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Le trajet de Paul à l’école

Le Trajet de Paul à l’École (6ème)

Le Trajet de Paul à l’École (6ème)

En route pour l'école !

Chaque matin, Paul se rend à l'école. Comme beaucoup d'élèves, il effectue un trajet. En physique, on peut étudier ce trajet en s'intéressant à la distance qu'il parcourt, au temps qu'il met, et à sa vitesse. Cet exercice va nous permettre de calculer certains de ces éléments pour le trajet de Paul.

Énoncé de l'exercice : Le chemin de Paul

Paul habite à une certaine distance de son école. Il y va à pied tous les matins.

Informations sur le trajet de Paul :

  • Paul marche à une vitesse moyenne (\(v\)) de \(4 \, \text{kilomètres par heure (km/h)}\).
  • Il met \(15 \, \text{minutes (min)}\) pour aller de sa maison à l'école.
Schéma : De la maison de Paul à l'école
Maison École Paul Distance = ? km Vitesse: 4 km/h, Temps: 15 min

Paul marche de sa maison jusqu'à son école.

Questions à traiter

  1. Quelle est la formule qui relie la distance (\(d\)), la vitesse (\(v\)) et le temps (\(t\)) ? Comment l'utilises-tu pour trouver la distance ?
  2. La vitesse de Paul est donnée en \(\text{km/h}\), mais son temps de trajet est en minutes. Convertis le temps de trajet de Paul (\(15 \, \text{minutes}\)) en heures.
  3. En utilisant la vitesse de Paul et le temps de trajet en heures que tu viens de calculer, détermine la distance entre la maison de Paul et son école en kilomètres (\(\text{km}\)).
  4. Un jour, Paul part en retard et il ne lui reste que \(10 \, \text{minutes}\) pour arriver à l'école. S'il veut arriver à l'heure, quelle devrait être sa vitesse moyenne en \(\text{km/h}\) pour ce trajet (la distance reste la même que celle calculée à la question 3) ? (Pense à convertir les 10 minutes en heures d'abord).

Correction : Le trajet de Paul à l’école

Question 1 : Formule de la distance

Principe :

La distance parcourue par un objet qui se déplace à une vitesse constante est obtenue en multipliant sa vitesse par la durée de son déplacement.

Formule(s) utilisée(s) :

Si \(v\) est la vitesse, \(t\) le temps, et \(d\) la distance, alors :

\[ d = v \times t \]
Résultat Question 1 : Pour trouver la distance, on utilise la formule \(d = v \times t\).

Question 2 : Conversion du temps de trajet en heures

Principe :

Pour utiliser la formule de la distance avec une vitesse en \(\text{km/h}\), le temps doit aussi être exprimé en heures. Nous savons qu'il y a 60 minutes dans 1 heure.

Données spécifiques :
  • Temps de trajet de Paul : \(15 \, \text{minutes}\)
  • Rappel : \(1 \, \text{heure} = 60 \, \text{minutes}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Temps en heures} &= \frac{\text{Temps en minutes}}{60} \\ t &= \frac{15}{60} \, \text{h} \\ t &= \frac{1}{4} \, \text{h} \quad (\text{ou } 0.25 \, \text{h}) \end{aligned} \]

En effet, 15 minutes représentent un quart d'heure.

Résultat Question 2 : Le temps de trajet de Paul est de \(\frac{1}{4} \, \text{h}\) ou \(0.25 \, \text{h}\).

Question 3 : Calcul de la distance maison-école

Principe :

Nous utilisons la formule \(d = v \times t\) avec la vitesse de Paul et le temps de trajet converti en heures.

Données spécifiques :
  • Vitesse de Paul (\(v\)) : \(4 \, \text{km/h}\)
  • Temps de trajet (\(t\)) : \(0.25 \, \text{h}\) (ou \(\frac{1}{4} \, \text{h}\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= v \times t \\ d &= 4 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \times 0.25 \, \text{h} \\ d &= 1 \, \text{km} \end{aligned} \]

Ou avec la fraction : \(d = 4 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1}{4} \, \text{h} = \frac{4}{4} \, \text{km} = 1 \, \text{km}\).

Résultat Question 3 : La distance entre la maison de Paul et son école est de \(1 \, \text{km}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si Paul marchait deux fois plus vite (\(8 \, \text{km/h}\)) pendant les mêmes \(15 \, \text{minutes}\), la distance parcourue serait :

Question 4 : Vitesse nécessaire si Paul est en retard

Principe :

La distance jusqu'à l'école reste la même (\(1 \, \text{km}\)). Paul a un nouveau temps limite. Nous devons d'abord convertir ce nouveau temps en heures, puis utiliser la formule de la vitesse \(v = d/t\).

Données spécifiques :
  • Distance à parcourir (\(d\)) : \(1 \, \text{km}\)
  • Nouveau temps disponible (\(t_{\text{nouveau}}\)) : \(10 \, \text{minutes}\)
Conversion du nouveau temps en heures :
\[ \begin{aligned} t_{\text{nouveau en heures}} &= \frac{10 \, \text{minutes}}{60} \\ &= \frac{1}{6} \, \text{h} \end{aligned} \]
Calcul de la nouvelle vitesse nécessaire (\(v_{\text{nouveau}}\)) :
\[ \begin{aligned} v_{\text{nouveau}} &= \frac{d}{t_{\text{nouveau en heures}}} \\ v_{\text{nouveau}} &= \frac{1 \, \text{km}}{\frac{1}{6} \, \text{h}} \\ v_{\text{nouveau}} &= 1 \times 6 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} \\ v_{\text{nouveau}} &= 6 \, \text{km/h} \end{aligned} \]

Diviser par \(\frac{1}{6}\) revient à multiplier par 6.

Résultat Question 4 : Si Paul veut arriver en \(10 \, \text{minutes}\), il doit marcher à une vitesse moyenne de \(6 \, \text{km/h}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un cycliste roule à \(20 \, \text{km/h}\) pendant \(0.5 \, \text{heure}\) (30 minutes). Quelle distance parcourt-il ?

2. Si tu connais la distance et la vitesse, comment calcules-tu le temps ?

3. Paul parcourt \(1 \, \text{km}\) en \(15 \, \text{minutes}\). Si l'école était à \(2 \, \text{km}\) et qu'il marchait à la même vitesse, combien de temps mettrait-il ?

Glossaire des termes importants

Distance (\(d\))
La longueur du chemin parcouru entre un point de départ et un point d'arrivée. Unités courantes : mètre (m), kilomètre (km).
Vitesse (\(v\))
La rapidité avec laquelle un objet se déplace. C'est la distance parcourue pendant une certaine unité de temps. Unités courantes : kilomètre par heure (km/h), mètre par seconde (m/s).
Temps (\(t\))
La durée d'un événement ou d'un déplacement. Unités courantes : seconde (s), minute (min), heure (h).
Conversion d'unités
Changer une mesure d'une unité à une autre (par exemple, des minutes en heures) pour que les calculs soient corrects et les comparaisons possibles.
Formule \(d = v \times t\)
Permet de calculer la distance si on connaît la vitesse et le temps.
Formule \(v = d / t\)
Permet de calculer la vitesse si on connaît la distance et le temps.
Formule \(t = d / v\)
Permet de calculer le temps si on connaît la distance et la vitesse.
Le Trajet de Paul à l’École - Exercice d'Application (6ème)

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