Calcul de la Densité d'un Objet
📝 Situation du Projet
Vous êtes l'Expert Scientifique en chef au sein du Laboratoire National de Criminalistique, unité des Fraudes et Contrefaçons. L'ambiance est tendue : une saisie douanière récente a permis d'intercepter une statuette ancienne en forme de faucon, prétendument en or pur \(24\) carats, estimée à plusieurs millions d'euros. Le suspect affirme qu'il s'agit d'un héritage familial inestimable, mais les douaniers, alertés par la provenance et l'absence de certificat, soupçonnent une contrefaçon sophistiquée en plomb plaqué or ou en alliage de cuivre, destinée à blanchir de l'argent.
Pour confirmer ou infirmer les dires du suspect sans endommager l'artefact (interdiction formelle de gratter, limer ou percer l'objet), vous devez déterminer la nature exacte du métal qui compose l'objet de manière non destructive. La méthode retenue est l'analyse de la masse volumique (densité), une "empreinte digitale" physique de la matière qui permet de discriminer les matériaux purs. Vous disposez d'un laboratoire de métrologie équipé de matériel de précision pour mener cette enquête décisive.
En tant qu'Ingénieur Physicien, vous devez calculer la masse volumique de la statuette à partir des mesures expérimentales réalisées ce matin par votre équipe, puis la comparer aux valeurs de référence officielles pour identifier le métal et rendre votre rapport d'expertise définitif.
"Attention, l'objet est irrégulier. Le calcul du volume par formule géométrique est impossible. Utilisez impérativement la méthode par déplacement d'eau. Soyez précis sur la lecture du ménisque !"
Afin de garantir la fiabilité de l'expertise, l'équipe technique du laboratoire a suivi un protocole de mesure strict (Norme ISO-1183). Les conditions ambiantes ont été contrôlées (Température de la salle = \(20^{\circ}\text{C}\)) pour éviter toute dilatation thermique des matériaux qui fausserait les mesures de volume. Les instruments utilisés ont tous été calibrés le matin même.
📚 Référentiel Normatif
Système International (SI)Protocole ISO-1183 (Volumétrie)Voici les valeurs mesurées directement sur l'échantillon "Faucon" à l'aide de la balance de précision (incertitude \(\pm 0.01\text{ g}\)) et de l'éprouvette graduée classe A (incertitude \(\pm 0.5\text{ mL}\)).
| DONNÉES PHYSIQUES DE L'ÉCHANTILLON | |
| Masse de la statuette (\(m\)) | \(289.5\text{ g}\) |
| Volume d'eau initial dans l'éprouvette (\(V_{\text{initial}}\)) | \(150.0\text{ mL}\) |
| LECTURE DU VOLUME FINAL | |
| Volume d'eau final avec objet (\(V_{\text{final}}\)) | Voir Schéma Technique ci-dessous |
📐 Table des Propriétés Physiques (Chimie)
Le tableau ci-dessous recense les masses volumiques standard des métaux précieux et usuels à \(20^{\circ}\text{C}\). Ces valeurs servent de référence absolue pour l'identification.
- Aluminium (Al) : \(2.7\text{ g/cm}^3\) (Métal très léger)
- Cuivre (Cu) : \(8.9\text{ g/cm}^3\) (Métal rougeâtre, densité moyenne)
- Plomb (Pb) : \(11.3\text{ g/cm}^3\) (Métal gris, lourd et malléable)
- Or Pur (Au - 24k) : \(19.3\text{ g/cm}^3\) (Métal jaune, extrêmement dense)
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse Mesurée | \(m\) | \(289.5\) | g (grammes) |
| Volume Initial | \(V_{\text{initial}}\) | \(150.0\) | mL (millilitres) |
| Volume Final | \(V_{\text{final}}\) | À lire sur le schéma | mL (millilitres) |
E. Protocole de Résolution
Pour mener à bien cette expertise et identifier le matériau avec certitude, nous allons suivre une démarche scientifique rigoureuse en trois temps.
Détermination du Volume
Nous allons d'abord calculer le volume exact de la statuette en utilisant la méthode du déplacement d'eau, en comparant les niveaux avant et après immersion.
Calcul de la Masse Volumique
En combinant la masse (mesurée sur la balance) et le volume (calculé précédemment), nous déterminerons la masse volumique \( \rho \) de l'objet.
Identification du Matériau
Nous comparerons notre résultat expérimental avec les valeurs standards de la physique pour conclure sur la nature du métal (Or, Cuivre, etc.).
Conclusion de l'Expertise
Rédaction du rapport final certifiant l'authenticité ou la contrefaçon de la pièce à conviction.
Calcul de la Densité d'un Objet
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est de quantifier le volume physique occupé par la statuette. Puisque l'objet présente une forme complexe et irrégulière (sculptures, détails artistiques), l'utilisation d'une formule géométrique simple (comme pour un cube ou une sphère) est impossible. Nous devons donc déterminer cette grandeur \(V_{\text{objet}}\) par une méthode expérimentale indirecte pour pouvoir l'exploiter ensuite.
📚 Référentiel
Principe d'Archimède (Volume déplacé)Méthode par ImmersionPour un solide non poreux et insoluble, la méthode du déplacement de fluide est la plus précise. Le principe est simple : deux corps ne peuvent occuper le même espace simultanément. En immergeant totalement la statuette, elle repousse un volume d'eau strictement égal à son propre volume. La variation de niveau dans l'éprouvette graduée nous donnera directement cette valeur par différence.
Le volume est une grandeur extensive qui mesure l'espace tridimensionnel occupé par un corps. L'unité légale est le mètre cube (\(m^3\)), mais en chimie et physique de laboratoire, le millilitre (\(mL\)) et le centimètre cube (\(cm^3\)) sont privilégiés pour leur commodité. Il est crucial de rappeler l'équivalence fondamentale :
📐 Formules Clés
Formule du volume par déplacement :Manipulation théorique pour obtenir la formule : Imaginez l'éprouvette comme une addition de volumes. Le volume total final (\(V_{\text{final}}\)) est la somme du volume d'eau initial (\(V_{\text{initial}}\)) et du volume de l'objet ajouté. Mathématiquement, cela s'écrit :
Pour isoler le volume de l'objet qui nous intéresse, nous devons inverser cette addition en soustraction. On passe \(V_{\text{initial}}\) de l'autre côté de l'égalité :
Cette formule signifie concrètement que le volume de l'objet correspond à la quantité d'eau qui a "monté".
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Volume Initial (\(V_{\text{initial}}\)) | \(150.0\text{ mL}\) |
| Volume Final (\(V_{\text{final}}\)) | À lire sur le schéma |
Pour une lecture précise, placez votre œil au niveau de la surface du liquide. La lecture se fait toujours au bas du ménisque (la partie la plus basse de la courbe formée par l'eau), et non sur les bords qui remontent par capillarité.
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Lecture du Volume Final (\(V_{\text{final}}\)) :
Manipulation : En analysant le schéma technique zoomé, nous observons le niveau de l'eau. Le niveau dépasse la graduation principale \(160\). Nous comptons \(5\) petites subdivisions au-dessus de \(160\). Sachant que l'intervalle entre \(160\) et \(170\) est de \(10\text{ mL}\) et qu'il y a \(10\) subdivisions, chaque petite barre vaut \(1\text{ mL}\). On effectue l'addition :
Le volume final est donc confirmé à \(165\text{ mL}\).
2. Calcul du volume de la statuette :
Manipulation : Nous appliquons maintenant la formule de soustraction établie plus haut. On remplace les variables par leurs valeurs numériques : \(V_{\text{final}}\) par \(165\) et \(V_{\text{initial}}\) par \(150\).
La statuette a déplacé \(15\text{ mL}\) d'eau.
3. Conversion d'unité :
Manipulation : Pour être compatible avec les tables de densité standard (\(\text{g/cm}^3\)), nous devons convertir. Comme \(1\text{ mL}\) est strictement égal à \(1\text{ cm}^3\), la valeur numérique ne change pas, seule l'unité change.
Le volume physique retenu pour la suite est de \(15\text{ cm}^3\).
✅ Interprétation Globale
Nous avons réussi à déterminer que l'objet occupe un volume de \(15\) centimètres cubes. Ce résultat est fondamental car il représente la "taille réelle" de la matière, indépendamment de sa forme complexe. C'est une valeur intermédiaire indispensable.
Le volume trouvé est positif, ce qui est physiquement obligatoire. L'augmentation de niveau (\(15\text{ mL}\)) est significative et facilement lisible sur une éprouvette de cette taille, ce qui minimise l'incertitude relative.
Il est impératif que l'objet soit totalement immergé. Si une aile dépassait de la surface, le volume lu serait inférieur à la réalité, faussant tout le calcul de densité vers le haut.
🎯 Objectif
Nous disposons désormais de la masse (\(289.5\text{ g}\)) et du volume (\(15\text{ cm}^3\)). L'objectif est de combiner ces deux grandeurs pour obtenir une propriété intrinsèque du matériau : sa masse volumique. Cela revient à normaliser la mesure pour répondre à la question : "Combien pèserait un cube de \(1\text{ cm}\) de côté fait de cette matière ?".
📚 Référentiel
Loi de la Masse VolumiquePropriétés intensives de la matièreLa masse dépend de la quantité de matière, et le volume dépend de la taille de l'objet. Ce sont des grandeurs extensives. En faisant le rapport des deux, nous obtenons une grandeur intensive (la densité), qui ne dépend plus de la taille de l'objet mais uniquement de sa nature chimique. C'est la clé de l'identification.
La masse volumique, notée \(\rho\) (rhô), représente la concentration de la masse dans l'espace. Un matériau "lourd" comme l'or a une masse volumique élevée (beaucoup d'atomes ou atomes lourds par \(\text{cm}^3\)), tandis qu'un matériau "léger" comme l'aluminium a une masse volumique faible.
📐 Formules Clés
Définition de la masse volumique :Manipulation théorique pour obtenir la formule : On cherche à connaître la masse pour une unité de volume (\(1\text{ cm}^3\)). On effectue donc un raisonnement de proportionnalité (règle de trois). Si un volume \(V\) correspond à une masse \(m\), alors un volume de \(1\) correspond à \(X\). En posant le produit en croix :
Cela nous donne la formule de division classique :
Le résultat sera exprimé en grammes par centimètre cube (\(\text{g/cm}^3\)).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Masse (\(m\)) | \(289.5\text{ g}\) |
| Volume (\(V\)) | \(15\text{ cm}^3\) |
Avant de calculer, anticipez l'ordre de grandeur. Nous divisons environ \(300\) par \(15\). Le résultat devrait être proche de \(20\). Si vous trouvez \(0.05\) ou \(2000\), vérifiez votre opération.
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Application de la formule :
Manipulation : Nous posons la division. Au numérateur (en haut), on place la masse mesurée. Au dénominateur (en bas), on place le volume calculé précédemment.
Le calcul donne une valeur exacte de \(19.3\).
✅ Interprétation Globale
La statuette possède une masse volumique de \(19.3\text{ g/cm}^3\). Cela signifie que ce matériau est extrêmement dense, bien plus que l'acier (\(7.8\)) ou le plomb (\(11.3\)). C'est une caractéristique physico-chimique très forte.
Une densité de \(19.3\) est physiquement possible pour des métaux lourds (Or, Tungstène, Uranium, Platine). Ce n'est pas une valeur aberrante. Si nous avions trouvé une densité de \(1\) ou \(2\), nous aurions suspecté du plastique ou du verre.
Ne confondez pas la densité (sans unité, rapport à l'eau) et la masse volumique (avec unité). Ici, comme la masse volumique de l'eau est de \(1\text{ g/cm}^3\), la valeur numérique est la même, mais la rigueur impose de garder l'unité \(\text{g/cm}^3\).
🎯 Objectif
C'est l'étape de conclusion de l'expertise. Nous devons confronter la "réalité expérimentale" (notre valeur calculée de \(19.3\text{ g/cm}^3\)) à la "vérité scientifique" (les tables de référence). Cette comparaison nous permettra d'identifier formellement le métal et de répondre à la problématique de la contrefaçon.
📚 Référentiel
Table périodique des élémentsBase de données matériauxEn criminalistique, il ne suffit pas que le résultat soit "proche". Il faut qu'il corresponde avec une précision suffisante pour exclure les autres candidats. Ici, les candidats probables pour une contrefaçon sont le cuivre (densité \(8.9\)) ou le plomb (densité \(11.3\)). Si notre résultat est très éloigné de ces valeurs, nous pourrons les écarter avec certitude.
Chaque corps pur possède une structure atomique unique (réseau cristallin) et une masse atomique spécifique. Cette combinaison détermine une densité unique et constante. C'est une méthode d'identification non destructive très puissante, utilisée depuis Archimède pour vérifier la couronne du roi Hiéron.
📐 Formules Clés
Principe d'identification :Manipulation logique : L'identification repose sur un test d'égalité stricte. On cherche dans la table de référence l'élément \(X\) tel que sa densité théorique \(\rho_X\) soit égale à notre densité calculée.
L'égalité doit être vérifiée aux incertitudes de mesure près.
📋 Données d'Entrée
| Matériau | Masse Volumique (\(\text{g/cm}^3\)) | Hypothèse |
|---|---|---|
| Aluminium | \(2.7\) | Rejeté |
| Cuivre | \(8.9\) | Rejeté |
| Plomb | \(11.3\) | Rejeté |
| Or (24k) | \(19.3\) | À vérifier |
Regardez les écarts. Entre \(11.3\) (Plomb) et \(19.3\) (Or), il y a un monde ! Une simple erreur de mesure ne pourrait pas transformer du plomb en or. L'écart est trop grand pour être accidentel.
Étape 2 : Analyse Comparative
1. Comparaison mathématique :
Manipulation : Nous posons l'égalité entre notre résultat expérimental et la valeur théorique de l'or pur. Nous calculons la différence absolue (\(\Delta\)).
L'écart est nul. La correspondance est parfaite.
✅ Interprétation Globale
La valeur mesurée correspond exactement à la masse volumique de l'or pur \(24\) carats. Il n'y a aucune correspondance avec les métaux vils (cuivre, plomb) qui ont des densités beaucoup plus faibles. L'hypothèse de la contrefaçon grossière en plomb est écartée.
Le résultat est cohérent avec l'aspect visuel (jaune brillant) et le poids ressenti (très lourd). Tout concorde vers une authentification.
Attention, cette méthode ne détecte pas les noyaux en Tungstène (densité \(19.25\), quasi identique à l'or). Pour une certitude absolue à \(100\%\) sur des objets de très haute valeur, on compléterait par une analyse aux ultrasons (vitesse du son différente dans l'or et le tungstène). Cependant, au niveau scolaire, la preuve par densité est considérée comme suffisante.
🎯 Objectif
Au-delà de l'identification du métal principal, un expert doit qualifier la pureté. S'agit-il d'or pur (\(24\) carats) ou d'un alliage de bijouterie (\(18\) carats, souvent composé de \(75\%\) d'or et \(25\%\) de cuivre/argent) ? Cette distinction est fondamentale car elle modifie la valeur de l'objet et confirme l'histoire de "l'héritage inestimable".
📚 Référentiel
Normes de JoaillerieUn alliage est un mélange de métaux. La densité d'un alliage est une moyenne pondérée des densités de ses composants. Si l'objet était en or \(18\) carats, il contiendrait des métaux plus légers (cuivre, argent), ce qui ferait baisser sa densité globale bien en dessous de \(19.3\). Nous allons vérifier si notre mesure supporte l'hypothèse de l'or pur.
Le carat (k) mesure la pureté de l'or. \(24\text{k}\) correspond à de l'or pur à \(99.9\%\). \(18\text{k}\) signifie que sur \(24\) parts d'alliage, \(18\) sont de l'or et \(6\) sont d'un autre métal. La densité d'un alliage \(18\text{k}\) (Or-Cuivre) chute généralement autour de \(15.5\text{ g/cm}^3\).
📐 Formules Clés
Comparaison des standards :Manipulation théorique : On compare la valeur mesurée aux bornes théoriques des alliages.
📋 Données d'Entrée
| Type d'Or | Densité Théorique | Notre Résultat |
|---|---|---|
| Or 18k (750/1000) | \(\approx 15.5\) | Non |
| Or 24k (999/1000) | \(\approx 19.3\) | Oui |
Si vous avez un doute entre 22k et 24k, sachez que la différence de densité devient très faible. Il faudrait une balance de laboratoire encore plus précise. Mais pour distinguer du 18k, la méthode actuelle suffit largement.
Étape 2 : Validation Finale
1. Analyse de l'écart :
Manipulation : Notre mesure est de \(19.3\). L'or 18 carats est à \(15.5\). La différence est de \(3.8\) points de densité, ce qui est énorme et ne peut pas être une erreur de mesure.
Le résultat confirme sans équivoque la qualité 24 carats.
✅ Interprétation Globale
La statuette n'est pas un alliage. Elle est constituée d'or pur. Sa valeur marchande correspond donc à l'estimation maximale basée sur le cours de l'or fin.
Un objet ancien en or 24k est rare car l'or pur est très mou. Cela suggère un objet de cérémonie ou de trésor, plutôt qu'un objet utilitaire, ce qui renforce l'idée d'un "héritage inestimable".
Attention aux poinçons contrefaits. Un poinçon "24k" sur un bijou en 18k est une fraude courante. Seule la mesure physique (densité) ou chimique (acide) donne la vérité scientifique.
📄 Livrable Final (Rapport d'Expertise)
- Objet : Statuette Zoomorphe (Faucon)
- Origine : Saisie Douanière #998
- Aspect visuel : Métal jaune brillant
| Masse Mesurée | \(289.5\text{ g}\) |
| Volume Déplacé | \(15.0\text{ mL}\) |
Calcul de densité pour identification du réseau cristallin.
Prof. Ge
Dr. Watson
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