Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Exercice : Force de Lorentz sur un Proton

Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Contexte : L'étude du mouvement des particules chargées dans un champ magnétique est fondamentale en physique.

Ce principe est au cœur de nombreuses technologies, des accélérateurs de particules comme le LHC aux spectromètres de masse utilisés en chimie analytique. La force qui régit cette interaction est la Force de LorentzLa force exercée par un champ électromagnétique sur une particule chargée en mouvement. Sa composante magnétique est responsable de la déviation de la trajectoire.. Cet exercice a pour but de calculer cette force et d'analyser la trajectoire résultante d'un proton.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser le calcul vectoriel de la force de Lorentz et de comprendre pourquoi elle ne fournit aucun travail, une caractéristique essentielle qui la distingue des autres forces.


Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la formule de la force de Lorentz en utilisant le produit vectoriel.
  • Calculer la norme d'un vecteur et interpréter physiquement le résultat.
  • Comprendre la condition pour qu'une force effectue un travail nul.
  • Identifier et décrire une trajectoire hélicoïdale.

Données de l'étude

Un proton pénètre dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme et constant.

Fiche Technique du Proton et du Champ
Caractéristique Valeur
Masse du proton (\(m_p\)) \(1.672 \times 10^{-27} \text{ kg}\)
Charge du proton (\(q\)) \(+1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)
Vecteur vitesse initial (\(\vec{v}\)) \((2.0 \vec{i} + 3.0 \vec{j}) \times 10^5 \text{ m/s}\)
Vecteur champ magnétique (\(\vec{B}\)) \(0.5 \vec{j} \text{ T}\)
Entrée du proton dans le champ magnétique
Région du Champ B B p+ v vx vy

Questions à traiter

  1. Déterminer le vecteur de la force magnétique \(\vec{F}\) qui s'exerce sur le proton à l'instant où il entre dans le champ.
  2. Calculer la norme (ou magnitude) de cette force magnétique.
  3. Quel est le travail \(W\) effectué par la force magnétique sur le proton ? Justifiez votre réponse.
  4. Décrivez la nature de la trajectoire suivie par le proton dans cette région.
  5. Calculer le rayon \(r\) de la trajectoire circulaire projetée dans le plan perpendiculaire à \(\vec{B}\).

Les bases sur la Force Magnétique

Lorsqu'une particule de charge \(q\) se déplace avec une vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\), elle subit une force magnétique, décrite par la loi de la force de Lorentz.

1. Expression vectorielle de la Force de Lorentz
La force magnétique \(\vec{F}\) est donnée par le produit vectoriel entre le vecteur vitesse et le vecteur champ magnétique, le tout multiplié par la charge de la particule. \[ \vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}) \]

2. Propriétés et Norme
Le vecteur force \(\vec{F}\) est toujours perpendiculaire à la fois à \(\vec{v}\) et à \(\vec{B}\). Sa norme est calculée par : \[ F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin(\theta) \] où \(\theta\) est l'angle entre les vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\).


Correction : Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Question 1 : Déterminer le vecteur de la force magnétique \(\vec{F}\).

Principe (le concept physique)

Pour déterminer la force exercée sur le proton, nous devons utiliser la loi de la force de Lorentz. Cette loi décrit comment un champ magnétique interagit avec une particule chargée en mouvement, résultant en une force qui est perpendiculaire à la fois à la direction du mouvement de la particule et à la direction du champ magnétique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La force de Lorentz est fondamentalement une interaction vectorielle. L'outil mathématique qui capture cette relation de perpendicularité est le produit vectoriel. Pour \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\), la direction de \(\vec{F}\) est donnée par la "règle de la main droite" : si vous alignez les doigts de votre main droite dans la direction de \(\vec{v}\) et que vous les courbez vers la direction de \(\vec{B}\), votre pouce indiquera la direction de \(\vec{v} \times \vec{B}\). Pour une charge positive comme le proton, c'est aussi la direction de \(\vec{F}\). Pour une charge négative, la force serait dans la direction opposée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La méthode la plus rigoureuse et la moins sujette à erreur pour calculer un produit vectoriel en coordonnées cartésiennes est de poser le calcul sous forme d'un déterminant 3x3. Soyez méthodique : écrivez d'abord les vecteurs unitaires (\(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\)), puis les composantes du premier vecteur (\(\vec{v}\)), et enfin celles du second (\(\vec{B}\)).

Normes (la référence réglementaire)

Cet exercice relève de la physique fondamentale (électromagnétisme classique). Il n'est pas régi par des normes d'ingénierie spécifiques (comme les Eurocodes en structure), mais par les lois de Maxwell et la loi de la force de Lorentz, qui sont universellement acceptées dans le domaine scientifique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Expression de la force de Lorentz

\[ \vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour que nos calculs soient valides, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Le champ magnétique \(\vec{B}\) est uniforme dans la région considérée.
  • Les vitesses sont non-relativistes (bien inférieures à la vitesse de la lumière), ce qui justifie l'utilisation de la mécanique classique.
  • Nous négligeons toute autre force, comme la gravité, dont l'effet sur un proton est extrêmement faible en comparaison de la force magnétique dans ce contexte.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeur
Charge du proton\(q\)\(+1.602 \times 10^{-19} \text{ C}\)
Vecteur vitesse\(\vec{v}\)\((2.0 \vec{i} + 3.0 \vec{j}) \times 10^5 \text{ m/s}\)
Vecteur champ magnétique\(\vec{B}\)\(0.5 \vec{j} \text{ T}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Au lieu du déterminant, on peut utiliser la distributivité et les propriétés du produit vectoriel : \(\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}\), \(\vec{j}\times\vec{j}=0\). \(\vec{v} \times \vec{B} = (2.0 \times 10^5 \vec{i} + 3.0 \times 10^5 \vec{j}) \times (0.5 \vec{j}) = (2.0 \times 10^5 \times 0.5)(\vec{i} \times \vec{j}) + (3.0 \times 10^5 \times 0.5)(\vec{j} \times \vec{j}) = 1.0 \times 10^5 \vec{k} + 0\). C'est souvent plus rapide pour les vecteurs simples.

Schéma (Avant les calculs)
Configuration initiale des vecteurs
yxzBv
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\)

Nous commençons par calculer le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\) en utilisant la méthode du déterminant pour trouver le vecteur directionnel de la force.

\[ \begin{aligned} \vec{v} \times \vec{B} &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2.0 \times 10^5 & 3.0 \times 10^5 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{vmatrix} \\ &= \vec{i}((3.0 \times 10^5)(0) - (0)(0.5)) \\ & \quad - \vec{j}((2.0 \times 10^5)(0) - (0)(0)) \\ & \quad + \vec{k}((2.0 \times 10^5)(0.5) - (3.0 \times 10^5)(0)) \\ &= \vec{i}(0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(1.0 \times 10^5) \\ &= 1.0 \times 10^5 \vec{k} \text{ T} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du vecteur force \(\vec{F}\)

Ensuite, nous multiplions ce résultat par la charge du proton \(q\) pour obtenir le vecteur force complet.

\[ \begin{aligned} \vec{F} &= q (\vec{v} \times \vec{B}) \\ &= (1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (1.0 \times 10^5 \vec{k} \text{ T} \cdot \text{m/s}) \\ &= 1.602 \times 10^{-14} \vec{k} \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Force Résultant
yxF(vers +z)Bv
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(\vec{F} = 1.602 \times 10^{-14} \vec{k} \text{ N}\) indique que la force est dirigée entièrement le long de l'axe z positif. Cela signifie que le proton subira une déviation "sortant de l'écran" par rapport à son plan de mouvement initial (x,y). C'est cohérent avec la règle de la main droite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est le calcul du déterminant, notamment l'oubli du signe négatif pour la composante \(\vec{j}\). Une autre erreur commune est de multiplier les composantes terme à terme, ce qui est une multiplication de vecteurs invalide. Le produit vectoriel n'est pas commutatif : \(\vec{v} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{v}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force de Lorentz est un produit vectoriel : \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\).
  • La force résultante est toujours orthogonale au plan formé par \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\).
  • Seule la composante de la vitesse perpendiculaire au champ magnétique génère une force.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Hendrik Lorentz, le physicien néerlandais qui a formulé cette loi, a également développé les "transformations de Lorentz", qui sont devenues la base mathématique de la théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein. Ses travaux ont jeté les bases de la physique moderne.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le vecteur de la force magnétique est \(\vec{F} = 1.602 \times 10^{-14} \vec{k} \text{ N}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la force \(\vec{F}\) si la vitesse du proton était \(\vec{v} = (3.0 \vec{j} - 4.0 \vec{k}) \times 10^5 \text{ m/s}\). Entrez la composante non-nulle en \(10^{-14} \text{ N}\).

Question 2 : Calculer la norme de la force magnétique.

Principe (le concept physique)

La norme d'un vecteur, aussi appelée magnitude, représente son "intensité" ou sa "longueur", indépendamment de sa direction. Pour une force, elle nous dit "à quel point" la force est grande, sans nous préoccuper de l'orientation dans laquelle elle pousse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Il existe deux façons de calculer la norme de la force. Soit à partir des composantes du vecteur force déjà calculé : \(\|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}\). Soit en utilisant la formule scalaire de la force de Lorentz : \(F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin(\theta)\), où \(v\) et \(B\) sont les normes des vecteurs vitesse et champ magnétique, et \(\theta\) est l'angle le plus petit entre ces deux vecteurs. Il est crucial de noter que cette formule est équivalente à \(F = |q| \cdot v_{\perp} \cdot B\), où \(v_{\perp}\) est la composante de la vitesse qui est perpendiculaire au champ \(\vec{B}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Puisque la question 1 vous a déjà fait calculer le vecteur force \(\vec{F}\), la méthode la plus simple et la plus directe est de calculer la norme à partir de ses composantes. Cela évite d'avoir à recalculer des angles ou des normes de vecteurs initiaux, réduisant ainsi les risques d'erreur.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de normes spécifiques. L'unité de la force dans le Système International est le Newton (N), et celle du champ magnétique est le Tesla (T).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la norme à partir des composantes

\[ \|\vec{F}\| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2} \]

Formule scalaire alternative

\[ F = |q| v_{\perp} B \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour la première question.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeur
Vecteur Force\(\vec{F}\)\(1.602 \times 10^{-14} \vec{k} \text{ N}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Si un vecteur n'a qu'une seule composante non nulle, sa norme est simplement la valeur absolue de cette composante. Pas besoin de calculer la racine carrée d'une somme de carrés, ce qui simplifie grandement le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation de la Norme
zFNorme ||F||
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule de la norme

En utilisant le vecteur force calculé à la question 1, \(\vec{F} = 1.602 \times 10^{-14} \vec{k} \text{ N}\), nous appliquons la formule de la norme euclidienne.

\[ \begin{aligned} \|\vec{F}\| &= \sqrt{0^2 + 0^2 + (1.602 \times 10^{-14})^2} \\ &= 1.602 \times 10^{-14} \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation de la Norme
zF1.602 x 10-14 N
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une force de \(1.6 \times 10^{-14} \text{ N}\) peut sembler incroyablement petite, mais il faut la rapporter à la masse du proton (\(1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\)). L'accélération subie (\(a = F/m\)) est d'environ \(9.6 \times 10^{12} \text{ m/s}^2\), soit près d'un billion de fois l'accélération de la pesanteur terrestre ! C'est une force colossale à l'échelle de la particule.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Lors de l'utilisation de la formule \(F = |q|vB\sin(\theta)\), une erreur fréquente est d'utiliser la norme totale du vecteur vitesse \(\|\vec{v}\|\) au lieu de la norme de sa composante perpendiculaire \(v_{\perp}\). Dans cet exercice, \(\|\vec{v}\| = \sqrt{(2\times10^5)^2 + (3\times10^5)^2}\) est différent de \(v_x = 2\times10^5 \text{ m/s}\), qui est la seule composante perpendiculaire à \(\vec{B}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La norme d'un vecteur est sa longueur, une grandeur scalaire et toujours positive.
  • Elle peut être calculée à partir des composantes cartésiennes ou de la définition géométrique (avec le sinus de l'angle).
  • La force magnétique ne dépend que de la composante de \(\vec{v}\) qui est perpendiculaire à \(\vec{B}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'unité du champ magnétique, le Tesla (T), est nommée en l'honneur de Nikola Tesla. Un Tesla est une unité très grande : le champ magnétique terrestre est d'environ 50 microteslas (\(50 \times 10^{-6} \text{ T}\)), et les aimants d'IRM médicale les plus puissants atteignent 3 à 4 T.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La norme de la force magnétique est \(F = 1.602 \times 10^{-14} \text{ N}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le champ magnétique était porté à \(B=2.0 \text{ T}\), quelle serait la nouvelle norme de la force ? Entrez la réponse en \(10^{-14} \text{ N}\).

Question 3 : Quel est le travail \(W\) effectué par la force magnétique ?

Principe (le concept physique)

En physique, le travail d'une force mesure le transfert d'énergie qui se produit lorsqu'une force provoque un déplacement. Si une force est appliquée mais ne parvient pas à modifier l'énergie cinétique de l'objet, elle n'effectue aucun travail.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La puissance instantanée \(P\) (le travail par unité de temps) d'une force \(\vec{F}\) est donnée par le produit scalaire \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\). Le travail total \(W\) sur une trajectoire est l'intégrale de cette puissance sur le temps : \(W = \int P dt\). D'après les propriétés du produit vectoriel, la force de Lorentz \(\vec{F}\) est toujours perpendiculaire à la vitesse \(\vec{v}\). Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. Par conséquent, \(P = \vec{F} \cdot \vec{v} = 0\) à tout instant. L'intégrale de zéro est zéro, donc le travail total \(W\) est nul.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'une des propriétés les plus importantes et contre-intuitives de la force magnétique. Retenez-la bien : une force magnétique statique ne travaille jamais. Elle peut courber une trajectoire de manière spectaculaire, mais elle ne peut jamais accélérer ou ralentir une particule. Pour cela, il faut un champ électrique.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de normes. Le travail et l'énergie se mesurent en Joules (J) dans le Système International.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition de la puissance d'une force

\[ P = \vec{F} \cdot \vec{v} \]

Relation de perpendicularité

\[ \vec{F} \perp \vec{v} \Rightarrow \vec{F} \cdot \vec{v} = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse cruciale ici est que le champ magnétique \(\vec{B}\) est statique (ne varie pas dans le temps). Un champ magnétique variable peut induire un champ électrique (loi de Faraday), et ce champ électrique induit, lui, peut effectuer un travail.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeur
Vecteur Force\(\vec{F}\)\(1.602 \times 10^{-14} \vec{k} \text{ N}\)
Vecteur Vitesse\(\vec{v}\)\((2.0 \vec{i} + 3.0 \vec{j}) \times 10^5 \text{ m/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

C'est une question de cours. Dès que vous lisez "travail de la force magnétique (statique)", la réponse devrait immédiatement être "zéro". La justification passe toujours par l'orthogonalité de la force et de la vitesse.

Schéma (Avant les calculs)
Orthogonalité de \(\vec{F}\) et \(\vec{v}\)
vF
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la puissance instantanée

Nous calculons la puissance instantanée, qui est le produit scalaire du vecteur force et du vecteur vitesse. Si la puissance est nulle, le travail est nul.

\[ \begin{aligned} P &= \vec{F} \cdot \vec{v} \\ &= (1.602 \times 10^{-14} \vec{k}) \cdot ((2.0 \times 10^5 \vec{i}) + (3.0 \times 10^5 \vec{j})) \\ &= 0 \end{aligned} \]

Conclusion sur le travail

\[ W = \int P dt = 0 \]
Schéma (Après les calculs)
Orthogonalité de \(\vec{F}\) et \(\vec{v}\)
vF
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un travail nul signifie que l'énergie cinétique du proton (\(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)) est constante. La force magnétique est une force "de déviation" pure : elle ne peut que changer la direction du vecteur vitesse, mais pas sa norme (la vitesse scalaire). La particule n'est ni accélérée, ni freinée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la force magnétique avec la force électrique \(\vec{F_e} = q\vec{E}\). Une force électrique est souvent colinéaire au déplacement et effectue donc un travail, modifiant l'énergie cinétique de la particule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse.
  • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul.
  • Par conséquent, la puissance de la force magnétique est nulle, et son travail aussi.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette propriété est exploitée dans les spectromètres de masse. Un champ électrique accélère d'abord les ions (leur donnant une énergie cinétique connue), puis un champ magnétique les dévie. Comme le champ B ne modifie pas leur énergie, le rayon de leur trajectoire circulaire ne dépend plus que de leur rapport masse/charge, permettant de les trier.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le travail effectué par la force magnétique est nul (\(W=0\)).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un champ électrique \(\vec{E} = 1000 \vec{j} \text{ V/m}\) est superposé au champ magnétique. Quel est le travail de la force de Lorentz totale sur un déplacement de \(\Delta y = 2 \text{ cm}\) ? (Réponse en \(10^{-19} \text{ J}\))

Question 4 : Décrire la nature de la trajectoire du proton.

Principe (le concept physique)

La trajectoire d'une particule est déterminée par la superposition des mouvements engendrés par chaque composante de sa vitesse. Il faut analyser séparément l'effet du champ magnétique sur la composante de vitesse parallèle au champ et sur la composante perpendiculaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En physique, le principe de superposition stipule que le mouvement résultant d'un point matériel soumis à plusieurs causes indépendantes est la somme vectorielle des mouvements que chaque cause produirait si elle agissait seule. Ici, nous décomposons le vecteur vitesse initial \(\vec{v}\) en \(\vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp}\). Le champ magnétique n'agissant que sur \(\vec{v}_{\perp}\), on peut analyser le mouvement rectiligne dû à \(\vec{v}_{\parallel}\) et le mouvement circulaire dû à \(\vec{v}_{\perp}\) de façon indépendante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La clé pour ce type de problème est toujours de décomposer la vitesse en une composante parallèle et une composante perpendiculaire au champ \(\vec{B}\). La composante parallèle vous donne la translation, la composante perpendiculaire vous donne la rotation. La combinaison des deux donne la trajectoire complète.

Réflexions

La vitesse initiale a deux composantes :

  • \(\vec{v}_{\perp} = \vec{v_x} = 2.0 \times 10^5 \vec{i} \text{ m/s}\), qui est perpendiculaire à \(\vec{B}\).
  • \(\vec{v}_{\parallel} = \vec{v_y} = 3.0 \times 10^5 \vec{j} \text{ m/s}\), qui est parallèle à \(\vec{B}\).
La composante parallèle \(\vec{v}_{\parallel}\) n'est pas affectée par le champ magnétique (car \(\vec{v}_{\parallel} \times \vec{B} = 0\)). Le proton continue donc son mouvement rectiligne uniforme le long de l'axe y.
La composante perpendiculaire \(\vec{v}_{\perp}\) subit la force magnétique \(\vec{F}\) qui est toujours perpendiculaire à elle. Une force de norme constante, toujours perpendiculaire à la vitesse, est la définition d'une force centripète, qui engendre un mouvement circulaire uniforme dans le plan (x-z).
La combinaison de ces deux mouvements indépendants — une translation à vitesse constante et une rotation à vitesse constante — est une trajectoire hélicoïdale.

Schéma (la trajectoire hélicoïdale)
y (B, v||)xzTranslationRotationTrajectoire Hélicoïdale
Point de vigilance

L'erreur classique est de penser que la trajectoire est un simple cercle. Cela n'est vrai que si la vitesse initiale est parfaitement perpendiculaire au champ magnétique. Si une composante de vitesse est parallèle au champ, il y aura toujours une translation qui se superpose au mouvement circulaire, créant une hélice.

Résultat Final
La trajectoire du proton est une hélice, avec l'axe de l'hélice aligné sur l'axe y (direction de \(\vec{B}\)).

Question 5 : Calculer le rayon \(r\) de la trajectoire circulaire projetée.

Principe (le concept physique)

Comme la force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse, elle ne change pas la vitesse scalaire de la particule. Une force de norme constante et toujours perpendiculaire au mouvement est une force centripète. Elle contraint la particule à suivre une trajectoire circulaire. En égalant la force magnétique à la force centripète requise, on peut déterminer les caractéristiques géométriques de cette trajectoire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La seconde loi de Newton (\(\Sigma \vec{F} = m\vec{a}\)) est le principe directeur. Dans le plan du mouvement circulaire (ici, le plan x-z), la seule force est la force magnétique \(\vec{F}\). L'accélération est l'accélération centripète, \(\vec{a_c}\), dont la norme est \(a_c = v_{\perp}^2 / r\), où \(v_{\perp}\) est la vitesse dans ce plan et \(r\) est le rayon du cercle. En écrivant \(F = ma_c\), on obtient l'équation qui permet de trouver le rayon.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites bien attention à n'utiliser que la composante de la vitesse qui est perpendiculaire au champ magnétique (\(v_{\perp}\)) pour ce calcul. La composante de la vitesse parallèle au champ (\(v_{\parallel}\)) ne contribue pas à la force et donc pas au mouvement circulaire ; elle est responsable du "déplacement" de l'hélice.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de normes. Les dimensions (rayon) se mesurent en mètres (m) dans le Système International.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Égalité des forces

\[ F_{\text{magnétique}} = F_{\text{centripète}} \Rightarrow |q| v_{\perp} B = \frac{m v_{\perp}^2}{r} \]

Formule du rayon

\[ r = \frac{m v_{\perp}}{|q| B} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le proton reste dans la région où le champ \(\vec{B}\) est uniforme pendant sa trajectoire. Si le champ variait, le rayon de courbure changerait constamment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse du proton\(m\)\(1.672 \times 10^{-27}\)\(\text{kg}\)
Charge du proton\(|q|\)\(1.602 \times 10^{-19}\)\(\text{C}\)
Vitesse perpendiculaire\(v_{\perp}\)\(2.0 \times 10^5\)\(\text{m/s}\)
Champ magnétique\(B\)\(0.5\)\(\text{T}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La grandeur \(r = p_{\perp}/|q|B\), où \(p_{\perp} = mv_{\perp}\) est la quantité de mouvement perpendiculaire, est souvent appelée le "rayon de Larmor" ou "gyrorayon". C'est une formule très utilisée en physique des plasmas et en astrophysique.

Schéma (Avant les calculs)
Vue du mouvement circulaire (plan x-z)
vFr
Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique du rayon

Nous isolons le rayon \(r\) dans la formule d'équilibre des forces et nous remplaçons chaque variable par sa valeur numérique pour trouver le résultat.

\[ \begin{aligned} r &= \frac{(1.672 \times 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (2.0 \times 10^5 \text{ m/s})}{(1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) \cdot (0.5 \text{ T})} \\ &= \frac{3.344 \times 10^{-22}}{0.801 \times 10^{-19}} \text{ m} \\ &= 4.175 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vue du mouvement circulaire avec rayon
vFr = 4.18 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un rayon de quelques millimètres est une trajectoire très serrée, ce qui confirme que la force magnétique, bien que faible en valeur absolue, a un effet très prononcé sur une particule aussi légère qu'un proton. C'est ce principe qui permet de confiner des plasmas très chauds dans les réacteurs à fusion (tokamaks) en utilisant des champs magnétiques intenses.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est d'oublier de simplifier \(v_{\perp}\) dans la formule \(r = \frac{m v_{\perp}^2}{|q| v_{\perp} B}\). Une autre est d'utiliser la masse ou la charge d'un électron à la place de celles d'un proton. Lisez toujours attentivement les données.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force magnétique joue le rôle de force centripète pour la composante \(v_{\perp}\).
  • Le rayon de la trajectoire est donné par \(r = mv_{\perp}/|q|B\).
  • Le rayon est proportionnel à la masse et à la vitesse, et inversement proportionnel à la charge et au champ B.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les aurores boréales sont un magnifique exemple de ce phénomène à grande échelle. Des particules chargées (protons, électrons) issues du vent solaire sont piégées par le champ magnétique terrestre et suivent des trajectoires hélicoïdales le long des lignes de champ, pour finalement exciter les atomes de la haute atmosphère près des pôles, créant ces draperies lumineuses.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rayon de la trajectoire circulaire est \(r \approx 4.18 \text{ mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le rayon de la trajectoire pour un électron (\(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\)) avec la même vitesse perpendiculaire dans le même champ ? (Réponse en micromètres, \(\mu\text{m}\))


Outil Interactif : Simulateur de Force Magnétique

Utilisez cet outil pour voir comment la norme de la force magnétique et le rayon de la trajectoire changent en fonction de la vitesse perpendiculaire du proton et de l'intensité du champ magnétique.

Paramètres d'Entrée
2.0 x 10^5 m/s
0.5 T
Résultats Clés
Force Magnétique (\(F\)) (\(10^{-14}\) N) -
Rayon de la trajectoire (\(r\)) (mm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'orientation de la force magnétique par rapport à la vitesse de la particule ?

2. Si on double la vitesse du proton (composante perpendiculaire), comment la force magnétique change-t-elle ?

3. Un neutron, qui n'a pas de charge, entre dans le même champ magnétique avec la même vitesse. Quelle force magnétique subit-il ?

4. Le travail de la force de Lorentz est toujours nul. Qu'est-ce que cela implique pour l'énergie cinétique de la particule ?

5. Si la vitesse initiale du proton était parfaitement alignée avec le champ magnétique, sa trajectoire serait :


Force de Lorentz
Force fondamentale subie par une particule chargée \(q\) se déplaçant à une vitesse \(\vec{v}\) dans un champ électrique \(\vec{E}\) et un champ magnétique \(\vec{B}\). L'expression complète est \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\). Cet exercice ne considère que la composante magnétique.
Produit Vectoriel
Opération mathématique sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel qui produit un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers. Sa direction est donnée par la règle de la main droite.
Trajectoire Hélicoïdale
Trajectoire en forme de ressort ou de tire-bouchon. Elle résulte de la superposition d'un mouvement circulaire uniforme dans un plan et d'un mouvement rectiligne uniforme dans une direction perpendiculaire à ce plan.
Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

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