Calculs sur la Photosynthèse
📝 Situation du Projet
Bienvenue au laboratoire de recherche avancée AgroTech Future. Dans le cadre du programme spatial "Terra-Nova", nous développons des modules de survie autonomes capables de générer de l'oxygène et de la nourriture pour les astronautes lors de missions de longue durée. Le cœur de ce système repose sur un bioréacteur végétal cultivant une espèce modifiée de basilic à haut rendement photosynthétique.
En tant qu'Ingénieur Biochimiste en chef, vous êtes responsable du dimensionnement des intrants et des extrants de ce système. Nous devons s'assurer que pour une masse donnée de dioxyde de carbone (\(\text{CO}_2\)) traitée par les plantes, la production de glucose (énergie pour l'équipage) et de dioxygène (\(\text{O}_2\)) est conforme aux prévisions théoriques. Une erreur de calcul pourrait compromettre l'équilibre atmosphérique de la station.
Vous devez réaliser le bilan de matière complet de la réaction de photosynthèse. À partir d'une consommation journalière fixe de dioxyde de carbone, vous calculerez précisément la masse d'eau nécessaire, ainsi que les masses de sucre et d'oxygène produites.
"Attention, la loi de Lavoisier est absolue : 'Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme'. Assurez-vous que l'équation bilan soit parfaitement équilibrée avant de lancer le moindre calcul de masse, sinon tout le dimensionnement du système de support de vie sera faux."
L'étude repose sur les constantes physico-chimiques standards et les spécifications de consommation du bioréacteur modèle "Agro-V4". Pour mener à bien ces calculs, nous devons nous appuyer sur des valeurs atomiques précises issues de la classification périodique, ainsi que sur les contraintes opérationnelles du système.
📚 Référentiel Scientifique
Loi de Conservation de la MasseClassification PériodiqueLes masses molaires atomiques ci-dessous indiquent la masse d'une mole d'atomes (soit \(6,02 \times 10^{23}\) atomes). C'est la "brique élémentaire" de poids pour nos calculs.
| MASSES ATOMIQUES MOLAIRES (M) | |
| Carbone (\(\text{C}\)) | \(12,0 \text{ g/mol}\) |
| Hydrogène (\(\text{H}\)) | \(1,0 \text{ g/mol}\) |
| Oxygène (\(\text{O}\)) | \(16,0 \text{ g/mol}\) |
📐 Paramètres Opérationnels
- Consommation cible de CO2 : \(44,0 \text{ g / cycle}\)
- Molécule produite (Sucre) : Glucose (\(\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6\))
- Pression atmosphérique standard : \(1013 \text{ hPa}\)
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse Carbone | \(M_{\text{C}}\) | 12,0 | g/mol |
| Masse Hydrogène | \(M_{\text{H}}\) | 1,0 | g/mol |
| Masse Oxygène | \(M_{\text{O}}\) | 16,0 | g/mol |
| Masse CO2 Intrant | \(m_{\text{CO}_2}\) | 44,0 | g |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la validité scientifique de nos résultats, nous suivrons rigoureusement les étapes suivantes :
Équilibrage Chimique
Établir l'équation bilan respectant la conservation des atomes.
Calculs Molaires
Déterminer la masse d'une mole pour chaque molécule impliquée.
Quantification des Réactifs
Convertir la masse de CO2 consommée en quantité de matière (moles).
Bilan de Production
Déduire les masses de Glucose et d'Oxygène produites grâce à la stœchiométrie.
Calculs sur la Photosynthèse
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de définir la relation mathématique exacte entre les réactifs (ce qui entre) et les produits (ce qui sort). En chimie, on ne peut pas faire de calculs de masse sans une "recette" précise qui respecte la conservation de la matière. Nous devons trouver les coefficients stœchiométriques qui assurent qu'il y a exactement le même nombre d'atomes de Carbone, d'Hydrogène et d'Oxygène de chaque côté de la flèche réactionnelle.
📚 Référentiel
Loi de LavoisierConservation des atomesPour équilibrer cette équation, je procède par ordre de complexité. Je regarde d'abord la molécule la plus complexe : le Glucose (\(\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6\)). Elle impose d'avoir 6 Carbones et 12 Hydrogènes. Je vais donc devoir ajuster les molécules simples (\(\text{CO}_2\) et \(\text{H}_2\text{O}\)) du côté des réactifs pour fournir ces atomes. Enfin, je terminerai par l'ajustement de l'Oxygène seul (\(\text{O}_2\)), qui est facile à équilibrer car il est pur.
Une équation chimique décrit une transformation. À gauche de la flèche, nous avons les Réactifs qui disparaissent. À droite, les Produits qui apparaissent. Les nombres placés devant les molécules sont appelés coefficients stœchiométriques : ils indiquent les proportions, un peu comme le nombre d'œufs et de grammes de farine dans une recette de cuisine. La loi de Lavoisier impose que la masse totale des réactifs soit égale à la masse totale des produits.
Le nombre d'atomes de chaque élément doit être identique des deux côtés.
Cela s'applique séparément pour le Carbone (C), l'Hydrogène (H) et l'Oxygène (O).
📋 Données d'Entrée
| Molécule | Formule |
|---|---|
| Dioxyde de Carbone | \(\text{CO}_2\) |
| Eau | \(\text{H}_2\text{O}\) |
| Glucose | \(\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6\) |
| Dioxygène | \(\text{O}_2\) |
Commencez toujours par équilibrer les atomes qui n'apparaissent que dans une seule molécule de chaque côté (ici le C et le H). Gardez l'atome qui apparait partout (ici le O) pour la fin, car il servira de variable d'ajustement.
📝 Calcul Détaillé : Résolution pas-à-pas
1. Équilibrage du Carbone (C)Il y a 6 atomes C dans le glucose (\(\text{C}_6\)) à droite. Il faut donc 6 molécules de \(\text{CO}_2\) à gauche pour compenser.
Le carbone est équilibré (6 à gauche, 6 à droite).
2. Équilibrage de l'Hydrogène (H)Il y a 12 atomes H dans le glucose (\(\text{H}_{12}\)) à droite. Comme l'eau (\(\text{H}_2\text{O}\)) en apporte 2 par molécule, il nous faut 6 molécules d'eau à gauche (\(6 \times 2 = 12\)).
L'hydrogène est équilibré (12 à gauche, 12 à droite).
3. Équilibrage Final de l'Oxygène (O)Comptons les Oxygènes à gauche : \((6 \times 2) + (6 \times 1) = 18\) atomes. À droite, le glucose en prend 6. Il reste donc \(18 - 6 = 12\) atomes à fournir par le dioxygène. Comme \(\text{O}_2\) va par paire, il faut 6 molécules (\(6 \times 2 = 12\)).
Tout est équilibré. L'équation respecte la conservation de la matière.
Cette équation finale nous indique les proportions exactes : pour fabriquer 1 molécule de sucre, la plante doit impérativement consommer 6 molécules de dioxyde de carbone et 6 molécules d'eau. C'est un rapport fixe et immuable qui dictera tous les calculs de masse suivants.
Nous avons bien 6 C, 12 H et 18 O de chaque côté. L'équilibre est parfait, la matière est conservée.
Ne jamais modifier les indices en bas à droite des formules (ex: écrire \(\text{CO}_3\) pour équilibrer est interdit, cette molécule n'existe pas dans ce contexte). Seuls les coefficients multiplicateurs placés devant les molécules peuvent être changés.
🎯 Objectif
Nous allons maintenant calculer la masse d'une "mole" pour chaque acteur de la réaction. Une mole est un paquet gigantesque de molécules (\(6,02 \times 10^{23}\) pour être précis), utilisé par les chimistes pour manipuler des quantités macroscopiques. Connaître la masse d'un paquet (Masse Molaire) nous permettra de passer des grammes aux moles.
📚 Référentiel
Tableau PériodiqueDéfinition Masse MolaireC'est comme peser un panier de fruits. Si je connais le poids d'une pomme, d'une banane et d'une orange, je peux calculer le poids d'un panier composé de 6 pommes, 12 bananes et 6 oranges. Ici, mes "fruits" sont les atomes (C, H, O) et mes "paniers" sont les molécules (\(\text{CO}_2\), Glucose, etc.). Je dois sommer les masses atomiques.
La masse molaire atomique est la masse d'une mole d'atomes d'un élément donné. Elle se lit dans le tableau périodique. La masse molaire moléculaire est simplement l'addition de ces masses atomiques, en tenant compte du nombre de fois où chaque atome apparaît dans la molécule.
La masse molaire \(M\) d'une molécule est la somme des masses molaires atomiques de tous les atomes qui la constituent.
Où \(n\) est le nombre d'atomes et \(M\) la masse atomique.
📋 Données d'Entrée
| Atome | Masse Molaire (g/mol) |
|---|---|
| C | 12,0 |
| H | 1,0 |
| O | 16,0 |
N'oubliez pas les coefficients en indice ! Dans \(\text{H}_2\text{O}\), le "2" ne s'applique qu'au H, pas au O.
📝 Calcul Détaillé par Molécule
1. Masse Molaire du Dioxyde de Carbone (\(\text{CO}_2\))Composé de 1 atome de Carbone et 2 atomes d'Oxygène.
Une mole de CO2 pèse 44 grammes.
2. Masse Molaire de l'Eau (\(\text{H}_2\text{O}\))Composée de 2 atomes d'Hydrogène et 1 atome d'Oxygène.
Une mole d'eau pèse 18 grammes.
La grosse molécule : 6 Carbones, 12 Hydrogènes, 6 Oxygènes.
Une mole de glucose pèse 180 grammes.
4. Masse Molaire du Dioxygène (\(\text{O}_2\))Une mole d'O2 pèse 32 grammes.
Nous disposons désormais des facteurs de conversion pour passer du monde microscopique (moles) au monde macroscopique (grammes) pour toutes nos molécules.
La molécule de glucose est beaucoup plus lourde que l'eau ou le CO2, ce qui est logique car elle contient 24 atomes contre 3 pour les autres. L'ordre de grandeur (180g) est correct pour un sucre simple.
Attention à ne pas confondre la masse molaire (\(M\)) avec la masse d'un échantillon (\(m\)). \(M\) est une constante fixe pour une molécule donnée, alors que \(m\) dépend de la quantité que l'on possède.
🎯 Objectif
Nous savons que le système consomme 44 g de CO2. Mais l'équation chimique (la recette) ne parle pas en grammes, elle parle en nombre de molécules (ou en moles). Pour utiliser nos proportions (les fameux "6 pour 1"), nous devons impérativement traduire cette masse en quantité de matière "n" (nombre de paquets).
📚 Référentiel
Définition de la MoleConstante d'AvogadroSi j'ai une valise de 44 kg et que je sais que chaque lingot pèse 44 kg, alors j'ai exactement 1 lingot. Ici c'est pareil : j'ai 44 g de gaz, et je viens de calculer à l'étape précédente qu'une mole de ce gaz pèse exactement 44 g. Le calcul s'annonce simple mais c'est le pivot de tout l'exercice.
La quantité de matière, notée \(n\) et exprimée en moles (mol), représente le nombre d'entités élémentaires. C'est l'unité de compte du chimiste. La masse \(m\) est ce qu'on pèse sur la balance. Le lien entre les deux est la masse molaire \(M\).
La quantité de matière \(n\) (en mol) est le rapport entre la masse \(m\) (en g) et la masse molaire \(M\) (en g/mol).
Plus la masse molaire est grande, moins il y a de moles pour une même masse donnée. Cette formule permet de convertir une grandeur macroscopique (masse) en grandeur chimique (moles).
📋 Données d'Entrée
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Masse de CO2 consommée (\(m\)) | \(44,0 \text{ g}\) |
| Masse Molaire CO2 (\(M\)) | \(44,0 \text{ g/mol}\) |
Vérifiez toujours que votre masse est bien en grammes (g) pour correspondre à l'unité de la masse molaire (g/mol). Si vous aviez des kg, il faudrait convertir ! L'homogénéité des unités est cruciale en physique-chimie.
📝 Calcul Détaillé
Calcul du nombre de moles de CO2 (\(n_{\text{CO}_2}\))Nous appliquons la formule \(n = m/M\). On divise la masse de l'échantillon par la masse d'une seule mole.
Le résultat est exactement 1. Nous introduisons donc exactement une mole de réactif carboné dans le réacteur.
Nous faisons réagir exactement 1 mole de dioxyde de carbone. Cela va grandement simplifier l'utilisation des coefficients proportionnels de l'équation bilan, car nous pourrons lire les résultats presque directement.
Le résultat 1 mol est "rond", ce qui est attendu dans un exercice d'introduction. Si nous avions trouvé 0,0003 mol ou 5000 mol, il aurait fallu revérifier la conversion des unités.
Ne confondez pas \(n\) (quantité) et \(M\) (masse molaire). Ici les valeurs numériques sont proches (1 et 44), mais dans d'autres cas elles n'ont rien à voir. Toujours écrire les unités pour ne pas se perdre.
🎯 Objectif
C'est l'étape finale du dimensionnement. Nous allons utiliser l'équation équilibrée (Question 1) comme un tableau de proportionnalité pour prédire combien de moles de Glucose et d'Oxygène vont apparaître. Ensuite, nous reconvertirons ces moles en grammes pour obtenir les masses tangibles attendues pour le rapport technique.
📚 Référentiel
Proportions StœchiométriquesConversion Mole-MasseRegardons notre recette : \(6 \text{CO}_2 \rightarrow 1 \text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6 + 6 \text{O}_2\).
Cela signifie que pour 6 doses de CO2, je ne gagne qu'1 seule dose de sucre, mais je récupère 6 doses d'oxygène. Puisque je ne mets en jeu que 1 mole de CO2 (soit 6 fois moins que la recette de base), je produirai 6 fois moins de sucre, mais la même proportion d'oxygène (ratio 1:1).
Dans une réaction complète, les quantités de matière des produits sont proportionnelles aux coefficients stœchiométriques. Si l'équation dit \(aA \rightarrow bB\), alors \(\frac{n(A)}{a} = \frac{n(B)}{b}\). C'est le principe de la règle de trois appliqué à la chimie.
1. Stœchiométrie : Calcul des moles produites.
2. Masse finale : Retour aux grammes.
📋 Données d'Entrée
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| \(n_{\text{CO}_2}\) (disponible) | \(1,0 \text{ mol}\) |
| Coeff. CO2 | 6 |
| Coeff. Glucose | 1 |
| Coeff. Oxygène | 6 |
Pour le calcul des masses, gardez les valeurs exactes (fractions) le plus longtemps possible pour éviter les erreurs d'arrondi. Par exemple, utilisez \(1/6\) plutôt que \(0,166666...\).
📝 Calcul Détaillé : Dimensionnement
A. Calcul des moles de Glucose (\(n_{\text{Glu}}\))Le ratio est de 1 glucose pour 6 CO2. On divise donc la quantité de CO2 par 6.
Nous produisons une fraction de mole de sucre.
B. Conversion en masse du Glucose (\(m_{\text{Glu}}\))On multiplie le résultat (en moles) par la masse molaire du glucose (180 g/mol) pour obtenir des grammes.
Nous produisons donc 30 grammes de matière organique.
C. Calcul des moles d'Oxygène (\(n_{\text{O}_2}\))Le ratio est de 6 O2 pour 6 CO2, soit 1 pour 1. La quantité de matière est donc identique.
Nous produisons autant de moles d'O2 que nous consommons de CO2.
D. Conversion en masse d'Oxygène (\(m_{\text{O}_2}\))On multiplie le résultat par la masse molaire du dioxygène (32 g/mol).
Nous produisons donc 32 grammes d'oxygène pur.
Le système de support vie est efficace : pour chaque cylindre de 44g de gaz carbonique traité, nous récupérons 30g de nutriments solides et 32g de gaz respirable.
Vérifions si la masse se conserve.
Entrée : 44g CO2 + Eau. Combien d'eau ? Pour 1 mol de CO2, il faut 1 mol d'eau (coeff 6 et 6), soit 18g.
Masse totale Entrée = \(44 + 18 = 62\) g.
Masse totale Sortie = \(30\) (Sucre) + \(32\) (Oxygène) = \(62\) g.
62g = 62g. La loi de Lavoisier est parfaitement respectée !
Attention, ces masses sont théoriques (rendement de 100%). Dans un vrai bioréacteur, le rendement biologique serait inférieur, et une partie du sucre serait consommée par la plante elle-même pour respirer la nuit.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/2024 | Création du document / Première diffusion | Ing. Chef |
| Masse de CO2 consommée | \(44,0 \text{ g}\) |
| Masse Molaire CO2 | \(44,0 \text{ g/mol}\) |
| Rendement de réaction | 100% (Théorique) |
Résultats obtenus par application des ratios stœchiométriques (1/6 pour le glucose, 1/1 pour l'oxygène).
Dr. A. Lavoisier
Prof. Photosys
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