Le Trajet de Paul à l'École
Contexte : La Vitesse MoyenneDistance parcourue divisée par le temps mis pour la parcourir..
Paul habite à 6 kilomètres de son collège. Chaque matin, il prend son vélo pour s'y rendre. Il part de chez lui à 07h45 et arrive au collège à 08h15. Dans cet exercice, nous allons analyser son trajet pour comprendre les notions de distance, de temps et de vitesse, qui sont fondamentales en physique au collège.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les unités de temps (convertir des minutes en heures) et à appliquer la formule de la vitesse moyenne \(v = d/t\) dans une situation concrète.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer une durée à partir d'horaires.
- Convertir des minutes en heures (notation décimale).
- Calculer une vitesse moyenne en km/h.
- Manipuler la formule de la vitesse pour trouver une distance.
- Utiliser la proportionnalité pour résoudre un problème de vitesse.
Données du problème
Fiche Technique du Trajet
| Information | Donnée |
|---|---|
| Moyen de transport | Vélo |
| Heure de départ | 07 h 45 |
| Heure d'arrivée | 08 h 15 |
| Distance parcourue | 6 km |
Schéma du Trajet
| Grandeur Physique | Symbole | Valeur donnée | Unité standard |
|---|---|---|---|
| Distance | \(d\) | 6 | kilomètres (km) |
| Temps (Durée) | \(t\) | ? | heures (h) ou min |
| Vitesse | \(v\) | ? | km/h |
Questions à traiter
- Calculer la durée du trajet en minutes.
- Convertir cette durée en heures (valeur décimale).
- Calculer la vitesse moyenne de Paul en km/h.
- Si Paul continue de rouler à cette vitesse (12 km/h) pendant 1h30, quelle distance parcourt-il ?
- Pour le retour, Paul est pressé et met seulement 20 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne au retour ?
Les bases sur la Vitesse
Pour décrire un mouvement, nous avons besoin de relier la distance parcourue au temps écoulé.
1. La Formule de la Vitesse Moyenne
La vitesse moyenne \(v\) se calcule en divisant la distance \(d\) par le temps \(t\) :
\[ v = \frac{d}{t} \]
2. Les Unités
Pour obtenir une vitesse en km/h, il faut absolument que :
- La distance soit en kilomètres (km).
- Le temps soit en heures (h).
Correction : Le Trajet de Paul à l'École
Question 1 : Calcul de la durée du trajet
Principe
La durée d'un événement se calcule en faisant la différence entre l'heure de fin et l'heure de début. C'est le temps qui s'écoule entre deux instants précis.
Mini-Cours
En sciences, la durée est l'intervalle de temps mesuré entre deux événements. On la note souvent \( \Delta t \) (delta t), ce qui signifie "variation de temps". Ici, nous utiliserons simplement \(t\) pour simplifier. Le calcul d'une durée est toujours une soustraction : \( \text{Temps Final} - \text{Temps Initial} \).
Remarque Pédagogique
Pour ne pas vous tromper, imaginez une horloge analogique (avec des aiguilles). Comptez visuellement les minutes qui séparent la position de la grande aiguille au départ (sur le 9 pour 45) et à l'arrivée (sur le 3 pour 15).
Normes
Nous utilisons ici le format horaire standard international sur 24 heures (comme 07h45), défini par la norme ISO 8601, qui est le standard universel pour éviter les confusions entre matin (AM) et après-midi (PM).
Formule(s)
La formule fondamentale pour trouver une durée :
Hypothèses
Pour que ce calcul soit valide, nous supposons que le trajet se déroule le même jour (pas de passage à minuit) et que les horloges de départ et d'arrivée sont parfaitement synchronisées à la même heure.
Donnée(s)
| Instant | Horaire relevé |
|---|---|
| Départ de la maison | 07h45 |
| Arrivée au collège | 08h15 |
Astuces
Utilisez la technique du "passage par l'heure pile" pour calculer de tête sans erreur :
- De 07h45 à 08h00, il manque 15 minutes pour finir l'heure.
- De 08h00 à 08h15, il s'écoule 15 minutes dans la nouvelle heure.
- 15 + 15 = 30 minutes. C'est souvent plus simple que de poser une soustraction !
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation sur l'axe du temps
Calcul(s)
Application de la soustraction des horaires :
Nous posons la soustraction entre l'heure d'arrivée et l'heure de départ :
Comme on ne peut pas soustraire 45 minutes de 15 minutes directement, on utilise la méthode de décomposition en passant par l'heure pile (voir Astuces) :
Cela revient à additionner le temps avant 8h et le temps après 8h :
On fait la somme :
Schéma (Après les calculs)
Représentation du résultat
Réflexions
Le résultat de 30 minutes est tout à fait cohérent. Pour un collégien qui se rend à l'école à vélo sur une distance de quelques kilomètres, c'est un temps de trajet standard. Si nous avions trouvé 3 minutes (trop rapide) ou 3 heures (trop lent), il aurait fallu s'inquiéter.
Points de vigilance
Erreur fréquente : Ne posez jamais une soustraction décimale comme \( 8,15 - 7,45 \). Le temps ne fonctionne pas en base 10 (comme les euros ou les mètres), mais en base 60 (sexagésimale). 1 heure = 60 minutes, pas 100 minutes !
Points à retenir
Pour calculer une durée, on cherche toujours l'écart entre le début et la fin. La méthode la plus sûre est de compter les minutes jusqu'à l'heure suivante, puis d'ajouter le reste.
Le saviez-vous ?
Pourquoi 60 minutes ? Ce système nous vient des Babyloniens, il y a plus de 4000 ans ! Ils utilisaient une numération en base 60 car 60 est un nombre très pratique qui se divise facilement par 2, 3, 4, 5 et 6.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Essayez avec d'autres horaires : Si Paul partait à 07h50 et arrivait à 08h20, quelle serait la durée de son trajet ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Question 1 :
Durée = Heure Fin - Heure Début.
Attention au système sexagésimal (base 60).
Question 2 : Conversion en heures
Principe
Pour utiliser la formule standard de la vitesse (en km/h), il est impératif que le temps soit exprimé avec la même unité : les heures. Nous devons donc traduire "30 minutes" en "nombre d'heures".
Mini-Cours
Une heure est composée de 60 minutes. Pour convertir n'importe quel nombre de minutes en heures, il faut effectuer une division par 60. Le résultat sera souvent un nombre à virgule (nombre décimal).
Remarque Pédagogique
Visualisez un gâteau coupé en 60 parts égales. Chaque part est une minute. Si vous prenez 30 parts, vous avez pris la moitié du gâteau. En mathématiques, la moitié se note 0,5.
Normes
Le symbole international de l'heure est "h" (minuscule). On écrit "0,5 h" et non "0,5 H" ou "0,5 hrs".
Formule(s)
La relation de conversion est :
Hypothèses
Nous considérons le temps comme une grandeur continue. La conversion est purement mathématique et ne dépend d'aucun facteur physique extérieur.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Temps en minutes | 30 min |
| Facteur de conversion | 1 h = 60 min |
Astuces
Mémorisez les quarts d'heure par cœur, cela sert tout le temps :
- 15 min = 0,25 h (un quart)
- 30 min = 0,5 h (une demie)
- 45 min = 0,75 h (trois quarts)
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons la proportion d'une heure avec une horloge.
Calcul(s)
On applique la formule de conversion en divisant le temps en minutes par 60 :
On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 30 :
La fraction un demi (\(1/2\)) s'écrit 0,5 en nombre décimal :
Schéma (Après les calculs)
Équivalence mathématique
Réflexions
Obtenir un chiffre "rond" comme 0,5 est très pratique pour les calculs suivants. Si nous avions eu 20 minutes, cela aurait donné 0,333... h, ce qui est plus difficile à manipuler.
Points de vigilance
Piège absolu : Ne jamais écrire que 30 minutes = 0,30 h ! C'est faux. 0,30 h correspondrait à \( 0,30 \times 60 = 18 \) minutes. Ne confondez pas les minutes avec les décimales.
Points à retenir
Pour passer des minutes aux heures, je divise TOUJOURS par 60.
Le saviez-vous ?
Lors de la Révolution française, un "temps décimal" a été inventé où la journée avait 10 heures, l'heure 100 minutes et la minute 100 secondes. C'était beaucoup plus simple pour les calculs, mais personne n'a réussi à changer ses habitudes !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Petit test rapide : Convertissez 15 minutes en heures.
Mini Fiche Mémo
Synthèse Question 2 :
Conversion minutes \(\rightarrow\) heures : Diviser par 60.
30 min = 0,5 h.
Question 3 : Calcul de la vitesse moyenne
Principe
La vitesse moyenne est une mesure de "rapidité". Elle représente le rapport entre la distance que l'on parcourt et le temps qu'il faut pour la parcourir. C'est une moyenne car Paul a pu accélérer ou ralentir pendant son trajet, mais on calcule comme s'il avait roulé régulièrement.
Mini-Cours
Une vitesse exprime une distance par unité de temps. L'unité "kilomètres par heure" (km/h) signifie littéralement : "combien de kilomètres je ferais si je continuais à rouler ainsi pendant une heure entière".
Remarque Pédagogique
Vérifiez toujours la cohérence de vos unités comme un puzzle : si vous avez des km et des h, vous obtiendrez des km/h. C'est automatique.
Normes
L'unité légale dans le Système International (utilisé par les physiciens) est le mètre par seconde (m/s). Cependant, dans le domaine des transports et de la vie quotidienne, le kilomètre par heure (km/h) est la norme universelle.
Formule(s)
La formule reine de la cinématique :
Hypothèses
Nous calculons ici une vitesse moyenne. Nous supposons que le trajet est continu (pas de pause boulangerie !) et nous ignorons les variations instantanées (feux rouges, côtes, descentes).
Donnée(s)
| Variable | Valeur |
|---|---|
| Distance (d) | 6 km |
| Temps (t) | 0,5 h |
Astuces
Astuce mathématique : Diviser par 0,5 revient exactement à multiplier par 2. C'est bon à savoir pour le calcul mental ! (Exemple : \( 10 / 0,5 = 20 \)).
Schéma (Avant les calculs)
Le concept : nous voulons étendre le trajet de 30 minutes à une heure complète.
Calcul(s)
On remplace les lettres par les valeurs numériques (d = 6 km et t = 0,5 h) :
Pour faciliter le calcul mental, remplaçons 0,5 par la fraction \(1/2\) :
En mathématiques, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse (l'inverse de \(1/2\) est \(2/1\), soit 2) :
Schéma (Après les calculs)
Compteur de Vitesse
Réflexions
Est-ce cohérent ? 12 km/h est une vitesse de vélo "tranquille" ou urbaine. Un cycliste sportif roule plutôt à 25-30 km/h. Pour un collégien avec son cartable en ville, c'est un résultat très réaliste.
Points de vigilance
N'oubliez jamais l'unité finale ! Écrire "v = 12" ne suffit pas et peut être compté faux. Est-ce des pommes ? Des mètres ? Non, ce sont des km/h.
Points à retenir
La formule \( v = \frac{d}{t} \) est à connaître par cœur. Elle relie les trois grandeurs fondamentales du mouvement.
Le saviez-vous ?
Le record du monde de vitesse à vélo (sur le plat, derrière un abri aérodynamique) dépasse les 296 km/h ! C'est Denise Mueller-Korenek qui l'a établi en 2018.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Petit défi : Si la distance était de 10 km et le temps de 2 h, quelle serait la vitesse ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Question 3 :
Vitesse = Distance / Temps.
Cohérence : km / h = km/h.
Question 4 : Calcul d'une distance
Principe
Ici, nous faisons l'inverse de la question précédente. On connaît la vitesse (la rapidité) et le temps (la durée), et on cherche à déterminer quelle distance a été couverte. C'est une application directe de la relation entre distance, vitesse et temps.
Mini-Cours
On peut transformer la formule de base \( v = \frac{d}{t} \). Si on veut isoler la distance \(d\), on multiplie la vitesse par le temps. Cela donne la formule : \( d = v \times t \).
Remarque Pédagogique
C'est intuitif : si je roule à 12 km/h, cela veut dire que je fais 12 km chaque heure. Donc en 2 heures, je fais 2 fois 12 km. On voit bien qu'il faut multiplier.
Normes
On conserve les unités précédentes pour rester cohérent : kilomètres (km) et heures (h).
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que Paul maintient sa vitesse moyenne de 12 km/h de manière constante pendant toute la durée de 1h30, sans se fatiguer ni s'arrêter.
Donnée(s)
| Variable | Valeur |
|---|---|
| Vitesse (v) | 12 km/h |
| Nouveau Temps (t) | 1h30 |
Astuces
Attention Danger : 1h30 n'est pas égal à 1,3 h ! 30 minutes, c'est la moitié d'une heure, donc 0,5. Ainsi, 1h30 s'écrit 1,5 h pour les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
On prolonge le trajet initial.
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion du temps
Convertissons d'abord le temps en heures décimales :
Étape 2 : Calcul de la distance
Appliquons maintenant la formule \(d = v \times t\) :
Pour le calcul mental, décomposons la multiplication (\(1,5 = 1 + 0,5\)) :
Cela revient à prendre la distance faite en 1h (12 km) et à ajouter la distance faite en une demi-heure (la moitié de 12, soit 6 km) :
Schéma (Après les calculs)
Distance trouvée
Réflexions
18 km est une distance importante à vélo, cela commence à faire une belle balade ! Cela montre qu'en maintenant une vitesse modérée mais constante, on peut parcourir de grandes distances.
Points de vigilance
L'erreur classique est de calculer \(12 \times 1,30\). Cela donnerait 15,6 km, ce qui est faux. N'oubliez jamais de convertir les minutes en heures décimales avant de multiplier.
Points à retenir
Pour trouver une distance, on multiplie la vitesse par le temps : \(d = v \times t\).
Le saviez-vous ?
Le compteur kilométrique d'une voiture calcule la distance en comptant simplement le nombre de tours que font les roues. Il multiplie ce nombre par la circonférence de la roue.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle distance parcourt-on à 10 km/h en 2h ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Question 4 :
Formule inverse : \(d = v \times t\).
1h30 = 1,5 h.
Question 5 : Vitesse du retour
Principe
Pour le retour, la distance à parcourir reste la même (le chemin entre le collège et la maison ne change pas), mais le temps de parcours est réduit. Si le temps diminue pour une même distance, la vitesse doit forcément augmenter. Nous allons quantifier cette augmentation.
Mini-Cours
Nous avons deux méthodes possibles : utiliser la formule \(v=\frac{d}{t}\) (qui demande de convertir 20 min en heures, ce qui donne une fraction périodique \(0,333...\)) ou utiliser la proportionnalité (produit en croix), souvent plus élégante et précise pour des durées comme 20 minutes.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous devez courir la même distance que votre ami, mais vous devez arriver avant lui. Vous allez devoir courir plus vite. C'est le principe ici : moins de temps = plus de vitesse.
Normes
Le résultat sera exprimé en km/h, l'unité standard de cet exercice.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le trajet retour fait exactement la même distance que l'aller (6 km), sans détour.
Donnée(s)
| Variable | Valeur |
|---|---|
| Distance Retour (d) | 6 km (identique) |
| Temps Retour (t) | 20 min |
Astuces
Remarquez que 20 minutes, c'est exactement un tiers d'heure. En effet, \(20 \times 3 = 60\). Cela va grandement simplifier le calcul mental.
Schéma (Avant les calculs)
Comparons visuellement la durée Aller (longue) et Retour (courte).
Calcul(s)
Méthode par proportionnalité (recommandée) :
On cherche combien de kilomètres Paul ferait en 60 minutes (1 heure) s'il gardait ce rythme. Nous savons qu'il fait 6 km en 20 min.
Pour passer de 20 min à 60 min, on multiplie le temps par 3 (car \(20 \times 3 = 60\)). On doit donc aussi multiplier la distance par 3 :
S'il est capable de parcourir 18 km en 1 heure, sa vitesse est donc de 18 km/h.
Méthode par formule (pour vérification) :
On convertit d'abord 20 min en heures sous forme de fraction pour rester précis (car \(20/60 = 0,333...\)) :
On applique ensuite la formule de la vitesse :
Diviser par \(1/3\) revient à multiplier par 3 :
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des vitesses
Réflexions
Il a gagné 10 minutes sur son trajet (passer de 30 à 20 min), Paul a dû augmenter sa vitesse de 6 km/h (passer de 12 à 18 km/h). C'est une augmentation de 50% de sa vitesse ! L'effort physique à fournir est bien plus important.
Points de vigilance
Si vous utilisez la calculatrice pour \(20 \div 60\), vous obtiendrez 0,333333... Si vous arrondissez à 0,33 et que vous faites \(6 \div 0,33\), vous trouverez 18,18 km/h, ce qui est imprécis. Gardez les fractions (\(1/3\)) ou utilisez la proportionnalité pour un résultat exact.
Points à retenir
Pour des durées comme 10, 15, 20, 30 minutes qui sont des fractions simples de 60, le calcul par proportionnalité (produit en croix) est souvent plus rapide et plus fiable.
Le saviez-vous ?
La résistance de l'air augmente avec le carré de la vitesse. Rouler à 18 km/h demande beaucoup plus que "juste un peu plus d'énergie" qu'à 12 km/h !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Dernier défi : S'il mettait 10 min pour faire 6 km, quelle serait sa vitesse ? (Indice : Dans 1h, il y a 6 fois 10 min)
Mini Fiche Mémo
Synthèse Question 5 :
Proportionnalité : si \(t\) divise par 3, \(v\) multiplie par 3.
Outil Interactif : Calculateur de Vitesse
Cet outil vous permet de simuler n'importe quel trajet. Modifiez la distance et le temps pour voir comment la vitesse évolue instantanément.
Paramètres
Résultats
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la formule correcte pour calculer la vitesse ?
2. Combien font 45 minutes en heures ?
Glossaire
- Vitesse Moyenne (\(v\))
- C'est la distance parcourue divisée par le temps mis pour la parcourir. Elle représente la rapidité du déplacement.
- Distance (\(d\))
- La longueur du trajet parcouru. Elle se mesure souvent en kilomètres (km) ou en mètres (m).
- Temps (\(t\))
- La durée du parcours. Attention aux conversions entre minutes et heures !
- Trajectoire
- Le chemin suivi par l'objet en mouvement dans l'espace.
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