Le Paradoxe des Jumeaux de Langevin
Comprendre la Dilatation du Temps en Relativité Restreinte
Le "paradoxe des jumeaux" est une expérience de pensée célèbre en relativité restreinte, proposée par Paul Langevin. Elle illustre un des effets les plus surprenants de cette théorie : la dilatation du temps. Selon la relativité restreinte, le temps ne s'écoule pas de la même manière pour deux observateurs en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre, surtout à des vitesses proches de celle de la lumière. Un observateur en mouvement verra le temps s'écouler plus lentement pour lui-même par rapport à un observateur resté fixe. Cet exercice explore les conséquences de ce phénomène sur l'âge de deux jumeaux.
Données de l'étude
- Vitesse constante du vaisseau spatial de Ben (pour l'aller et pour le retour, par rapport à la Terre) : \(\text{v} = 0,80 \text{c}\) (où \(\text{c}\) est la célérité de la lumière dans le vide).
- Pour Alex, resté sur Terre, le voyage aller de Ben jusqu'à l'étoile dure \(\Delta\text{t}_{\text{Alex, aller}} = 10 \, \text{ans}\).
- On néglige les phases d'accélération et de décélération du vaisseau.
- Célérité de la lumière dans le vide : \(\text{c} = 3,00 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (bien que pour cet exercice, travailler en fonction de \(\text{c}\) et en années sera plus simple).
- Facteur de Lorentz : \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\text{v}/\text{c})^2}}\)
- Relation de dilatation du temps : \(\Delta\text{t}_{\text{observateur fixe}} = \gamma \times \Delta\text{t}_{\text{observateur mobile}}\) (où \(\Delta\text{t}_{\text{observateur mobile}}\) est le temps propre).
Schéma : Le Voyage des Jumeaux
Illustration du voyage spatial de Ben par rapport à Alex resté sur Terre.
Questions à traiter
- Expliquer brièvement en quoi consiste le "paradoxe" apparent des jumeaux de Langevin.
- Calculer la valeur du facteur de Lorentz (\(\gamma\)) pour le voyage de Ben.
- Calculer la durée du voyage aller (\(\Delta\text{t}_{\text{Ben, aller}}\)) telle que mesurée par Ben dans son propre référentiel (temps propre).
- Ben effectue ensuite le voyage retour vers la Terre à la même vitesse \(\text{v}\). Quelle est la durée totale du voyage (\(\Delta\text{t}_{\text{Ben, total}}\)) mesurée par Ben ?
- Quelle est la durée totale du voyage (\(\Delta\text{t}_{\text{Alex, total}}\)) mesurée par Alex sur Terre ?
- Quels sont les âges respectifs d'Alex et de Ben lorsque Ben revient sur Terre ?
- Expliquer pourquoi il n'y a pas de réelle contradiction (paradoxe) dans ce résultat, en considérant la nature des référentiels des deux jumeaux.
Correction : Le Paradoxe des Jumeaux de Langevin
Question 1 : Explication du paradoxe apparent
Principe :
Le paradoxe apparent vient d'une application symétrique (et incorrecte) du principe de relativité.
Réponse :
Le "paradoxe" apparent des jumeaux de Langevin réside dans la situation suivante : du point de vue du jumeau resté sur Terre (Alex), le temps s'écoule plus lentement pour le jumeau voyageur (Ben) en raison de sa vitesse élevée. Ainsi, Ben devrait être plus jeune à son retour.
Cependant, si l'on se place du point de vue de Ben, c'est la Terre (et donc Alex) qui s'éloigne puis se rapproche à grande vitesse. Ben pourrait donc penser que c'est le temps d'Alex qui s'écoule plus lentement, et qu'Alex devrait être plus jeune à leurs retrouvailles. Il y a une contradiction apparente car les deux ne peuvent pas être plus jeunes l'un que l'autre.
Question 2 : Calcul du facteur de Lorentz (\(\gamma\))
Principe :
Le facteur de Lorentz \(\gamma\) dépend de la vitesse \(\text{v}\) du mobile par rapport à la célérité de la lumière \(\text{c}\).
Données spécifiques :
- Vitesse du vaisseau (\(\text{v}\)) : \(0,80 \text{c}\)
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
On a \(\text{v}/\text{c} = 0,80\).
On peut écrire \(\gamma = 1/0,6 = 10/6 = 5/3\).
Question 3 : Durée du voyage aller pour Ben (\(\Delta\text{t}_{\text{Ben, aller}}\))
Principe :
Le temps mesuré par Alex (\(\Delta\text{t}_{\text{Alex, aller}}\)) est le temps dilaté. Le temps propre, mesuré par Ben dans son vaisseau (\(\Delta\text{t}_{\text{Ben, aller}}\)), est plus court. La relation est \(\Delta\text{t}_{\text{Alex, aller}} = \gamma \times \Delta\text{t}_{\text{Ben, aller}}\).
Données spécifiques :
- Durée du voyage aller pour Alex (\(\Delta\text{t}_{\text{Alex, aller}}\)) : \(10 \, \text{ans}\)
- Facteur de Lorentz (\(\gamma\)) : \(5/3\)
Calcul :
Question 4 : Durée totale du voyage pour Ben (\(\Delta\text{t}_{\text{Ben, total}}\))
Principe :
Le voyage retour s'effectue à la même vitesse et, du point de vue de Ben, dure le même temps propre que l'aller.
Données spécifiques :
- Durée de l'aller pour Ben (\(\Delta\text{t}_{\text{Ben, aller}}\)) : \(6 \, \text{ans}\)
Calcul :
Question 5 : Durée totale du voyage pour Alex (\(\Delta\text{t}_{\text{Alex, total}}\))
Principe :
Le voyage retour, vu par Alex, dure également \(10 \, \text{ans}\) car la vitesse et la distance (du point de vue d'Alex) sont les mêmes que pour l'aller.
Données spécifiques :
- Durée de l'aller pour Alex (\(\Delta\text{t}_{\text{Alex, aller}}\)) : \(10 \, \text{ans}\)
Calcul :
On peut aussi vérifier avec la durée totale de Ben :
Quiz Intermédiaire 1 : Le temps propre est le temps mesuré :
Question 6 : Âges des jumeaux au retour de Ben
Principe :
L'âge final de chaque jumeau est son âge initial plus la durée du voyage mesurée dans son propre référentiel (ou le référentiel où il est resté fixe).
Données spécifiques :
- Âge initial des jumeaux : \(25 \, \text{ans}\)
- Durée du voyage pour Alex (\(\Delta\text{t}_{\text{Alex, total}}\)) : \(20 \, \text{ans}\)
- Durée du voyage pour Ben (\(\Delta\text{t}_{\text{Ben, total}}\)) : \(12 \, \text{ans}\)
Calculs :
Âge d'Alex au retour de Ben :
Âge de Ben à son retour sur Terre :
Question 7 : Résolution du paradoxe
Principe :
La clé pour résoudre le "paradoxe" réside dans la dissymétrie des situations des deux jumeaux. La relativité restreinte s'applique aux référentiels inertiels (en mouvement rectiligne uniforme).
Explication :
Il n'y a pas de réelle contradiction car les situations des deux jumeaux ne sont pas symétriques. Alex, resté sur Terre, peut être considéré comme étant dans un référentiel approximativement inertiel pendant toute la durée de l'expérience.
En revanche, Ben, le jumeau voyageur, ne reste pas dans un seul référentiel inertiel. Pour faire demi-tour et revenir sur Terre, il doit nécessairement subir des phases d'accélération, de décélération et de changement de direction. Pendant ces phases, son référentiel n'est pas inertiel. La relativité restreinte dans sa forme simple (utilisée pour la dilatation du temps) ne s'applique directement qu'aux observateurs dans des référentiels inertiels.
La dissymétrie vient du fait que Ben change de référentiel inertiel (il fait demi-tour), alors qu'Alex reste dans le même (approximativement). C'est cette rupture de symétrie qui fait que Ben est effectivement plus jeune à son retour. Les calculs de la relativité générale sont nécessaires pour traiter rigoureusement les phases d'accélération, mais le résultat de la relativité restreinte (Ben est plus jeune) reste qualitativement correct et est confirmé par des expériences (par exemple avec des horloges atomiques embarquées dans des avions).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La dilatation du temps signifie que, par rapport à un observateur fixe, le temps pour un observateur en mouvement rapide :
2. Le facteur de Lorentz \(\gamma\) est toujours :
3. La résolution du paradoxe des jumeaux repose sur le fait que :
Glossaire
- Relativité Restreinte
- Théorie physique proposée par Albert Einstein en 1905, qui décrit le mouvement des objets dans des référentiels inertiels, en particulier à des vitesses proches de celle de la lumière. Elle repose sur deux postulats : le principe de relativité et la constance de la vitesse de la lumière dans le vide.
- Dilatation du Temps
- Phénomène prédit par la relativité restreinte selon lequel le temps mesuré entre deux événements dépend du référentiel de l'observateur. Un intervalle de temps mesuré par une horloge en mouvement par rapport à un observateur est plus long (dilaté) que le temps propre mesuré par une horloge fixe par rapport aux événements.
- Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
- Facteur qui apparaît dans les équations de la relativité restreinte, dépendant de la vitesse relative \(\text{v}\) entre deux référentiels. \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - (\text{v}/\text{c})^2}\). Il est toujours \(\geq 1\).
- Temps Propre (\(\Delta\text{t}_0\) ou \(\Delta\tau\))
- Intervalle de temps mesuré par une horloge qui est au repos par rapport aux deux événements qui définissent cet intervalle (c'est-à-dire, les événements se produisent au même endroit dans le référentiel de cette horloge). C'est la durée la plus courte mesurable pour cet intervalle.
- Référentiel Inertiel (ou Galiléen)
- Référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : un corps isolé (non soumis à des forces) y est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.
- Célérité de la Lumière (\(\text{c}\))
- Vitesse de la lumière dans le vide, une constante universelle valant environ \(299 \, 792 \, 458 \, \text{m/s}\) (souvent arrondie à \(3,00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)).
Exercices de physique terminale:
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