Loi de la Gravitation Universelle
Calculer la force d'attraction gravitationnelle entre deux corps massifs.
La loi de la gravitation universelle, énoncée par Isaac Newton, décrit l'attraction gravitationnelle entre deux corps massifs. Elle stipule que deux corps de masses \(m_A\) et \(m_B\), dont les centres de masse sont séparés par une distance \(d\), exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction opposées, dirigées le long de la droite joignant leurs centres.
La valeur (ou norme) de ces forces, \(F_{A/B}\) (force exercée par A sur B) et \(F_{B/A}\) (force exercée par B sur A), est la même et est donnée par :
Où :
- \(F\) est la valeur de la force gravitationnelle en Newtons (N).
- \(G\) est la constante de gravitation universelle, \(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
- \(m_A\) et \(m_B\) sont les masses des deux corps en kilogrammes (kg).
- \(d\) est la distance entre les centres de masse des deux corps en mètres (m).
Données du Problème
On souhaite calculer la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et la Lune.
- Masse de la Terre : \(M_T = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}\)
- Masse de la Lune : \(M_L = 7.35 \times 10^{22} \text{ kg}\)
- Distance moyenne entre les centres de la Terre et de la Lune : \(d_{TL} = 3.84 \times 10^8 \text{ m}\)
- Constante de gravitation universelle : \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
Questions
- Rappeler l'expression littérale de la loi de la gravitation universelle donnant la valeur de la force d'attraction \(F\) entre deux corps A et B de masses \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\).
- Calculer la valeur de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune (\(F_{T/L}\)).
- Quelle est la valeur de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Lune sur la Terre (\(F_{L/T}\)) ? Justifier en citant le principe approprié.
- Si la distance entre la Terre et la Lune était doublée, par quel facteur la force gravitationnelle serait-elle modifiée ?
- Si la masse de la Lune était doublée (la distance restant la même), par quel facteur la force gravitationnelle serait-elle modifiée ?
Correction : Loi de la Gravitation Universelle
1. Expression Littérale de la Loi de Gravitation
La loi de la gravitation universelle de Newton décrit la force d'attraction entre deux masses.
La valeur de la force d'attraction gravitationnelle \(F\) entre deux corps A et B, de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), dont les centres sont séparés par une distance \(d\), est donnée par :
Où \(G\) est la constante de gravitation universelle.
L'expression est \( F = G \frac{m_A m_B}{d^2} \).
2. Calcul de la Force d'Attraction Terre-Lune (\(F_{T/L}\))
On applique la formule avec les données fournies pour la Terre et la Lune.
Données :
\(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
\(M_T = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}\)
\(M_L = 7.35 \times 10^{22} \text{ kg}\)
\(d_{TL} = 3.84 \times 10^8 \text{ m}\)
La force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune est \(F_{T/L} \approx 1.99 \times 10^{20} \text{ N}\).
Quiz Intermédiaire
3. Force d'Attraction Lune-Terre (\(F_{L/T}\))
On applique le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton).
D'après le principe des actions réciproques, la force exercée par la Lune sur la Terre (\(\vec{F}_{L/T}\)) est égale en valeur et opposée en sens à la force exercée par la Terre sur la Lune (\(\vec{F}_{T/L}\)).
Donc, leurs valeurs (normes) sont égales :
La valeur de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Lune sur la Terre est \(F_{L/T} \approx 1.99 \times 10^{20} \text{ N}\).
4. Effet du Doublement de la Distance
La force gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance (\(F \propto 1/d^2\)).
Données :
Nouvelle distance \(d' = 2d_{TL}\)
Soit \(F\) la force initiale et \(F'\) la nouvelle force.
Si la distance est doublée, la force gravitationnelle est divisée par \(2^2 = 4\).
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5. Effet du Doublement de la Masse de la Lune
La force gravitationnelle est directement proportionnelle au produit des masses (\(F \propto m_A m_B\)).
Données :
Nouvelle masse de la Lune \(M'_L = 2M_L\)
Distance \(d_{TL}\) inchangée
Soit \(F\) la force initiale et \(F''\) la nouvelle force.
Si la masse de la Lune est doublée (et les autres paramètres inchangés), la force gravitationnelle est doublée.
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Glossaire des Termes Clés
Gravitation Universelle :
Interaction fondamentale par laquelle deux corps massifs s'attirent mutuellement.
Force Gravitationnelle :
Force d'attraction entre deux objets due à leur masse. Elle est toujours attractive.
Masse (m) :
Mesure de la quantité de matière d'un objet et de son inertie. Unité : kilogramme (kg).
Distance (d) :
Dans le contexte de la gravitation entre corps étendus, il s'agit de la distance entre leurs centres de masse. Unité : mètre (m).
Constante de Gravitation Universelle (G) :
Constante physique fondamentale qui apparaît dans la loi de la gravitation de Newton. \(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
Principe des Actions Réciproques (Troisième loi de Newton) :
Si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce sur A une force de même valeur, de même direction, mais de sens opposé.
Poids :
Cas particulier de la force de gravitation, désignant la force exercée par un astre (comme la Terre) sur un objet à sa surface ou à proximité.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi la force de gravitation entre deux objets du quotidien (par exemple, deux personnes) est-elle généralement imperceptible, alors qu'elle est si importante entre les planètes ?
2. La force de gravitation est responsable des marées sur Terre. Expliquez brièvement comment l'attraction de la Lune (et du Soleil) provoque ce phénomène.
3. Qu'est-ce qu'un champ gravitationnel ? Comment est-il lié à la force de gravitation ?
4. La loi de la gravitation de Newton est-elle toujours valable ? Existe-t-il des théories plus générales de la gravitation ? (Indice : Einstein).
5. Comment la force de gravitation influence-t-elle la trajectoire des satellites artificiels autour de la Terre ?
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