Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Calcul de l’accélération angulaire

Calcul de l’Accélération Angulaire

Calcul de l’Accélération Angulaire d'un Solide en Rotation

Comprendre l'Accélération Angulaire

Lorsqu'un objet solide est en rotation autour d'un axe fixe, sa vitesse de rotation peut varier au cours du temps. L'accélération angulaire (\(\alpha\)) est la grandeur qui caractérise le taux de variation de la vitesse angulaire (\(\omega\)) par rapport au temps. Elle est l'analogue rotationnel de l'accélération linéaire. Si un couple de forces net (ou moment de force net, \(\tau_{\text{net}}\)) est appliqué à un solide, celui-ci subit une accélération angulaire. Cette relation est décrite par la deuxième loi de Newton pour la rotation, qui stipule que le couple net est égal au produit du moment d'inertie (\(I\)) du solide par son accélération angulaire (\(\alpha\)). Comprendre l'accélération angulaire est essentiel pour analyser le mouvement de rotation des objets, des volants d'inertie aux planètes.

Données de l'étude

Un volant d'inertie, assimilable à un disque plein homogène, peut tourner librement autour d'un axe fixe passant par son centre et perpendiculaire à son plan. Il est initialement au repos.

Caractéristiques du volant et conditions :

  • Masse du volant : \(M = 10,0 \, \text{kg}\)
  • Rayon du volant : \(R = 0,50 \, \text{m}\)
  • Un couple de forces constant (moment de force net) est appliqué au volant : \(\tau_{\text{net}} = 25,0 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • Le volant part du repos : vitesse angulaire initiale \(\omega_0 = 0 \, \text{rad/s}\)

Rappel : Le moment d'inertie d'un disque plein homogène de masse \(M\) et de rayon \(R\) par rapport à un axe passant par son centre et perpendiculaire à son plan est \(I = \frac{1}{2} M R^2\).

Schéma : Volant d'inertie en rotation
Axe Δ τ_net α, ω Volant soumis à un couple net.

Un couple net constant est appliqué au volant, provoquant une accélération angulaire.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie (\(I\)) du volant d'inertie.
  2. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique de rotation, calculer l'accélération angulaire (\(\alpha\)) du volant.
  3. Calculer la vitesse angulaire (\(\omega_f\)) du volant après une durée \(\Delta t = 5,0 \, \text{s}\) d'application du couple.
  4. Calculer l'angle total (\(\Delta \theta\)) parcouru par le volant pendant ces \(5,0 \, \text{s}\), en radians et en tours. (1 tour = \(2\pi\) radians).

Correction : Calcul de l’Accélération Angulaire

Question 1 : Calcul du moment d'inertie (\(I\))

Principe :

Le moment d'inertie d'un disque plein homogène par rapport à un axe passant par son centre et perpendiculaire à son plan est donné par la formule \(I = \frac{1}{2} M R^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I = \frac{1}{2} M R^2\]
Données spécifiques et Calculs :
  • Masse du volant : \(M = 10,0 \, \text{kg}\)
  • Rayon du volant : \(R = 0,50 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \times (10,0 \, \text{kg}) \times (0,50 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 10,0 \times 0,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &= 5,0 \times 0,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \\ &= 1,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment d'inertie du volant est \(I = 1,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

Question 2 : Calcul de l'accélération angulaire (\(\alpha\))

Principe :

La relation fondamentale de la dynamique de rotation (analogue de la deuxième loi de Newton pour la translation) relie le couple net appliqué (\(\tau_{\text{net}}\)), le moment d'inertie (\(I\)) et l'accélération angulaire (\(\alpha\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_{\text{net}} = I \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{\tau_{\text{net}}}{I}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\tau_{\text{net}} = 25,0 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • \(I = 1,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\)
\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{25,0 \, \text{N} \cdot \text{m}}{1,25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} \\ &= 20,0 \, \text{rad/s}^2 \end{aligned} \]

L'unité de l'accélération angulaire est le radian par seconde carrée (\(\text{rad/s}^2\)).

Résultat Question 2 : L'accélération angulaire du volant est \(\alpha = 20,0 \, \text{rad/s}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le couple net appliqué à un objet double et que son moment d'inertie reste constant, son accélération angulaire :

Question 3 : Vitesse angulaire (\(\omega_f\)) après \(\Delta t = 5,0 \, \text{s}\)

Principe :

Pour un mouvement de rotation uniformément accéléré (accélération angulaire constante), la vitesse angulaire finale \(\omega_f\) est liée à la vitesse angulaire initiale \(\omega_0\), à l'accélération angulaire \(\alpha\) et à la durée \(\Delta t\) par la relation cinématique : \(\omega_f = \omega_0 + \alpha \Delta t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega_f = \omega_0 + \alpha \Delta t\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\omega_0 = 0 \, \text{rad/s}\) (part du repos)
  • \(\alpha = 20,0 \, \text{rad/s}^2\)
  • \(\Delta t = 5,0 \, \text{s}\)
\[ \begin{aligned} \omega_f &= 0 \, \text{rad/s} + (20,0 \, \text{rad/s}^2 \times 5,0 \, \text{s}) \\ &= 0 + 100,0 \, \text{rad/s} \\ &= 100,0 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse angulaire du volant après \(5,0 \, \text{s}\) est \(\omega_f = 100,0 \, \text{rad/s}\).

Question 4 : Angle total (\(\Delta \theta\)) parcouru en \(5,0 \, \text{s}\)

Principe :

Pour un mouvement de rotation uniformément accéléré, l'angle \(\Delta \theta\) parcouru pendant une durée \(\Delta t\) est donné par la relation cinématique : \(\Delta \theta = \omega_0 \Delta t + \frac{1}{2} \alpha (\Delta t)^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta \theta = \omega_0 \Delta t + \frac{1}{2} \alpha (\Delta t)^2\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(\omega_0 = 0 \, \text{rad/s}\)
  • \(\alpha = 20,0 \, \text{rad/s}^2\)
  • \(\Delta t = 5,0 \, \text{s}\)

Calcul de \(\Delta \theta\) en radians :

\[ \begin{aligned} \Delta \theta &= (0 \, \text{rad/s} \times 5,0 \, \text{s}) + \frac{1}{2} \times (20,0 \, \text{rad/s}^2) \times (5,0 \, \text{s})^2 \\ &= 0 + \frac{1}{2} \times 20,0 \times 25,0 \, \text{rad} \\ &= 10,0 \times 25,0 \, \text{rad} \\ &= 250,0 \, \text{rad} \end{aligned} \]

Conversion de \(\Delta \theta\) en tours (sachant que 1 tour = \(2\pi\) radians) :

\[ \begin{aligned} \Delta \theta_{\text{tours}} &= \frac{\Delta \theta_{\text{radians}}}{2\pi} \\ &= \frac{250,0 \, \text{rad}}{2 \times 3,14159} \\ &\approx \frac{250,0}{6,28318} \, \text{tours} \\ &\approx 39,788 \, \text{tours} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs : \(\approx 39,8 \, \text{tours}\).

Résultat Question 4 : L'angle total parcouru par le volant en \(5,0 \, \text{s}\) est :
  • \(\Delta \theta = 250,0 \, \text{rad}\)
  • \(\Delta \theta \approx 39,8 \, \text{tours}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Si un objet effectue 2 tours complets, quel angle a-t-il parcouru en radians ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. L'accélération angulaire est définie comme :

6. La relation fondamentale de la dynamique de rotation s'écrit :

7. Si un objet en rotation a une accélération angulaire nulle, sa vitesse angulaire :

Glossaire

Accélération angulaire (\(\alpha\))
Taux de variation de la vitesse angulaire d'un objet en rotation par rapport au temps. Unité SI : radian par seconde carrée (\(\text{rad/s}^2\)).
Vitesse angulaire (\(\omega\))
Taux de variation de la position angulaire (angle) d'un objet en rotation par rapport au temps. Unité SI : radian par seconde (rad/s).
Moment d'inertie (\(I\))
Mesure de la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation autour d'un axe donné. Il dépend de la masse du corps et de la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation. Unité SI : kilogramme mètre carré (\(\text{kg} \cdot \text{m}^2\)).
Couple (ou Moment de force) (\(\tau\))
Action qui tend à provoquer une rotation d'un objet autour d'un axe. Il est l'analogue rotationnel de la force. Unité SI : Newton-mètre (\(\text{N} \cdot \text{m}\)).
Relation fondamentale de la dynamique de rotation
Équation qui relie le couple net appliqué à un objet, son moment d'inertie et son accélération angulaire : \(\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = I \vec{\alpha}\).
Radian (rad)
Unité de mesure d'angle du Système International. Un tour complet correspond à \(2\pi\) radians.
Volant d'inertie
Dispositif mécanique conçu pour stocker de l'énergie cinétique de rotation, caractérisé par un moment d'inertie important.
Mouvement de rotation uniformément accéléré
Mouvement de rotation pour lequel l'accélération angulaire est constante.
Calcul de l’Accélération Angulaire - Exercice d'Application (Niveau Université)

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