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Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Comprendre la Force Magnétique (Force de Lorentz)

Une particule chargée électriquement se déplaçant dans une région où règne un champ magnétique subit une force appelée force magnétique. Cette force est une composante de la force de Lorentz, qui décrit l'interaction électromagnétique complète. La force magnétique \(\vec{F}_m\) dépend de la charge \(q\) de la particule, de son vecteur vitesse \(\vec{v}\), et du vecteur champ magnétique \(\vec{B}\). Elle est donnée par le produit vectoriel \(\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})\). Une caractéristique importante de cette force est qu'elle est toujours perpendiculaire à la fois à la vitesse de la particule et au champ magnétique. Par conséquent, la force magnétique ne modifie pas la valeur de la vitesse de la particule (son énergie cinétique), mais elle change la direction de son mouvement, pouvant entraîner des trajectoires circulaires ou hélicoïdales.

Données de l'étude

Un proton pénètre dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme.

Caractéristiques du proton et du champ :

  • Charge du proton : \(q_p = +1,60 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Vecteur vitesse du proton : \(\vec{v} = (2,0 \times 10^6 \, \text{m/s}) \vec{i} + (3,0 \times 10^6 \, \text{m/s}) \vec{j} + (0 \, \text{m/s}) \vec{k}\)
  • Vecteur champ magnétique : \(\vec{B} = (0 \, \text{T}) \vec{i} + (0 \, \text{T}) \vec{j} + (0,50 \, \text{T}) \vec{k}\)
  • (\(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) forment une base orthonormée directe)
Schéma : Proton dans un champ magnétique
x y z O p+ v B F_m ? Proton avec vitesse v dans un champ B.

Un proton se déplace avec une vitesse \(\vec{v}\) dans une région où règne un champ magnétique \(\vec{B}\).

Questions à traiter

  1. Rappeler l'expression vectorielle de la force magnétique \(\vec{F}_m\) (composante de la force de Lorentz) s'exerçant sur une particule de charge \(q\) se déplaçant avec un vecteur vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\).
  2. Calculer les composantes du produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\).
  3. En déduire les composantes du vecteur force magnétique \(\vec{F}_m\) s'exerçant sur le proton.
  4. Calculer le module (ou norme) \(F_m\) de cette force magnétique.
  5. Décrire qualitativement la direction et le sens de cette force par rapport aux vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\).

Correction : Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Question 1 : Expression de la force magnétique

Principe :

La force magnétique est la partie de la force de Lorentz qui dépend du champ magnétique et de la vitesse de la particule chargée.

L'expression vectorielle de la force magnétique \(\vec{F}_m\) s'exerçant sur une particule de charge \(q\) se déplaçant avec un vecteur vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) est :

\[\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})\]

Où :

  • \(\vec{F}_m\) est le vecteur force magnétique en Newtons (\(\text{N}\)).
  • \(q\) est la charge de la particule en Coulombs (\(\text{C}\)).
  • \(\vec{v}\) est le vecteur vitesse de la particule en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)).
  • \(\vec{B}\) est le vecteur champ magnétique en Teslas (\(\text{T}\)).
  • \(\times\) représente le produit vectoriel.
Résultat Question 1 : La force magnétique est donnée par \(\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})\).

Question 2 : Calcul du produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\)

Principe :

Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)\) et \(\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)\) est donné par : \(\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y)\vec{i} + (A_z B_x - A_x B_z)\vec{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\vec{k}\).

Données spécifiques et Calculs :
  • \(\vec{v} = (2,0 \times 10^6)\vec{i} + (3,0 \times 10^6)\vec{j} + (0)\vec{k} \, \text{ m/s}\)
    \(v_x = 2,0 \times 10^6 \, \text{m/s}\), \(v_y = 3,0 \times 10^6 \, \text{m/s}\), \(v_z = 0 \, \text{m/s}\)
  • \(\vec{B} = (0)\vec{i} + (0)\vec{j} + (0,50)\vec{k} \, \text{ T}\)
    \(B_x = 0 \, \text{T}\), \(B_y = 0 \, \text{T}\), \(B_z = 0,50 \, \text{T}\)

Calcul des composantes de \(\vec{v} \times \vec{B}\) :

\[ \begin{aligned} (\vec{v} \times \vec{B})_x &= v_y B_z - v_z B_y \\ &= (3,0 \times 10^6) \times (0,50) - (0) \times (0) \\ &= 1,5 \times 10^6 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} (\vec{v} \times \vec{B})_y &= v_z B_x - v_x B_z \\ &= (0) \times (0) - (2,0 \times 10^6) \times (0,50) \\ &= -1,0 \times 10^6 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} (\vec{v} \times \vec{B})_z &= v_x B_y - v_y B_x \\ &= (2,0 \times 10^6) \times (0) - (3,0 \times 10^6) \times (0) \\ &= 0 \end{aligned} \]

Donc, \(\vec{v} \times \vec{B} = (1,5 \times 10^6) \vec{i} - (1,0 \times 10^6) \vec{j} + (0) \vec{k} \, \text{ (unités : T} \cdot \text{m/s)}\).

Résultat Question 2 : Le produit vectoriel est \(\vec{v} \times \vec{B} = (1,5 \times 10^6) \vec{i} - (1,0 \times 10^6) \vec{j} \, \text{ T} \cdot \text{m/s}\).

Question 3 : Composantes du vecteur force magnétique \(\vec{F}_m\)

Principe :

On utilise la formule \(\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})\) avec la charge du proton et le résultat du produit vectoriel précédent.

Données spécifiques et Calculs :
  • \(q_p = +1,60 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • \(\vec{v} \times \vec{B} = (1,5 \times 10^6) \vec{i} - (1,0 \times 10^6) \vec{j} \, \text{ T} \cdot \text{m/s}\)
\[ \begin{aligned} \vec{F}_m &= (1,60 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times [ (1,5 \times 10^6) \vec{i} - (1,0 \times 10^6) \vec{j} ] \\ &= (1,60 \times 10^{-19} \times 1,5 \times 10^6) \vec{i} + (1,60 \times 10^{-19} \times (-1,0 \times 10^6)) \vec{j} \\ &= (2,40 \times 10^{-13}) \vec{i} - (1,60 \times 10^{-13}) \vec{j} \, \text{ N} \end{aligned} \]

Donc, les composantes sont :
\(F_{mx} = 2,40 \times 10^{-13} \, \text{N}\)
\(F_{my} = -1,60 \times 10^{-13} \, \text{N}\)
\(F_{mz} = 0 \, \text{N}\)

Résultat Question 3 : Le vecteur force magnétique est \(\vec{F}_m = (2,40 \times 10^{-13}) \vec{i} - (1,60 \times 10^{-13}) \vec{j} \, \text{ N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge \(q\) d'une particule est négative, la direction de la force magnétique \(\vec{F}_m\) par rapport au produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\) est :

Question 4 : Module de la force magnétique \(F_m\)

Principe :

Le module d'un vecteur \(\vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k}\) est donné par \(A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\).

Alternativement, \(F_m = |q| \cdot |\vec{v}| \cdot |\vec{B}| \cdot |\sin\theta|\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\). Mais il est plus direct d'utiliser les composantes de \(\vec{F}_m\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_m = \sqrt{F_{mx}^2 + F_{my}^2 + F_{mz}^2}\]
Données spécifiques et Calculs :
  • \(F_{mx} = 2,40 \times 10^{-13} \, \text{N}\)
  • \(F_{my} = -1,60 \times 10^{-13} \, \text{N}\)
  • \(F_{mz} = 0 \, \text{N}\)
\[ \begin{aligned} F_m &= \sqrt{(2,40 \times 10^{-13})^2 + (-1,60 \times 10^{-13})^2 + (0)^2} \\ &= \sqrt{(5,76 \times 10^{-26}) + (2,56 \times 10^{-26})} \\ &= \sqrt{8,32 \times 10^{-26}} \\ &\approx 2,884 \times 10^{-13} \, \text{N} \end{aligned} \]

Arrondi à 3 chiffres significatifs : \(F_m \approx 2,88 \times 10^{-13} \, \text{N}\).

Résultat Question 4 : Le module de la force magnétique est \(F_m \approx 2,88 \times 10^{-13} \, \text{N}\).

Question 5 : Direction et sens de la force magnétique

Principe :

La force magnétique \(\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})\) est, par définition du produit vectoriel, perpendiculaire au plan formé par les vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{B}\). Son sens est donné par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon) pour le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\), puis on tient compte du signe de la charge \(q\).

Analyse :

Vecteur vitesse : \(\vec{v} = (2,0 \times 10^6)\vec{i} + (3,0 \times 10^6)\vec{j}\). Ce vecteur est dans le plan (xOy).

Vecteur champ magnétique : \(\vec{B} = (0,50)\vec{k}\). Ce vecteur est dirigé selon l'axe Oz.

Le produit vectoriel \(\vec{v} \times \vec{B}\) est \((1,5 \times 10^6) \vec{i} - (1,0 \times 10^6) \vec{j}\). Ce vecteur est également dans le plan (xOy).

Le vecteur force \(\vec{F}_m = (2,40 \times 10^{-13}) \vec{i} - (1,60 \times 10^{-13}) \vec{j}\) est donc aussi dans le plan (xOy).

Vérifions la perpendicularité :
\(\vec{F}_m \cdot \vec{v} = (2,40 \times 10^{-13})(2,0 \times 10^6) + (-1,60 \times 10^{-13})(3,0 \times 10^6) + (0)(0)\)
\(= 4,80 \times 10^{-7} - 4,80 \times 10^{-7} = 0\).
Donc, \(\vec{F}_m\) est perpendiculaire à \(\vec{v}\).

Vérifions la perpendicularité avec \(\vec{B}\) :
\(\vec{F}_m \cdot \vec{B} = (2,40 \times 10^{-13})(0) + (-1,60 \times 10^{-13})(0) + (0)(0,50) = 0\).
Donc, \(\vec{F}_m\) est perpendiculaire à \(\vec{B}\).

Qualitativement, si \(\vec{v}\) a des composantes \(v_x > 0, v_y > 0\) et que \(\vec{B}\) est selon \(+ \vec{k}\) (sortant du plan xy), la règle de la main droite pour \(\vec{v} \times \vec{B}\) donne un vecteur avec une composante x positive et une composante y négative (ce que nous avons trouvé). Comme \(q_p > 0\), \(\vec{F}_m\) a le même sens que \(\vec{v} \times \vec{B}\).

Résultat Question 5 : La force magnétique \(\vec{F}_m\) est perpendiculaire à la fois au vecteur vitesse \(\vec{v}\) et au vecteur champ magnétique \(\vec{B}\). Dans ce cas, \(\vec{v}\) est dans le plan (xOy), \(\vec{B}\) est selon l'axe Oz, et \(\vec{F}_m\) est dans le plan (xOy), perpendiculaire à \(\vec{v}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La force magnétique exercée sur une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est :

7. Si une particule chargée se déplace parallèlement à un champ magnétique uniforme, la force magnétique sur elle est :

8. L'unité du champ magnétique dans le Système International est le :

Glossaire

Force de Lorentz
Force totale exercée sur une particule chargée \(q\) se déplaçant avec une vitesse \(\vec{v}\) dans une région où existent un champ électrique \(\vec{E}\) et un champ magnétique \(\vec{B}\). Elle est donnée par \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\).
Force magnétique (\(\vec{F}_m\))
Composante de la force de Lorentz due au champ magnétique : \(\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})\).
Charge électrique (q)
Propriété fondamentale de la matière responsable des interactions électromagnétiques. Unité SI : Coulomb (C).
Vecteur vitesse (\(\vec{v}\))
Vecteur décrivant la rapidité et la direction du mouvement d'une particule. Unité SI : mètre par seconde (m/s).
Vecteur champ magnétique (\(\vec{B}\))
Vecteur caractérisant l'influence magnétique en un point de l'espace. Unité SI : Tesla (T).
Produit vectoriel (\(\times\))
Opération mathématique sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel qui produit un troisième vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux premiers. Sa direction est donnée par la règle de la main droite.
Tesla (T)
Unité de mesure de l'intensité du champ magnétique dans le Système International.
Proton
Particule subatomique portant une charge électrique positive élémentaire.
Règle de la main droite
Moyen mnémotechnique pour déterminer la direction du produit vectoriel (et donc de la force magnétique, en tenant compte du signe de la charge).
Calcul de la Force Magnétique sur un Proton - Exercice d'Application (Niveau Université)

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