🎯 Objectif de l'étape
C'est l'étape la plus critique de la conception. Pour qu'un cadran solaire indique la bonne heure toute l'année, son style ne doit pas simplement être vertical. Il doit être strictement parallèle à l'axe de rotation de la Terre. Nous devons donc calculer l'angle exact qu'il doit former avec le sol horizontal de Saint-Lumière.
📚 Référentiel
Géométrie sphérique (simplifiée) Coordonnées Terrestres (Latitude)Faisons une expérience de pensée géométrique. Imaginez que vous êtes au Pôle Nord. L'axe de rotation de la Terre est exactement vertical sous vos pieds (90°). À l'inverse, si vous êtes à l'Équateur, l'axe de la Terre est horizontal par rapport à vous (0°). Entre ces deux extrêmes, l'angle du style par rapport à l'horizontale locale est exactement égal à la latitude du lieu (\(\phi\)). C'est une règle d'or gnomonique absolue.
Le gnomon doit pointer vers le pôle céleste (très proche de l'Étoile Polaire dans l'hémisphère Nord). Pour ce faire, son angle d'élévation par rapport à l'horizon doit compenser la courbure de la Terre. Cet angle est fixe pour un lieu donné et ne dépend pas de la saison.
Formule de construction :
L'angle \(\alpha_{\text{style}}\) entre le style (l'hypoténuse du triangle que nous allons fabriquer) et la table horizontale est donné par la latitude \(\phi_{\text{lieu}}\).
Manipulation Géométrique : Cette formule découle directement de la géométrie de la sphère terrestre. Si l'horizon est tangent à la sphère et l'axe passe par le centre, l'angle entre l'axe et l'horizon correspond à la latitude.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Latitude locale (\(\phi_{\text{lieu}}\)) | 45° (Nord) |
| Type de cadran | Horizontal |
Vérifiez toujours votre latitude sur une carte ou un GPS. Une erreur de quelques kilomètres n'est pas grave, mais se tromper de 5 degrés rendra le cadran inutilisable.
📝 Calculs Détaillés : Définition de l'Angle de Coupe
1. Application Numérique
Le calcul est immédiat car le site est situé à la latitude exacte de 45° Nord.
Interprétation pour la Fabrication : Cela signifie que nous devons découper un triangle rectangle dont l'un des angles aigus est exactement de 45°. Dans ce cas particulier (45°), c'est un triangle isocèle rectangle ! La hauteur verticale du triangle sera égale à sa base horizontale. C'est la configuration la plus simple à tracer pour un artisan.
Si nous étions à Paris (49°), le style serait un peu plus redressé vers le ciel. À Marseille (43°), il serait plus couché vers l'horizon. La valeur de 45° est une valeur médiane parfaite pour un exercice pédagogique.
Le matériau du style doit être parfaitement rigide (laiton ou inox de forte section). S'il se tord avec le temps ou le vent, l'angle changera et le cadran deviendra faux. La découpe doit être précise au demi-degré près.
🎯 Objectif de l'étape
Où devons-nous tracer les lignes correspondant à 13h, 14h, 15h sur la pierre ? Contrairement à une montre, les angles ne sont pas réguliers (il n'y a pas 15° par heure sur le cadran, sauf si nous étions au Pôle Nord). Nous devons calculer l'angle \(A\) de chaque ligne horaire sur la table par rapport à la ligne de midi (la Méridienne) pour compenser la projection horizontale.
📚 Référentiel
Formule fondamentale des Cadrans Solaires HorizontauxLe Soleil tourne "apparemment" autour de l'axe de la Terre à une vitesse régulière de \(H = 15^\circ\) par heure (360° / 24h). Mais comme nous projetons ce mouvement régulier sur un plan horizontal (notre table) qui coupe l'axe terrestre en biais, cet angle se déforme géométriquement. La formule lie l'angle solaire \(H\) et la latitude \(\phi\) pour donner l'angle à tracer \(A\).
La surface du cadran (la table) coupe le cône des lignes horaires issues du style. Cette intersection crée des angles qui ne sont pas égaux. Les heures sont "tassées" autour de midi et "étirées" vers 6h et 18h.
Équation Fondamentale :
L'angle \(A\) de la ligne horaire sur la table est donné par l'équation suivante :
Détail de la manipulation algébrique pour isoler l'angle \(A\) (fonction ArcTan) :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Latitude (\(\phi\)) | 45° |
| Temps écoulé depuis midi solaire | 1 heure |
| Angle solaire (\(H\)) (1h x 15°) | 15° |
Les cadrans solaires sont symétriques par rapport à midi ! L'angle calculé pour 13h (1h après midi) est le même que pour 11h (1h avant midi), mais de l'autre côté.
📝 Calculs Détaillés : Angle pour 13h (et 11h par symétrie)
1. Calcul du coefficient de latitude
Calculons d'abord le sinus de la latitude.
2. Calcul de la tangente solaire
Calculons la tangente de l'heure solaire (15°).
3. Application de la formule (Produit)
Multiplions les deux termes pour obtenir \(\tan(A)\).
4. Récupération de l'angle (Arctan)
Inversons la tangente pour trouver l'angle final en degrés.
Interprétation du Résultat : Résultat surprenant ! Alors que le Soleil a bougé de 15° dans le ciel, sur notre cadran à 45° de latitude, l'ombre n'a bougé que de 10,7°. C'est la preuve mathématique de la déformation due à la projection horizontale. Les heures sont "resserrées" autour de midi.
Vérifions les extrêmes. À midi (0h), l'angle est 0°. À 18h (6h après midi, soit \(H=90^\circ\)), \(\tan(90)\) tend vers l'infini. Or, l'angle dont la tangente est infinie est 90°. La ligne de 18h est donc bien perpendiculaire au style. Nos calculs intermédiaires sont cohérents avec la théorie.
Ne confondez pas les degrés décimaux (10.7°) avec les degrés-minutes. Sur un rapporteur scolaire, visez entre 10 et 11 degrés, plus près de 11.
🎯 Objectif de l'étape
Un cadran solaire, aussi parfaitement calculé et construit soit-il, ne donnera l'heure juste que s'il est parfaitement orienté. Le style doit pointer vers le Nord Géographique (l'axe de rotation de la Terre) et non le Nord Magnétique (indiqué par la boussole), qui varie chaque année et peut différer de plusieurs degrés.
📚 Référentiel
Méthode du "Midi Solaire"La boussole n'est pas fiable pour la précision requise ici (Déclinaison magnétique). La méthode la plus sûre et la plus pédagogique pour un collégien est d'utiliser le Soleil lui-même comme référence. Au moment exact du "Midi Solaire Vrai", le Soleil culmine au plus haut dans le ciel et se trouve pile au Sud géographique. L'ombre projetée est alors la plus courte de la journée et indique le Nord géographique exact.
Le plan méridien est le plan Nord-Sud qui passe par le lieu d'observation. Quand le Soleil traverse ce plan, c'est le "midi" local.
Il s'agit d'une procédure géométrique in-situ basée sur l'observation de l'ombre minimale.
📋 Données d'Entrée
Heure du midi solaire local (à récupérer sur internet).
Attention, l'heure de votre montre (Heure Civile) n'est pas l'heure solaire ! En été en France, il est souvent 14h à la montre quand il est midi au soleil (GMT+2). Il faut donc faire l'alignement vers 14h (heure montre) pour capturer le vrai midi solaire.
📝 Calculs Détaillés : Protocole d'Installation sur Site
| Action | Détail Technique |
|---|---|
| 1. Pose Initiale | Poser le cadran sur le piédestal sans le fixer définitivement (vérifier l'horizontalité parfaite avec un niveau). |
| 2. Attente Stratégique | Attendre l'heure du midi solaire local (consultable sur une éphéméride web pour la longitude exacte de Saint-Lumière). |
| 3. Rotation Critique | À l'instant T précis, tourner doucement le cadran jusqu'à ce que l'ombre du style se superpose exactement à la ligne gravée de midi (XII). |
| 4. Fixation | Marquer la position et sceller le cadran. |
Si l'ombre à midi n'est pas alignée avec le XII, c'est que le cadran est mal orienté.
Le niveau à bulle est aussi important que la boussole. Une table penchée faussera tout.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse EXE)
Valeurs définies pour une latitude de 45° Nord.
L'Ingénieur Principal
Professeur Chronos
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