Calcul du Travail et de l’Énergie : Le Skieur
Contexte : L'étude du mouvement et de l'énergie.
En physique, comprendre comment l'énergie se transforme est fondamental. Cet exercice se concentre sur deux types d'énergie clés : l'énergie potentielle de pesanteurÉnergie qu'un objet possède en raison de sa position en hauteur dans un champ de gravité., liée à l'altitude, et l'énergie cinétiqueÉnergie qu'un objet possède en raison de son mouvement. Elle dépend de la masse et de la vitesse de l'objet., liée à la vitesse. Nous étudierons le cas d'un skieur dévalant une pente pour voir comment ces énergies interagissent et comment le travail d'une forceL'énergie fournie par une force lorsqu'elle déplace un objet. Le travail du poids est un cas particulier important., notamment le poids, est impliqué dans cette transformation.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les formules de l'énergie et du travail dans une situation concrète. Vous utiliserez le principe de conservation de l'énergie, une des lois les plus importantes de la physique, pour prédire la vitesse du skieur.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'énergie potentielle, l'énergie cinétique et le travail du poids.
- Appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique.
- Analyser l'influence de la masse et de la hauteur sur l'énergie et la vitesse.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Caractéristique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du skieur (équipement inclus) | \(m\) | 70 | kg |
| Altitude du point de départ A | \(z_A\) | 1800 | m |
| Altitude du point d'arrivée B | \(z_B\) | 1600 | m |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.8 | N/kg |
Questions à traiter
- Calculer l'énergie potentielle de pesanteur (\(E_{pA}\)) du skieur au point A (on prendra comme référence des altitudes le point B, soit \(z_B = 0\)).
- Déterminer la valeur du travail du poids (\(W_{AB}(\vec{P})\)) lorsque le skieur se déplace de A à B.
- En appliquant le principe de conservation de l'énergie mécanique, déduire l'énergie cinétique (\(E_{cB}\)) du skieur à son arrivée au point B.
- Calculer la vitesse (\(v_B\)) du skieur au point B.
- Sans faire de calcul, que deviendrait la vitesse du skieur en B si sa masse était doublée ? Justifier la réponse.
Les bases sur l'Énergie Mécanique
Pour résoudre cet exercice, trois formules sont essentielles. Elles décrivent les différentes formes d'énergie et le travail du poids.
1. Énergie Potentielle de Pesanteur (\(E_p\))
Elle dépend de la masse \(m\) de l'objet, de sa hauteur \(h\) et de l'intensité de la pesanteur \(g\).
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]
Elle est exprimée en Joules (J).
2. Énergie Cinétique (\(E_c\))
Elle dépend de la masse \(m\) et de la vitesse \(v\) de l'objet.
\[ E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]
Elle est également exprimée en Joules (J).
3. Travail du poids (\(W(\vec{P})\))
Le travail du poids entre un point de départ A et un point d'arrivée B ne dépend que de la différence d'altitude.
\[ W_{AB}(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (z_A - z_B) \]
Il est aussi exprimé en Joules (J). C'est un travail moteur si l'objet descend (\(z_A > z_B\)).
Correction : Calcul du Travail et de l’Énergie
Question 1 : Calculer l'énergie potentielle de pesanteur en A.
Principe
L'énergie potentielle de pesanteur représente l'énergie "stockée" par le skieur du fait de son altitude. Plus il est haut, plus il a d'énergie potentielle qu'il pourra convertir en énergie de mouvement (énergie cinétique) pendant sa descente.
Mini-Cours
L'énergie potentielle n'est pas une valeur absolue ; elle est toujours définie par rapport à un niveau de référence que l'on choisit arbitrairement. Changer la référence change la valeur de l'énergie potentielle, mais pas les différences d'énergie, qui sont les seules grandeurs physiques importantes.
Remarque Pédagogique
Pensez à l'énergie potentielle comme à l'eau dans un barrage. La hauteur de l'eau représente l'énergie stockée. L'important n'est pas l'altitude du barrage par rapport au niveau de la mer, mais la hauteur de chute de l'eau qui fera tourner les turbines.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce type de calcul. Nous utilisons les principes fondamentaux de la mécanique classique, établis par Isaac Newton.
Formule(s)
Formule de l'énergie potentielle de pesanteur
Hypothèses
Pour ce calcul, nous devons définir une altitude de référence. L'énoncé nous demande de prendre le point B comme référence, ce qui signifie que la hauteur \(h\) à utiliser est le dénivelé entre A et B.
Donnée(s)
Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du skieur | \(m\) | 70 | kg |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.8 | N/kg |
| Altitude de A | \(z_A\) | 1800 | m |
| Altitude de B | \(z_B\) | 1600 | m |
Astuces
Faites attention à la hauteur \(h\). Ce n'est pas l'altitude absolue \(z_A\), mais la différence d'altitude par rapport à la référence choisie. Ici, \(h = z_A - z_B\). C'est l'erreur la plus fréquente !
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons les hauteurs pertinentes pour le calcul.
Représentation des altitudes
Calcul(s)
Calcul du dénivelé \(h\)
Calcul de l'énergie potentielle en A
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique Initial
Réflexions
Une valeur de 137 200 Joules (ou 137.2 kJ) est une quantité d'énergie considérable, ce qui est logique pour un homme de 70 kg situé à 200 m de hauteur. C'est toute cette énergie qui va potentiellement être transformée en vitesse.
Points de vigilance
L'erreur classique : Utiliser l'altitude absolue \(z_A = 1800 \text{ m}\) au lieu du dénivelé \(h = 200 \text{ m}\). L'énergie potentielle dépend toujours de la hauteur par rapport à un point de référence défini.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : L'énergie potentielle dépend de la hauteur relative à une référence.
- Formule Essentielle : \(E_p = mgh\).
- Point de Vigilance Majeur : Toujours bien identifier la hauteur \(h\) à utiliser dans la formule.
Le saviez-vous ?
Les centrales hydroélectriques fonctionnent sur ce principe ! L'eau stockée en altitude dans un barrage possède une immense énergie potentielle. En la faisant chuter, cette énergie est convertie en énergie cinétique, qui fait tourner des turbines pour produire de l'électricité.
FAQ
Questions fréquentes sur ce point.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le skieur était sur une piste avec un dénivelé de 300 m, quelle serait son énergie potentielle au départ (en J) ?
Question 2 : Déterminer la valeur du travail du poids.
Principe
Le poids est la force qui "tire" le skieur vers le bas. Le travail du poids est l'énergie que cette force fournit au skieur pendant sa descente. Comme le skieur descend, cette force l'aide à accélérer : son travail est donc "moteur" et positif.
Mini-Cours
Le travail du poids entre deux points est égal à l'opposé de la variation de l'énergie potentielle de pesanteur : \(W_{AB}(\vec{P}) = - \Delta E_p = - (E_{pB} - E_{pA}) = E_{pA} - E_{pB}\). C'est une relation fondamentale qui montre que le travail du poids correspond à l'énergie potentielle "perdue" par l'objet.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous portez un sac lourd. Pour le monter, vous devez fournir un effort (un travail résistant contre le poids). Quand vous le descendez, le sac "tire" vers le bas et vous aide (le poids effectue un travail moteur).
Normes
Ce calcul se base sur la définition du travail d'une force en mécanique Newtonienne.
Formule(s)
Formule du travail du poids
Hypothèses
La seule hypothèse est que l'intensité de la pesanteur \(g\) est constante entre les points A et B, ce qui est une excellente approximation pour des dénivelés de quelques centaines de mètres.
Donnée(s)
Nous utilisons les mêmes données que pour la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du skieur | \(m\) | 70 | kg |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9.8 | N/kg |
| Altitude de A | \(z_A\) | 1800 | m |
| Altitude de B | \(z_B\) | 1600 | m |
Astuces
Vous pouvez voir que la formule du travail du poids \(m \cdot g \cdot (z_A - z_B)\) est exactement la même que celle de \(E_{pA}\) lorsque la référence est en B. Vous auriez pu répondre instantanément à la question 2 en utilisant le résultat de la question 1 !
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons la force du poids et le déplacement.
Vecteur Poids et Déplacement
Calcul(s)
Calcul du travail du poids
Schéma (Après les calculs)
Travail Moteur : W > 0
Réflexions
Le résultat est positif (137 200 J > 0), ce qui confirme que le travail est moteur. La force (poids) agit dans le sens général du mouvement (la descente), fournissant de l'énergie au système qui va lui permettre d'accélérer.
Points de vigilance
Ne pas inverser les altitudes dans la formule. Le travail est \(m \cdot g \cdot (\text{z}_{\text{départ}} - \text{z}_{\text{arrivée}})\). Si vous faites l'inverse, vous obtiendrez un signe négatif, ce qui signifierait un travail résistant, incorrect pour une descente.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Le travail du poids est l'énergie transférée par la gravité.
- Formule Essentielle : \(W_{AB}(\vec{P}) = m g (z_A - z_B)\).
- Point de Vigilance Majeur : Le signe du travail (moteur/positif en descente, résistant/négatif en montée).
Le saviez-vous ?
Le concept de travail a été formalisé au 19ème siècle par des ingénieurs et physiciens français comme Gaspard-Gustave Coriolis et Jean-Victor Poncelet, qui cherchaient à optimiser le rendement des machines à vapeur.
FAQ
Questions fréquentes sur ce point.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le skieur remontait la piste de B vers A, quel serait le travail de son poids (en J) ?
Question 3 : Déduire l'énergie cinétique en B.
Principe
Le principe de conservation de l'énergie mécanique est une des lois les plus puissantes de la physique. Il stipule que, si on peut négliger les frottements, l'énergie totale (potentielle + cinétique) d'un système ne change pas. L'énergie se transforme simplement d'une forme à l'autre.
Mini-Cours
On peut voir ce principe comme un budget. Le "budget" énergétique total \(E_m\) est fixé au départ. Pendant la descente, le skieur "dépense" son énergie potentielle, mais ce montant est immédiatement "crédité" sur son compte d'énergie cinétique. À la fin, le budget total est inchangé.
Remarque Pédagogique
Pour résoudre ce type de problème, écrivez toujours l'équation de conservation de l'énergie entre le point de départ et le point d'arrivée, puis simplifiez en annulant les termes nuls (vitesse nulle au départ, hauteur nulle à l'arrivée, etc.).
Normes
Ce n'est pas une norme, mais un principe fondamental de la physique.
Formule(s)
Équation de la conservation de l'énergie mécanique
Hypothèses
L'hypothèse la plus importante ici est l'absence de frottements. C'est ce qui nous permet d'affirmer que l'énergie mécanique se conserve. S'il y avait des frottements, une partie de l'énergie serait "perdue" sous forme de chaleur.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs d'énergie aux points A et B.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Énergie potentielle en A | \(E_{pA}\) | 137200 | J |
| Énergie cinétique en A | \(E_{cA}\) | 0 | J |
| Énergie potentielle en B | \(E_{pB}\) | 0 | J |
Astuces
Puisque l'énergie se conserve, l'énergie cinétique à l'arrivée est simplement égale à l'énergie potentielle perdue. C'est un raccourci mental très utile : toute l'énergie potentielle du départ a été convertie en énergie cinétique à la fin.
Schéma (Avant les calculs)
Au point A, toute l'énergie mécanique est sous forme potentielle.
Conversion d'Énergie
Calcul(s)
Application de la conservation de l'énergie
Schéma (Après les calculs)
Au point B, toute l'énergie potentielle a été convertie en énergie cinétique.
Bilan Énergétique Final
Réflexions
Ce résultat montre parfaitement le concept de transformation d'énergie. L'intégralité de l'énergie "de position" (potentielle) s'est transformée en énergie "de mouvement" (cinétique).
Points de vigilance
N'oubliez pas d'annuler les termes qui sont nuls ! Ne pas prendre en compte que la vitesse initiale est nulle (\(E_{cA} = 0\)) ou que la hauteur finale est nulle (\(E_{pB} = 0\)) sont des sources d'erreurs qui compliquent inutilement le calcul.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Sans frottements, l'énergie mécanique se conserve.
- Formule Essentielle : \(E_{pA} + E_{cA} = E_{pB} + E_{cB}\).
- Point de Vigilance Majeur : Ce principe n'est valable QUE si les frottements sont négligeables.
Le saviez-vous ?
C'est Émilie du Châtelet, une brillante mathématicienne et physicienne française du 18ème siècle, qui a contribué à établir que l'énergie cinétique est proportionnelle à la vitesse au carré (\(v^2\)) et non juste à la vitesse (\(v\)), corrigeant ainsi les travaux de Newton et Leibniz sur ce sujet.
FAQ
Questions fréquentes sur ce point.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le skieur était parti du point A avec une vitesse initiale lui donnant une énergie cinétique de 10 000 J, quelle serait son énergie cinétique finale en B (en J) ?
Question 4 : Calculer la vitesse en B.
Principe
L'énergie cinétique est directement liée à la vitesse. Puisque nous connaissons la valeur de l'énergie cinétique au point B, nous pouvons manipuler sa formule pour en extraire la valeur de la vitesse \(v_B\).
Mini-Cours
Pour isoler \(v\) dans l'équation \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\), on procède par étapes : 1. Multiplier les deux côtés par 2 : \(2 E_c = m v^2\). 2. Diviser les deux côtés par \(m\) : \(\frac{2 E_c}{m} = v^2\). 3. Appliquer la racine carrée aux deux côtés pour trouver \(v\).
Remarque Pédagogique
La manipulation d'équations est une compétence clé en physique. Entraînez-vous à isoler chaque terme d'une formule. Ici, il faut voir que pour "annuler" une multiplication par \(m\), on fait une division, et pour "annuler" un carré, on fait une racine carrée.
Normes
Il s'agit d'une application directe des définitions de la mécanique.
Formule(s)
Formule de la vitesse issue de l'énergie cinétique
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment, notamment l'absence de frottements qui a permis de calculer \(E_{cB}\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Énergie cinétique en B | \(E_{cB}\) | 137200 | J |
| Masse du skieur | \(m\) | 70 | kg |
Astuces
Pour convertir rapidement des m/s en km/h, il suffit de multiplier par 3.6. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3.6. C'est une astuce très utile à retenir !
Schéma (Avant les calculs)
Objectif : Trouver la Vitesse
Calcul(s)
Calcul de la vitesse en m/s
Conversion en km/h
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Vitesse Finale
Réflexions
Une vitesse de plus de 225 km/h est extrêmement élevée et irréaliste pour un skieur. Cela met en évidence l'importance de notre hypothèse de départ : en négligeant les frottements, toute l'énergie est convertie en vitesse. Dans la réalité, les frottements de l'air et de la neige dissiperaient une grande partie de cette énergie en chaleur, limitant la vitesse maximale.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier la racine carrée ! Une erreur fréquente est de calculer \(v^2\) et de s'arrêter là. Vérifiez aussi que toutes vos unités sont dans le Système International (Joules, kg, m/s) avant d'appliquer la formule.
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : On peut déduire la vitesse d'un objet à partir de son énergie cinétique.
- Formule Essentielle : \(v = \sqrt{2 E_c / m}\).
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier la racine carrée et s'assurer de la cohérence des unités.
Le saviez-vous ?
Le record du monde de vitesse en ski est de plus de 255 km/h ! Pour atteindre de telles vitesses, les skieurs utilisent des équipements très spécifiques (casques et combinaisons aérodynamiques) et des pistes spécialement préparées pour minimiser les frottements.
FAQ
Questions fréquentes sur ce point.
Résultat Final
A vous de jouer
Un cycliste de 60 kg arrive en bas d'une côte avec une énergie cinétique de 7500 J. Quelle était sa vitesse en m/s ? (arrondir au dixième)
Question 5 : Influence de la masse du skieur.
Principe
Cette question nous demande de réfléchir à la relation entre la masse et la vitesse finale, en utilisant les équations que nous avons établies. Il s'agit d'une analyse conceptuelle plutôt que d'un calcul.
Réflexions
Regardons le raisonnement énergétique :
- L'énergie potentielle de départ est \(E_{pA} = m \cdot g \cdot h\).
- Cette énergie est entièrement convertie en énergie cinétique à l'arrivée : \(E_{cB} = \frac{1}{2} m v_B^2\).
- En égalant les deux, on a : \(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m v_B^2\).
On peut voir que la masse \(m\) apparaît des deux côtés de l'équation. On peut donc la simplifier :
L'équation finale qui lie la hauteur de chute et la vitesse est \(v_B = \sqrt{2gh}\). Comme on peut le voir, la masse n'intervient plus !
Le saviez-vous ?
Cette observation est une illustration du principe d'équivalence, une idée fondamentale de la physique énoncée par Galilée puis généralisée par Einstein. En l'absence de frottement de l'air, une plume et une boule de bowling lâchées de la même hauteur toucheraient le sol en même temps !
Résultat Final
Outil Interactif : Simulateur d'Énergie
Utilisez les curseurs pour modifier la masse du skieur et le dénivelé de la piste. Observez comment l'énergie potentielle initiale et la vitesse finale sont affectées. Le graphique montre l'évolution de la vitesse finale en fonction du dénivelé pour la masse sélectionnée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (sans frottements)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de l'énergie dans le Système International ?
2. L'énergie cinétique d'un objet dépend de :
3. Si un objet est soulevé à une hauteur double, son énergie potentielle :
4. Le travail du poids est dit "résistant" lorsque :
5. En l'absence de frottements, l'énergie mécanique d'un système :
Glossaire
- Énergie cinétique (\(E_c\))
- Énergie qu'un objet possède en raison de son mouvement. Elle se calcule avec la formule \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) et s'exprime en Joules (J).
- Énergie potentielle de pesanteur (\(E_p\))
- Énergie qu'un objet possède en raison de son altitude dans un champ de pesanteur. Elle se calcule avec \(E_p = mgh\) et s'exprime en Joules (J).
- Énergie mécanique (\(E_m\))
- Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système. \(E_m = E_c + E_p\).
- Joule (J)
- L'unité de mesure de l'énergie et du travail dans le Système International.
- Principe de conservation de l'énergie
- Principe selon lequel, en l'absence de forces non conservatives (comme les frottements), l'énergie mécanique totale d'un système isolé reste constante au cours du temps.
- Travail d'une force (\(W\))
- L'énergie transférée par une force à un objet qu'elle déplace. Le travail du poids est un cas particulier qui correspond à l'énergie transférée par la force de gravité.
D’autres exercices de physique 3 ème
0 commentaires