Équation de la Trajectoire d’une Fusée
Contexte : Le mouvement d'un projectileLe mouvement d'un objet lancé dans les airs, soumis uniquement à l'accélération de la pesanteur..
L'étude de la trajectoire des projectiles est un pilier de la mécanique classique. Dans cet exercice, nous allons modéliser le lancement d'une petite fusée expérimentale depuis le sol. En appliquant les principes fondamentaux de la dynamique newtonienne, nous chercherons à établir l'équation mathématique qui décrit sa trajectoire, puis à calculer des grandeurs clés comme sa hauteur maximale (sa flècheLa hauteur maximale atteinte par un projectile au cours de son mouvement.) et la distance horizontale qu'elle parcourt (sa portéeLa distance horizontale totale parcourue par un projectile entre son point de lancement et son point de retombée au même niveau.).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de mouvement en deux dimensions, à appliquer la deuxième loi de Newton pour trouver les équations du mouvement, et à combiner ces équations pour analyser la trajectoire complète d'un système.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique en coordonnées cartésiennes.
- Établir les équations horaires et l'équation de la trajectoire d'un projectile.
- Calculer la flèche et la portée d'un tir.
- Comprendre l'influence des conditions initiales (vitesse, angle) sur la trajectoire.
Données de l'étude
Schéma du Lancement
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse initiale | \( v_0 \) | 100 m/s |
| Angle de tir | \( \alpha \) | 60° |
| Accélération de la pesanteur | \( g \) | 9.81 m/s² |
Questions à traiter
- Déterminer les composantes du vecteur accélération, puis par intégrations successives, établir les équations horaires du mouvement \( x(t) \) et \( y(t) \).
- À partir des équations horaires, éliminer le temps \( t \) pour obtenir l'équation de la trajectoire de la fusée, \( y(x) \).
- Calculer la hauteur maximale (flèche) \( H \) atteinte par la fusée.
- Calculer la distance horizontale maximale (portée) \( D \) parcourue par la fusée avant de toucher le sol.
- Calculer la durée totale du vol \( T_{\text{vol}} \) de la fusée.
Les bases de la Mécanique du Point
Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur les principes de la cinématique et de la dynamique du point matériel dans un champ de pesanteur uniforme. L'outil central est la deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique).
1. Deuxième loi de Newton
Elle stipule que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son accélération.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
Dans notre cas, la seule force est le poids \( \vec{P} = m \cdot \vec{g} \). L'accélération du centre de masse est donc égale à l'accélération de la pesanteur : \( \vec{a} = \vec{g} \).
2. Cinématique
Le vecteur vitesse \( \vec{v} \) est la primitive du vecteur accélération \( \vec{a} \), et le vecteur position \( \vec{OG} \) est la primitive du vecteur vitesse \( \vec{v} \).
\[ \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) \,dt + \vec{C_1} \quad ; \quad \vec{OG}(t) = \int \vec{v}(t) \,dt + \vec{C_2} \]
Les constantes d'intégration \( \vec{C_1} \) et \( \vec{C_2} \) sont déterminées grâce aux conditions initiales (position et vitesse à \( t=0 \)).
Correction : Équation de la Trajectoire d’une Fusée
Question 1 : Équations horaires du mouvement
Principe
Le concept physique ici est de décomposer un mouvement complexe en 2D en deux mouvements 1D plus simples (un horizontal, un vertical). En appliquant la loi fondamentale de la dynamique, on trouve l'accélération, puis on "remonte" le temps par intégration pour trouver la vitesse et enfin la position à chaque instant.
Mini-Cours
Le mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme est la superposition d'un mouvement rectiligne uniforme (MRU) sur l'axe horizontal (car aucune force ne s'y applique) et d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) sur l'axe vertical (car soumis à la force constante du poids).
Remarque Pédagogique
La clé est de traiter les axes x et y de manière totalement indépendante. Imaginez deux problèmes distincts : un objet glissant sans frottement sur une table (axe x) et un objet lancé verticalement en l'air (axe y). Le temps 't' est le seul lien entre ces deux mouvements.
Normes
Dans le cadre de la physique fondamentale, nous n'utilisons pas de norme d'ingénierie. Les calculs sont basés sur les lois de Newton, qui sont le fondement de la mécanique classique.
Formule(s)
Loi Fondamentale
Primitives
Hypothèses
Le cadre du calcul est défini par les simplifications suivantes :
- Le référentiel terrestre est considéré galiléen.
- La fusée est assimilée à un point matériel (sa taille et sa rotation sont négligées).
- La seule force agissant sur la fusée après le lancement est son poids (la résistance de l'air et la poussée du moteur sont négligées).
- L'accélération de la pesanteur \( \vec{g} \) est constante en norme et en direction.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont les conditions initiales du problème, projetées sur les axes.
| Vecteur | Composante en x | Composante en y |
|---|---|---|
| Position à t=0 : \( \vec{OG}(0) \) | \( x(0) = 0 \) | \( y(0) = 0 \) |
| Vitesse à t=0 : \( \vec{v}(0) \) | \( v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) \) | \( v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \) |
| Accélération \( \vec{a} \) | \( a_x = 0 \) | \( a_y = -g \) |
Astuces
Pour aller plus vite, on peut retenir directement les formules du MRU pour x (\(x = v_x t + x_0\)) et du MRUA pour y (\(y = \frac{1}{2} a_y t^2 + v_{0y} t + y_0\)) et remplacer par les conditions initiales, ce qui évite de refaire les intégrations à chaque fois.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Vitesse Initiale
Calcul(s)
On intègre une première fois les composantes de l'accélération pour obtenir celles de la vitesse. Cela fait apparaître deux constantes d'intégration, C₁ et C₂.
On détermine ces constantes en utilisant les conditions initiales à t=0. La vitesse à l'instant initial est connue, ce qui nous permet de trouver C₁ et C₂.
On remplace les constantes pour obtenir les équations finales de la vitesse.
On intègre une seconde fois les composantes de la vitesse pour obtenir celles de la position, ce qui fait apparaître deux nouvelles constantes, C₃ et C₄.
De la même manière, on utilise les conditions initiales de position (la fusée part de l'origine) pour trouver C₃ et C₄.
Schéma (Après les calculs)
Graphes des Équations Horaires
Réflexions
L'interprétation de ces résultats est que la fusée avance horizontalement à vitesse constante, tandis que son altitude augmente d'abord, atteint un maximum, puis diminue de manière symétrique sous l'effet de la gravité.
Points de vigilance
Le signe de g : L'erreur la plus commune est le signe de g. Comme l'axe y est orienté vers le haut, la projection de \( \vec{g} \) (qui pointe vers le bas) sur cet axe est négative (\( a_y = -g \)).
Angle en degrés/radians : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés pour le calcul de sin(60°) et cos(60°).
Points à retenir
Pour trouver les équations horaires d'un projectile :
1. Poser le PFD : \( \vec{a} = \vec{g} \).
2. Projeter sur les axes : \( a_x=0, a_y=-g \).
3. Intégrer une fois pour la vitesse, en utilisant \( \vec{v}(0) \) pour les constantes.
4. Intégrer une seconde fois pour la position, en utilisant \( \vec{OG}(0) \) pour les constantes.
Le saviez-vous ?
Galilée (1564-1642) fut le premier à établir que la trajectoire d'un projectile est une parabole. Il a compris que le mouvement pouvait être décomposé en une composante horizontale non affectée par la gravité et une composante verticale uniformément accélérée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les données de l'énoncé, quelle est la vitesse verticale \(v_y\) de la fusée à l'instant t = 5 s ?
Question 2 : Équation de la trajectoire y(x)
Principe
Le concept physique ici est de passer d'une description temporelle du mouvement (où est la fusée à l'instant t ?) à une description purement géométrique (quelle est la forme du chemin suivi ?). On cherche une relation \( y = f(x) \) en éliminant la variable commune, le temps \(t\).
Mini-Cours
L'équation de la trajectoire est une équation cartésienne qui lie les coordonnées spatiales d'un mobile. Elle est indépendante du temps et décrit la courbe géométrique dessinée par le mouvement. Pour l'obtenir, on exprime \(t\) à partir de l'équation la plus simple (souvent \(x(t)\)), puis on l'injecte dans l'autre équation (\(y(t)\)).
Remarque Pédagogique
Voyez cette étape comme un simple exercice de substitution mathématique. Vous avez deux équations et trois variables (x, y, t). Le but est de se débarrasser de 't' pour ne garder qu'une relation entre x et y. L'équation la plus simple pour isoler 't' est celle du mouvement uniforme, \(x(t)\).
Normes
Pas de norme applicable. Il s'agit d'une manipulation mathématique standard des équations de la cinématique.
Formule(s)
On utilise les deux équations horaires trouvées précédemment :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. On suppose en plus que le tir n'est pas vertical (\(\alpha \neq 90^\circ\)), ce qui garantit que \( \cos(\alpha) \neq 0 \) et que l'on peut bien diviser par ce terme pour isoler \(t\).
Donnée(s)
Cette étape est purement littérale et ne requiert pas de nouvelles données numériques.
Astuces
Lors de la simplification, souvenez-vous de l'identité trigonométrique \( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha) \). Cela permet de rendre l'équation finale plus compacte et plus facile à interpréter.
Schéma (Avant les calculs)
Trajectoire Parabolique
Calcul(s)
On commence par isoler la variable temps \( t \) à partir de l'équation horaire la plus simple, celle de la position horizontale \( x(t) \).
Ensuite, on substitue cette expression de \( t \) dans l'équation de la position verticale \( y(t) \). Chaque 't' est remplacé par la fraction que nous venons de trouver.
Finalement, on simplifie l'expression. On développe le carré, on annule les termes \( v_0 \) dans la seconde partie, et on utilise la relation \( \tan(\alpha) = \sin(\alpha) / \cos(\alpha) \) pour obtenir la forme finale.
Schéma (Après les calculs)
Équation de la Trajectoire
Réflexions
L'équation obtenue, \( y(x) = A x^2 + B x \), est celle d'une parabole passant par l'origine, avec une concavité vers le bas (car \(A < 0\)). Ceci confirme mathématiquement la forme de la trajectoire que l'on observe intuitivement.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier de mettre au carré tous les termes de la fraction lors de la substitution de \(t^2\). L'erreur classique est d'oublier de mettre \(v_0\) ou \(\cos(\alpha)\) au carré.
Points à retenir
Pour obtenir l'équation d'une trajectoire :
1. Partir des deux équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\).
2. Isoler \(t\) de l'équation la plus simple (généralement \(x(t)\)).
3. Remplacer cette expression de \(t\) dans l'autre équation (\(y(t)\)).
4. Simplifier l'expression finale.
Le saviez-vous ?
Les grandes pièces d'artillerie utilisées pendant les guerres mondiales, comme la "Grosse Bertha" allemande, nécessitaient des tables de tir extrêmement complexes calculées à la main. Ces tables prenaient en compte non seulement l'angle et la vitesse, mais aussi la résistance de l'air, le vent, et même la rotation de la Terre (force de Coriolis).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les données de l'énoncé, calculez l'altitude \(y\) de la fusée lorsqu'elle a parcouru une distance horizontale \(x = 100\) m.
Question 3 : Calcul de la hauteur maximale (Flèche H)
Principe
La flèche est le point le plus haut de la trajectoire. Physiquement, c'est l'instant où la fusée arrête de monter pour commencer à descendre. À ce moment précis, sa vitesse verticale devient nulle. C'est la clé du calcul.
Mini-Cours
En analyse mathématique, le maximum d'une fonction (ici \(y(t)\)) est atteint lorsque sa dérivée s'annule. La dérivée de la position \(y(t)\) par rapport au temps est la vitesse verticale \(v_y(t)\). Donc, chercher le maximum de \(y(t)\) revient à trouver l'instant \(t\) où \(v_y(t)=0\).
Remarque Pédagogique
La méthode la plus simple est en deux étapes : 1. Utilisez l'équation de la vitesse verticale \(v_y(t)\) pour trouver le temps \(t_H\) nécessaire pour atteindre le sommet. 2. Injectez ce temps \(t_H\) dans l'équation de l'altitude \(y(t)\) pour trouver la hauteur maximale \(H\).
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Condition du Sommet
Équation de la Flèche
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment. On suppose un tir vers le haut (\(\alpha > 0\)) pour qu'il y ait une flèche.
Donnée(s)
On utilise les données initiales fournies dans l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 100 | m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 60 | ° |
| Pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Une fois la formule littérale \( H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} \) démontrée, vous pouvez la réutiliser directement dans d'autres exercices sans la redémontrer, sauf si on vous le demande explicitement. C'est une formule classique à connaître.
Schéma (Avant les calculs)
Sommet de la Trajectoire
Calcul(s)
On part de la condition au sommet (\( v_y = 0 \)) et on résout pour trouver le temps \(t_H\).
On applique les valeurs numériques pour trouver la valeur de ce temps.
Maintenant, on substitue l'expression littérale de \(t_H\) dans l'équation de \(y(t)\) pour trouver la formule de la flèche H. On simplifie ensuite l'expression.
Enfin, on applique les valeurs numériques à la formule finale de H pour obtenir le résultat.
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire avec Flèche Calculée
Réflexions
Le résultat montre que la fusée atteint une altitude considérable. La hauteur maximale dépend fortement du carré de la vitesse initiale et de l'angle de tir, ce qui est cohérent : plus on tire fort et verticalement, plus ça monte haut.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre \(\sin^2(\alpha)\) et \(\sin(\alpha^2)\). La première notation signifie \((\sin(\alpha))^2\). Sur la calculatrice, il faut calculer le sinus de l'angle d'abord, puis élever ce résultat au carré.
Points à retenir
Le sommet de la trajectoire est caractérisé par une vitesse verticale nulle (\(v_y = 0\)). C'est la condition physique qui permet de trouver à la fois le temps pour l'atteindre et son altitude.
Le saviez-vous ?
Pour mettre un satellite en orbite, on ne cherche pas à maximiser la flèche, mais à atteindre une vitesse horizontale très élevée à une certaine altitude. Si cette vitesse est suffisante (environ 7.9 km/s pour l'orbite basse), l'objet "tombe" en permanence mais sa vitesse horizontale est si grande que la courbure de la Terre "s'échappe" sous lui : il est en orbite !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle de tir était de 90° (tir vertical), quelle serait la flèche ?
Question 4 : Calcul de la portée du tir D
Principe
La portée est la distance horizontale totale parcourue. Elle correspond à la position \(x\) de la fusée lorsqu'elle revient à son altitude de départ, c'est-à-dire quand \(y=0\). Le problème revient donc à trouver la racine non nulle de l'équation de la trajectoire \(y(x)=0\).
Mini-Cours
Une équation du second degré de la forme \(Ax^2 + Bx = 0\) se factorise en \(x(Ax+B)=0\). Elle admet toujours deux solutions : une solution évidente \(x=0\), et une autre solution \(x = -B/A\). Dans notre contexte, \(x=0\) est le point de départ, et l'autre solution est la portée.
Remarque Pédagogique
Deux méthodes sont possibles : 1) Résoudre \(y(x)=0\) pour trouver directement \(D\). 2) Utiliser la symétrie : trouver le temps total de vol \(T_{\text{vol}}\) (qui est le double du temps pour atteindre la flèche, \(t_H\)) et calculer la distance horizontale parcourue pendant ce temps : \(D = x(T_{\text{vol}})\).
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Condition de Portée
Formule simplifiée
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes. On suppose que le sol est plat.
Donnée(s)
On utilise les données initiales fournies dans l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 100 | m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 60 | ° |
| Pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
La formule \(D = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\) montre que la portée est maximale lorsque \(\sin(2\alpha)\) est maximal, c'est-à-dire \(\sin(2\alpha)=1\). Ceci arrive pour \(2\alpha = 90^\circ\), donc \(\alpha = 45^\circ\). C'est l'angle optimal pour un tir de portée maximale.
Schéma (Avant les calculs)
Portée de la Trajectoire
Calcul(s)
On établit la formule littérale de la portée en résolvant \( y(D)=0 \) et en écartant la solution triviale D=0. La simplification finale utilise les identités trigonométriques \( \tan(\alpha) = \sin(\alpha) / \cos(\alpha) \) et \( \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \).
On applique les valeurs numériques à cette formule pour trouver la portée du tir.
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire avec Portée Calculée
Réflexions
La portée de près de 900 mètres est significative. On remarque que pour des angles complémentaires (ex: 30° et 60°), la portée est la même. En effet, \(\sin(2 \times 30^\circ) = \sin(60^\circ)\) et \(\sin(2 \times 60^\circ) = \sin(120^\circ)\), et on sait que \(\sin(x) = \sin(180^\circ - x)\).
Points de vigilance
Ne pas oublier que la formule de la portée n'est valable que si le point d'arrivée est à la même altitude que le point de départ. Si on tire du haut d'une falaise, le calcul est différent !
Points à retenir
La portée \(D\) est la distance horizontale maximale pour une altitude de retour nulle. La formule \(D = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\) est un résultat classique et très utile.
Le saviez-vous ?
Lors du programme Apollo, les astronautes ont joué au golf sur la Lune. Avec une gravité six fois plus faible (\(g \approx 1.62\) m/s²), la portée d'une même frappe y serait environ six fois plus grande que sur Terre, atteignant des distances de plus d'un kilomètre !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la portée si on utilisait l'angle optimal de 45° ?
Question 5 : Calcul de la durée totale du vol
Principe
Le temps de vol est la durée totale pendant laquelle la fusée est en l'air. Il correspond à l'intervalle de temps entre le lancement (\(t=0\)) et l'atterrissage. On le trouve en cherchant l'instant \(t > 0\) pour lequel l'altitude \(y(t)\) redevient nulle.
Mini-Cours
Pour une trajectoire parabolique symétrique (départ et arrivée à la même altitude), le temps de montée jusqu'à la flèche est exactement égal au temps de descente. Par conséquent, une méthode rapide pour trouver le temps total de vol est de calculer le temps pour atteindre le sommet (\(t_H\)) et de le multiplier par deux.
Remarque Pédagogique
La méthode la plus directe est de résoudre l'équation \(y(t) = 0\). C'est une équation du second degré en \(t\), qui donnera deux solutions : \(t=0\) (le départ) et \(t=T_{\text{vol}}\) (l'arrivée), qui est la valeur que nous cherchons.
Normes
Pas de norme applicable.
Formule(s)
Condition de retour au sol
Formule directe
Hypothèses
Les mêmes hypothèses s'appliquent.
Donnée(s)
On utilise les données initiales fournies dans l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 100 | m/s |
| Angle de tir | \(\alpha\) | 60 | ° |
| Pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Si vous avez déjà calculé la portée \(D\) et la vitesse horizontale \(v_x\), vous pouvez trouver le temps de vol très rapidement avec la formule du mouvement uniforme : \(D = v_x \cdot T_{\text{vol}} \Rightarrow T_{\text{vol}} = D / v_x\).
Schéma (Avant les calculs)
Durée du Vol
Calcul(s)
On résout \( y(t) = 0 \). On peut factoriser par t, ce qui donne deux solutions : t=0 (le départ) et la solution que l'on cherche, \( T_{\text{vol}} \).
Il ne reste plus qu'à faire l'application numérique avec les données de l'énoncé.
Schéma (Après les calculs)
Durée du Vol Calculée
Réflexions
Un temps de vol de près de 18 secondes est cohérent avec la portée et la flèche calculées. Ce résultat confirme que le temps de vol dépend directement de la composante verticale de la vitesse initiale (\(v_0 \sin(\alpha)\)) : plus on lance haut, plus le vol dure longtemps.
Points de vigilance
Lorsque vous résolvez \(y(t)=0\), n'oubliez pas que \(t=0\) est une solution. Ne la donnez pas comme réponse finale ! La solution recherchée est l'autre racine, non nulle.
Points à retenir
Le temps de vol total pour un retour à l'altitude de départ est toujours le double du temps mis pour atteindre la hauteur maximale. C'est une conséquence directe de la symétrie de la trajectoire parabolique.
Le saviez-vous ?
Les feux d'artifice sont un excellent exemple de balistique. Les "bombes" sont lancées par un mortier selon une trajectoire parabolique. Une mèche à combustion lente est conçue pour faire exploser la bombe précisément au sommet de sa trajectoire (le point de flèche), là où sa vitesse est minimale, pour créer l'effet visuel le plus large et le plus symétrique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la durée du vol si la fusée était lancée avec le même angle mais sur Mars, où \(g \approx 3.71\) m/s² ?
Outil Interactif : Simulateur de Trajectoire
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier la vitesse initiale et l'angle de lancement de la fusée. Observez en temps réel comment ces paramètres influencent la trajectoire, la portée et la hauteur maximale du vol.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la forme de la trajectoire d'un projectile en l'absence de frottements ?
2. Au sommet de la trajectoire, quelle affirmation est correcte ?
3. Pour quelle valeur de l'angle de tir \( \alpha \) la portée est-elle maximale (pour une vitesse \( v_0 \) donnée) ?
4. Si on double la vitesse initiale \( v_0 \), comment évolue la portée \( D \) (en gardant l'angle constant) ?
5. Que décrit la composante \(x(t)\) du mouvement ?
Glossaire
- Trajectoire
- L'ensemble des positions successives occupées par un point matériel au cours de son mouvement.
- Flèche
- L'altitude maximale atteinte par le projectile, mesurée par rapport à son point de départ.
- Portée
- La distance horizontale maximale parcourue par le projectile lorsqu'il retombe à son altitude de départ.
- Équations horaires
- Équations qui décrivent les coordonnées de la position (x, y, z) d'un mobile en fonction du temps t.
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