Calcul de la Masse d'un Cube de Nickel
Contexte : Le nickelLe nickel est un élément chimique, de symbole Ni et de numéro atomique 28. C'est un métal blanc argenté. est un métal très utilisé dans l'industrie.
On le retrouve dans les pièces de monnaie, dans l'acier inoxydable, et il est souvent utilisé pour recouvrir d'autres métaux (on parle de nickelage) afin de les protéger de la corrosion. Un artisan souhaite réaliser un nickelage et dispose pour cela d'un petit cube de nickel pur. Pour planifier son travail, il a besoin de connaître la masse exacte de ce cube.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas pratique qui vous montrera comment la chimie et la physique s'associent. Vous appliquerez des formules mathématiques simples (volume, masse volumique) à un problème concret de chimie des matériaux.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le volume d'un cube à partir de la longueur de son côté.
- Appliquer la formule de la masse volumique pour déterminer la masse d'un objet.
- Comprendre la relation entre masse, volume et densité.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Matériau | Nickel pur |
| Forme géométrique | Cube |
| Symbole chimique | Ni |
Schéma du cube de nickel
| Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Côté du cube | \(c\) | 2 | cm |
| Masse volumique du nickel | \(\rho\) (rho) | 8,9 | g/cm³ |
Questions à traiter
- Calculez le volume du cube de nickel en cm³.
- En utilisant la masse volumique, déterminez la masse de ce cube en grammes.
- Convertissez la masse du cube, calculée à la question 2, en kilogrammes (kg).
- L'artisan estime avoir besoin de 65 g de nickel pour son projet. Le cube qu'il possède est-il suffisant ? Justifiez votre réponse.
Les bases sur la Masse, le Volume et la Masse Volumique
Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser deux relations fondamentales qui lient les dimensions d'un objet à sa masse.
1. Le Volume d'un Cube
Le volume d'un cube est l'espace qu'il occupe. Il se calcule en multipliant la longueur de son côté (c) par elle-même, trois fois de suite.
\[ \begin{aligned} V &= c \times c \times c \\ &= c^3 \end{aligned} \]
2. La Relation Masse-Volume-Masse Volumique
La masse volumique (lettre grecque \(\rho\)) est une propriété de la matière. Elle représente la masse d'un matériau par unité de volume. On la calcule avec la formule :
\[ \rho = \frac{m}{V} \]
Pour trouver la masse, on peut réarranger cette formule.
Correction : Calcul de la Masse d'un Cube de Nickel
Question 1 : Calculez le volume du cube de nickel en cm³.
Principe (le concept physique)
Le volume représente l'espace occupé par un objet en trois dimensions. Pour une forme géométrique simple comme le cube, il existe une formule mathématique directe pour le calculer à partir de la longueur de son côté.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le volume est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet dans l'espace. Son unité dans le Système International est le mètre cube (m³). Pour un parallélépipède rectangle, le volume est `Longueur × largeur × hauteur`. Un cube est un cas particulier où ces trois dimensions sont égales, ce qui simplifie la formule.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant tout calcul de volume, identifiez toujours la forme géométrique de l'objet. La formule à utiliser en dépend directement. Ne confondez pas le volume (en cm³) avec l'aire (en cm²).
Normes (la référence réglementaire)
Pour un calcul géométrique de base comme celui-ci, il n'y a pas de "norme" d'ingénierie à appliquer. Nous utilisons simplement les principes universels et intemporels des mathématiques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule du volume (\(V\)) d'un cube de côté (\(c\)) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour appliquer cette formule, nous posons une hypothèse simple mais essentielle.
- L'objet est un cube parfait, ce qui signifie que tous ses côtés ont exactement la même longueur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
D'après l'énoncé, la seule donnée nécessaire pour cette question est la longueur du côté du cube.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Côté du cube | \(c\) | 2 | cm |
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour de petits nombres entiers comme 2, le calcul de \(c^3\) peut se faire très rapidement de tête : 2 fois 2 font 4, et 4 fois 2 font 8.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Cube à Calculer
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace la variable \(c\) dans la formule par sa valeur numérique. L'unité du volume sera le produit des unités de longueur, soit \(\text{cm} \times \text{cm} \times \text{cm} = \text{cm}^3\).
Calcul du volume du cube
Schéma (Après les calculs)
Volume Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat, 8 cm³, signifie que notre cube de nickel occupe le même espace que 8 petits cubes de 1 cm de côté. C'est un volume relativement petit, comparable à celui d'un dé à jouer standard.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus classique est de confondre le volume avec l'aire. Calculer \(c^2\) (2 x 2 = 4) donnerait l'aire d'une face du cube, et non son volume. Une autre erreur est de multiplier par 3 (2 x 3 = 6) au lieu de faire la puissance 3.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le volume d'un cube se calcule avec la formule \(V = c^3\).
- L'unité de volume est le cube de l'unité de longueur (ex: m³, cm³, mm³).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En chimie et en médecine, on utilise souvent le millilitre (mL) comme unité de volume. C'est très pratique car 1 cm³ est exactement égal à 1 mL. Notre cube de 8 cm³ a donc un volume de 8 mL.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour être sûr d'avoir compris, calculez le volume d'un cube de sucre dont le côté mesure 3 cm.
Question 2 : Déterminez la masse de ce cube en grammes.
Principe (le concept physique)
Chaque matériau possède une masse volumique qui lui est propre. Cette grandeur physique indique la masse contenue dans un volume donné. En connaissant le volume d'un objet et la masse volumique du matériau qui le compose, on peut en déduire sa masse totale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La masse volumique, notée \(\rho\) (lettre grecque "rho"), est une propriété intrinsèque de la matière. Elle ne dépend pas de la taille ou de la forme de l'objet. Par exemple, l'eau a une masse volumique d'environ 1 g/cm³, tandis que l'or a une masse volumique de 19,3 g/cm³. Cela signifie qu'à volume égal, l'or est 19,3 fois plus lourd que l'eau.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant d'appliquer la formule, vérifiez toujours que les unités sont cohérentes. Si le volume est en cm³ et la masse volumique en g/cm³, le résultat sera en grammes. Si les unités ne correspondaient pas, il faudrait d'abord faire une conversion.
Normes (la référence réglementaire)
Les valeurs de masse volumique des matériaux purs comme le nickel sont des constantes physiques standardisées. Elles sont déterminées expérimentalement et répertoriées dans des manuels scientifiques et des bases de données de référence (comme celles du NIST aux États-Unis ou du LNE en France).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de base est \(\rho = m/V\). Pour trouver la masse (\(m\)), on isole cette variable. En multipliant les deux côtés par le volume (\(V\)), on obtient la formule à utiliser :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour que le calcul soit exact, on fait les hypothèses suivantes :
- Le cube est fait de nickel pur à 100%.
- La masse volumique est uniforme dans tout le volume du cube (le matériau est homogène).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons les données suivantes pour ce calcul :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique du nickel | \(\rho\) | 8,9 | g/cm³ |
| Volume du cube | \(V\) | 8 | cm³ |
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour estimer rapidement le résultat, vous pouvez arrondir la masse volumique. En prenant \(\rho \approx 9\) g/cm³, le calcul mental \(9 \times 8\) donne 72 g. C'est un excellent moyen de vérifier que votre résultat final (71,2 g) est cohérent.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Formule
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule en multipliant la masse volumique par le volume. Les unités "cm³" s'annulent, et il ne reste que les grammes "g".
Calcul de la masse du cube
Schéma (Après les calculs)
Équilibre sur la Balance
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une masse de 71,2 grammes est assez conséquente pour un si petit cube. Cela nous indique que le nickel est un matériau "dense". À titre de comparaison, un cube de la même taille en bois (\(\rho \approx 0,7\) g/cm³) pèserait seulement 5,6 grammes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale serait d'inverser la formule et de diviser au lieu de multiplier (\(8 / 8,9\) ou \(8,9 / 8\)). L'astuce de l'estimation permet d'éviter ce piège. Pensez logiquement : si 1 cm³ pèse 8,9 g, alors 8 cm³ doivent peser plus, donc on multiplie.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La masse d'un objet est le produit de sa masse volumique et de son volume : \(m = \rho \times V\).
- La masse volumique est une "carte d'identité" d'un matériau.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le nickel est ferromagnétique, c'est-à-dire qu'il peut être attiré par un aimant, tout comme le fer et le cobalt. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est utilisé dans la fabrication de certains types d'aimants permanents et de batteries rechargeables (Ni-MH, Ni-Cd).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Le même cube de 8 cm³ était fait d'or (\(\rho = 19,3\) g/cm³). Quelle serait sa masse ?
Question 3 : Convertissez la masse du cube en kilogrammes (kg).
Principe (le concept physique)
Cette étape consiste à convertir une unité de masse (le gramme) en une autre (le kilogramme). Le kilogramme est l'unité de masse du Système International. Il est essentiel de savoir passer d'une unité à l'autre, car les formules scientifiques exigent souvent des unités spécifiques.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Préfixes des Unités : Le préfixe "kilo-" (k) signifie "mille". Ainsi, un kilogramme équivaut à mille grammes. Pour passer des grammes aux kilogrammes, on divise par 1000. Inversement, pour passer des kilogrammes aux grammes, on multiplie par 1000.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour ne pas vous tromper de sens (multiplier ou diviser), posez-vous la question : "le kilogramme est-il une unité plus grande ou plus petite que le gramme ?". Elle est plus grande. Donc pour exprimer la même masse, le nombre en kg sera plus petit que le nombre en g. Pour obtenir un nombre plus petit, on divise.
Normes (la référence réglementaire)
Le Système International d'unités (SI), adopté par la Conférence Générale des Poids et Mesures, définit le kilogramme (kg) comme l'unité de base pour la masse. Toutes les autres unités de masse (gramme, tonne, etc.) en sont des dérivés.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La relation de conversion entre le gramme (g) et le kilogramme (kg) est la suivante :
Pour convertir une masse en grammes vers les kilogrammes, on utilise la formule :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le facteur de conversion entre le gramme et le kilogramme est une définition exacte. Il n'y a donc pas d'hypothèse à formuler.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons la masse en grammes calculée précédemment pour la conversion.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du cube | \(m_{\text{(g)}}\) | 71,2 | g |
Astuces(Pour aller plus vite)
Diviser un nombre par 1000 revient simplement à décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche. Pour 71,2 : on décale une fois (7,12), une deuxième fois (0,712), et une troisième fois (0,0712).
Schéma (Avant les calculs)
Processus de Conversion
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule de conversion en divisant la masse en grammes par 1000.
Conversion de la masse en kilogrammes
Schéma (Après les calculs)
Résultat sur une Balance Digitale
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat 0,0712 kg est un "petit" nombre. Cela confirme que pour des objets de cette taille, le gramme est une unité plus pratique et plus facile à manipuler que le kilogramme.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de se tromper de sens et de multiplier par 1000 au lieu de diviser. On obtiendrait 71200 kg, ce qui est évidemment incorrect pour un petit cube de métal.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Il y a 1000 grammes dans 1 kilogramme.
- Pour convertir des g en kg, on DIVISE par 1000.
- Pour convertir des kg en g, on MULTIPLIE par 1000.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Jusqu'en 2019, le kilogramme était la dernière unité du SI à être définie par un objet physique (un cylindre de platine et d'iridium conservé en France). Aujourd'hui, il est défini de manière plus stable et universelle à partir d'une constante fondamentale de la physique : la constante de Planck.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Une bouteille d'eau a une masse de 1500 g. Quelle est sa masse en kg ?
Question 4 : Le cube est-il suffisant pour un projet nécessitant 65 g de nickel ?
Principe
Cette question ne demande pas de nouveau calcul complexe, mais une comparaison logique. Il faut comparer la masse de nickel que l'artisan possède (la masse du cube que nous avons calculée) avec la masse dont il a besoin.
Mini-Cours
En sciences et en ingénierie, on compare constamment des valeurs : une contrainte calculée par rapport à une contrainte admissible, une ressource disponible par rapport à un besoin. Cela se fait à l'aide d'inégalités. Si la ressource est supérieure ou égale (≥) au besoin, la condition est satisfaite. Si elle est inférieure (<), elle ne l'est pas.
Donnée(s)
Nous comparons deux valeurs.
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Masse de nickel disponible | 71,2 | g |
| Masse de nickel nécessaire | 65 | g |
Réflexions
Pour répondre, il suffit de comparer les deux nombres. On se demande si la masse disponible est supérieure ou égale à la masse nécessaire.
Comparaison : \(71,2 \text{ g} > 65 \text{ g}\).
Puisque la masse du cube est supérieure à la masse requise, l'artisan a suffisamment de nickel pour son projet.
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Comparaison
Points de vigilance
L'erreur la plus commune serait de mal interpréter la question. Il faut bien identifier quelle est la valeur "disponible" et quelle est la valeur "nécessaire" avant de faire la comparaison. Assurez-vous aussi que les deux valeurs que vous comparez sont dans la même unité (ici, les deux sont en grammes).
Points à retenir
- Pour vérifier si une ressource est suffisante, on la compare au besoin.
- La condition est remplie si : Ressource Disponible ≥ Besoin.
- La comparaison n'est possible que si les valeurs sont dans la même unité.
Résultat Final
Outil Interactif : Calculateur de Masse pour un Cube
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier le côté d'un cube et la masse volumique d'un matériau afin de voir comment sa masse totale est affectée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle formule permet de calculer la masse (m) à partir du volume (V) et de la masse volumique (\(\rho\)) ?
2. L'unité de la masse volumique dans le système international est le kg/m³. Quelle est l'unité équivalente la plus courante en chimie ?
3. Un objet en aluminium (\(\rho \approx 2,7\) g/cm³) a une masse de 54 g. Quel est son volume ?
4. Le symbole chimique du Nickel est :
5. Si on double le côté d'un cube, son volume est multiplié par :
- Masse
- Quantité de matière contenue dans un corps. Son unité est le kilogramme (kg) ou le gramme (g).
- Volume
- Espace occupé par un corps. Son unité est le mètre cube (m³) ou le centimètre cube (cm³).
- Masse Volumique (ou Densité)
- Rapport de la masse d'un corps par son volume. Elle caractérise un matériau. Unité : kg/m³ ou g/cm³.
- Nickel
- Élément chimique métallique de symbole Ni, utilisé pour sa résistance à la corrosion et dans de nombreux alliages.
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