Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Collision dans l’Espace

Collision dans l’Espace : Conservation de la Quantité de Mouvement

Collision Inélastique dans l’Espace

Comprendre les Collisions et la Conservation de la Quantité de Mouvement

En physique, une collision est une interaction brève et intense entre deux ou plusieurs corps qui modifie leur mouvement. Dans un système isolé (où aucune force extérieure nette n'agit), la quantité de mouvement totale du système est conservée avant, pendant et après la collision. La quantité de mouvement \(\vec{p}\) d'un objet est le produit de sa masse \(m\) et de son vecteur vitesse \(\vec{v}\) : \(\vec{p} = m\vec{v}\).

Les collisions peuvent être classées en plusieurs types. Une collision est dite parfaitement inélastique (ou "molle") si les corps restent liés après l'impact et se déplacent ensemble avec une vitesse commune. Dans ce type de collision, l'énergie cinétique totale du système n'est généralement pas conservée ; une partie est transformée en d'autres formes d'énergie (chaleur, déformation, son, etc.).

Données de l'étude

Deux astéroïdes, A et B, se déplacent l'un vers l'autre dans l'espace lointain, loin de toute influence gravitationnelle significative. Ils entrent en collision et restent accrochés l'un à l'autre.

Informations sur les astéroïdes avant la collision (dans un référentiel galiléen) :

  • Astéroïde A :
    • Masse (\(m_A\)) : \(1,00 \times 10^4 \, \text{kg}\)
    • Vitesse initiale (\(v_{A,i}\)) : \(+20,0 \, \text{m/s}\) (dirigée vers la droite sur un axe Ox)
  • Astéroïde B :
    • Masse (\(m_B\)) : \(3,00 \times 10^4 \, \text{kg}\)
    • Vitesse initiale (\(v_{B,i}\)) : \(-10,0 \, \text{m/s}\) (dirigée vers la gauche sur le même axe Ox)
Schéma : Collision Inélastique de Deux Astéroïdes
Avant Collision A (m_A) v_Ai B (m_B) v_Bi Après Collision A+B (m_A+m_B) v_f Ox

Schéma illustrant la collision frontale et inélastique de deux astéroïdes A et B.

Questions à traiter

  1. Définir la quantité de mouvement d'un système. Énoncer le principe de conservation de la quantité de mouvement pour un système isolé.
  2. Calculer la quantité de mouvement \(\vec{p}_{A,i}\) de l'astéroïde A avant la collision et la quantité de mouvement \(\vec{p}_{B,i}\) de l'astéroïde B avant la collision.
  3. Calculer la quantité de mouvement totale du système \(\{\text{Astéroïde A + Astéroïde B}\}\) avant la collision, \(\vec{p}_{\text{totale},i}\).
  4. Après la collision, les deux astéroïdes forment un seul bloc de masse \(M = m_A + m_B\). En appliquant le principe de conservation de la quantité de mouvement, déterminer le vecteur vitesse \(\vec{v}_f\) (valeur et sens) de ce bloc juste après la collision.
  5. Calculer l'énergie cinétique totale du système avant la collision (\(E_{c,i}\)).
  6. Calculer l'énergie cinétique totale du système après la collision (\(E_{c,f}\)).
  7. Calculer la variation d'énergie cinétique (\(\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}\)) lors de la collision. Conclure sur la nature de la collision (élastique ou inélastique). Sous quelle(s) forme(s) l'énergie "perdue" a-t-elle pu être transformée ?

Correction : Collision dans l’Espace

Question 1 : Quantité de mouvement et sa conservation

Définition et Principe :

La **quantité de mouvement** \(\vec{p}\) d'un point matériel de masse \(m\) et de vitesse \(\vec{v}\) est le produit de sa masse par son vecteur vitesse :

\[ \vec{p} = m \vec{v} \]

C'est une grandeur vectorielle, exprimée en \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\) dans le Système International.

Le **principe de conservation de la quantité de mouvement** stipule que, pour un système isolé (c'est-à-dire un système qui n'est soumis à aucune force extérieure nette, ou dont la somme vectorielle des forces extérieures est nulle), la quantité de mouvement totale du système reste constante au cours du temps.

\[ \text{Si } \Sigma \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}, \text{ alors } \vec{p}_{\text{système}} = \text{constante} \]

Lors d'une collision entre deux corps A et B formant un système isolé, la quantité de mouvement totale du système avant la collision est égale à la quantité de mouvement totale du système après la collision.

Résultat Question 1 : \(\vec{p} = m\vec{v}\). Pour un système isolé, \(\vec{p}_{\text{totale}}\) est conservée.

Question 2 : Quantités de mouvement initiales \(\vec{p}_{A,i}\) et \(\vec{p}_{B,i}\)

Principe :

On applique la définition \(\vec{p} = m\vec{v}\) à chaque astéroïde, en tenant compte du sens des vitesses sur l'axe Ox.

Données spécifiques :
  • \(m_A = 1,00 \times 10^4 \, \text{kg}\) ; \(v_{A,i} = +20,0 \, \text{m/s}\)
  • \(m_B = 3,00 \times 10^4 \, \text{kg}\) ; \(v_{B,i} = -10,0 \, \text{m/s}\)
Calculs :

Pour l'astéroïde A (projection sur Ox) :

\[ \begin{aligned} p_{A,i} &= m_A \times v_{A,i} \\ &= (1,00 \times 10^4 \, \text{kg}) \times (20,0 \, \text{m/s}) \\ &= 2,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]

Pour l'astéroïde B (projection sur Ox) :

\[ \begin{aligned} p_{B,i} &= m_B \times v_{B,i} \\ &= (3,00 \times 10^4 \, \text{kg}) \times (-10,0 \, \text{m/s}) \\ &= -3,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • \(\vec{p}_{A,i}\) a pour composante \(p_{A,i} = +2,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\) sur Ox.
  • \(\vec{p}_{B,i}\) a pour composante \(p_{B,i} = -3,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\) sur Ox.

Question 3 : Quantité de mouvement totale initiale \(\vec{p}_{\text{totale},i}\)

Principe :

La quantité de mouvement totale du système avant la collision est la somme vectorielle des quantités de mouvement individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \vec{p}_{\text{totale},i} = \vec{p}_{A,i} + \vec{p}_{B,i} \]

En projection sur l'axe Ox :

\[ p_{\text{totale},i} = p_{A,i} + p_{B,i} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{\text{totale},i} &= (2,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}) + (-3,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}) \\ &= -1,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La quantité de mouvement totale du système avant la collision a pour composante \(p_{\text{totale},i} = -1,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\) sur Ox.

Question 4 : Vitesse finale \(\vec{v}_f\) du bloc {A+B}

Principe :

Le système {Astéroïde A + Astéroïde B} est considéré comme isolé pendant la collision. Sa quantité de mouvement totale se conserve. Après la collision, les deux astéroïdes forment un seul bloc de masse \(M = m_A + m_B\) se déplaçant à une vitesse \(\vec{v}_f\).

Application de la conservation :
\[ \vec{p}_{\text{totale},i} = \vec{p}_{\text{totale},f} \]
\[ \vec{p}_{\text{totale},f} = (m_A + m_B) \vec{v}_f = M \vec{v}_f \]

En projection sur l'axe Ox :

\[ p_{\text{totale},i} = M v_f \]
\[ v_f = \frac{p_{\text{totale},i}}{M} = \frac{p_{\text{totale},i}}{m_A + m_B} \]
Données spécifiques :
  • \(p_{\text{totale},i} = -1,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\)
  • \(m_A = 1,00 \times 10^4 \, \text{kg}\)
  • \(m_B = 3,00 \times 10^4 \, \text{kg}\)
  • \(M = m_A + m_B = 4,00 \times 10^4 \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_f &= \frac{-1,00 \times 10^5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{4,00 \times 10^4 \, \text{kg}} \\ &= -0,25 \times 10^{5-4} \, \text{m/s} \\ &= -0,25 \times 10^1 \, \text{m/s} \\ &= -2,50 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le bloc se déplace vers la gauche sur l'axe Ox après la collision.

Résultat Question 4 : La vitesse du bloc {A+B} après la collision est \(\vec{v}_f\) de composante \(v_f = -2,50 \, \text{m/s}\) sur Ox (vers la gauche).

Question 5 : Énergie cinétique totale avant la collision (\(E_{c,i}\))

Principe :

L'énergie cinétique d'un objet est \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). L'énergie cinétique totale du système est la somme des énergies cinétiques de chaque astéroïde.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{c,i} = E_{c,A,i} + E_{c,B,i} = \frac{1}{2} m_A v_{A,i}^2 + \frac{1}{2} m_B v_{B,i}^2 \]
Données spécifiques :
  • \(m_A = 1,00 \times 10^4 \, \text{kg}\) ; \(v_{A,i} = 20,0 \, \text{m/s}\)
  • \(m_B = 3,00 \times 10^4 \, \text{kg}\) ; \(v_{B,i} = -10,0 \, \text{m/s}\) (note : \(v^2\) sera positif)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c,A,i} &= \frac{1}{2} (1,00 \times 10^4 \, \text{kg}) (20,0 \, \text{m/s})^2 \\ &= 0,5 \times 10^4 \times 400 \, \text{J} \\ &= 200 \times 10^4 \, \text{J} = 2,00 \times 10^6 \, \text{J} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_{c,B,i} &= \frac{1}{2} (3,00 \times 10^4 \, \text{kg}) (-10,0 \, \text{m/s})^2 \\ &= 0,5 \times 3,00 \times 10^4 \times 100 \, \text{J} \\ &= 150 \times 10^4 \, \text{J} = 1,50 \times 10^6 \, \text{J} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_{c,i} &= (2,00 \times 10^6 \, \text{J}) + (1,50 \times 10^6 \, \text{J}) \\ &= 3,50 \times 10^6 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie cinétique totale du système avant la collision est \(E_{c,i} = 3,50 \times 10^6 \, \text{J}\).

Question 6 : Énergie cinétique totale après la collision (\(E_{c,f}\))

Principe :

Après la collision, les deux astéroïdes forment un seul bloc de masse \(M = m_A + m_B\) se déplaçant à la vitesse \(v_f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{c,f} = \frac{1}{2} M v_f^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) v_f^2\]
Données spécifiques :
  • \(M = 4,00 \times 10^4 \, \text{kg}\)
  • \(v_f = -2,50 \, \text{m/s}\) (de la question 4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c,f} &= \frac{1}{2} (4,00 \times 10^4 \, \text{kg}) (-2,50 \, \text{m/s})^2 \\ &= 0,5 \times 4,00 \times 10^4 \times 6,25 \, \text{J} \\ &= 2,00 \times 10^4 \times 6,25 \, \text{J} \\ &= 12,5 \times 10^4 \, \text{J} \\ &= 1,25 \times 10^5 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'énergie cinétique totale du système après la collision est \(E_{c,f} = 1,25 \times 10^5 \, \text{J}\).

Question 7 : Variation d'énergie cinétique et nature de la collision

Principe :

La variation d'énergie cinétique est \(\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}\). Si \(\Delta E_c = 0\), la collision est élastique. Si \(\Delta E_c < 0\), la collision est inélastique (perte d'énergie cinétique). Si \(\Delta E_c > 0\), la collision est explosive (gain d'énergie cinétique, par exemple par une réaction chimique interne).

Calcul de \(\Delta E_c\) :
\[ \begin{aligned} \Delta E_c &= (1,25 \times 10^5 \, \text{J}) - (3,50 \times 10^6 \, \text{J}) \\ &= (0,125 \times 10^6 \, \text{J}) - (3,50 \times 10^6 \, \text{J}) \\ &= (0,125 - 3,50) \times 10^6 \, \text{J} \\ &= -3,375 \times 10^6 \, \text{J} \end{aligned} \]
Conclusion sur la nature de la collision :

Puisque \(\Delta E_c < 0\), il y a une perte d'énergie cinétique. La collision est donc **inélastique**. Le fait que les deux corps restent accrochés ensemble caractérise une collision **parfaitement inélastique**.

Transformation de l'énergie "perdue" :

L'énergie cinétique "perdue" n'a pas réellement disparu mais a été transformée en d'autres formes d'énergie, telles que :

  • Chaleur (augmentation de la température interne des astéroïdes).
  • Énergie de déformation (les astéroïdes peuvent s'être déformés ou fragmentés partiellement lors de l'impact avant de s'agglomérer).
  • Énergie sonore (si le milieu le permettait, mais négligeable dans l'espace lointain).
Résultat Question 7 : La variation d'énergie cinétique est \(\Delta E_c = -3,375 \times 10^6 \, \text{J}\). La collision est inélastique (et même parfaitement inélastique). L'énergie cinétique perdue a été principalement transformée en chaleur et en énergie de déformation.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. Dans un système isolé, quelle grandeur est toujours conservée lors d'une collision ?

9. Une collision est dite parfaitement inélastique si :

10. La quantité de mouvement d'un objet de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est :

Glossaire

Quantité de Mouvement (\(\vec{p}\))
Grandeur vectorielle égale au produit de la masse d'un objet par son vecteur vitesse (\(\vec{p} = m\vec{v}\)). Elle caractérise l'état de mouvement d'un corps. Unité SI : \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\).
Conservation de la Quantité de Mouvement
Principe selon lequel, en l'absence de forces extérieures nettes agissant sur un système, la quantité de mouvement totale de ce système reste constante.
Système Isolé
Système qui n'interagit pas avec l'extérieur, ou sur lequel la somme des forces extérieures est nulle.
Collision
Interaction brève et intense entre deux ou plusieurs corps qui modifie leur mouvement.
Collision Élastique
Collision au cours de laquelle l'énergie cinétique totale du système est conservée (en plus de la quantité de mouvement).
Collision Inélastique
Collision au cours de laquelle l'énergie cinétique totale du système n'est pas conservée (une partie est transformée en d'autres formes d'énergie, comme la chaleur ou la déformation).
Collision Parfaitement Inélastique (Molle)
Type de collision inélastique où les corps restent liés (collés) après l'impact et se déplacent avec une vitesse commune. La perte d'énergie cinétique est maximale dans ce cas (tout en conservant la quantité de mouvement).
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie que possède un corps en raison de son mouvement. \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). Unité : Joule (J).
Collision dans l’Espace - Exercice d'Application (Physique Université)

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