Bilan des Forces sur une Masse Suspendue
Contexte : L'Équilibre StatiqueUn objet est en équilibre statique lorsqu'il est immobile et que la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle..
En physique, comprendre comment les forces s'équilibrent est fondamental pour l'ingénierie, que ce soit pour construire un pont, une charpente ou simplement suspendre un objet. Cet exercice se concentre sur un cas classique : un objet maintenu en équilibre par deux fils. Nous utiliserons le principe d'inertie pour analyser la situation et déterminer les forces inconnues.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour apprendre à décomposer un problème de physique en étapes logiques : identifier les forces, appliquer un principe fondamental, et utiliser les mathématiques (vecteurs, trigonométrie) pour trouver la solution.
Objectifs Pédagogiques
- Réaliser le bilan des forces s'exerçant sur un système à l'équilibre.
- Appliquer le principe d'inertie (première loi de Newton) pour résoudre un problème de statique.
- Projeter des forces sur des axes et utiliser la trigonométrie pour déterminer l'intensité des forces.
Données de l'étude
Schéma de la situation
Visualisation 3D du système
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de l'objet | \(m\) | 5,0 | \(\text{kg}\) |
| Angle du fil 1 avec l'horizontale | \(\alpha\) | 30 | \(\text{degrés (}^\circ\text{)}\) |
| Angle du fil 2 avec l'horizontale | \(\beta\) | 45 | \(\text{degrés (}^\circ\text{)}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{N/kg}\) |
Questions à traiter
- Faire le bilan des forces s'exerçant sur l'objet et les représenter sur un schéma (diagramme des forces à l'équilibre), sans souci d'échelle.
- En appliquant le principe d'inertie, écrire la relation vectorielle liant ces forces.
- En projetant cette relation sur un système d'axes (Ox) horizontal et (Oy) vertical, déterminer par le calcul les valeurs des forces de tension \(T_1\) et \(T_2\) exercées par chaque fil.
Les bases de la Statique du Solide
La statique est la branche de la mécanique qui étudie les systèmes au repos. Pour qu'un objet reste immobile, il faut que toutes les forces qui agissent sur lui se compensent parfaitement. C'est ce que décrit la première loi de Newton.
1. Le Principe d'Inertie (Première Loi de Newton)
Dans un référentiel galiléen, si un système est immobile (ou en mouvement rectiligne uniforme), alors la somme vectorielle des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle. C'est la condition d'équilibre.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \]
2. Projection d'un Vecteur Force
Pour exploiter l'équation vectorielle, on la projette sur les axes d'un repère. Pour un vecteur \(\vec{F}\) faisant un angle \(\theta\) avec l'axe (Ox), ses coordonnées (ou composantes) sont :
- Sur l'axe (Ox) : \( F_x = F \cdot \cos(\theta) \)
- Sur l'axe (Oy) : \( F_y = F \cdot \sin(\theta) \)
Correction : Bilan des Forces sur une Masse Suspendue
Question 1 : Bilan et schéma des forces
Principe (le concept physique)
La première étape de tout problème de mécanique est d'isoler le système étudié (ici, la masse m) et d'identifier toutes les actions mécaniques (forces) exercées par l'extérieur sur ce système. C'est ce qu'on appelle faire le "bilan des forces".
Mini-Cours (approfondissement théorique)
On distingue deux types de forces : les forces de contact, qui nécessitent un contact physique (comme la tension d'un fil), et les forces à distance, qui s'exercent sans contact (comme le poids, dû à la gravitation).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour ne jamais oublier une force, posez-vous systématiquement la question : "Qu'est-ce qui touche l'objet ?" (pour les forces de contact) et "Qu'est-ce qui attire ou repousse l'objet à distance ?" (pour les forces à distance).
Normes (la référence réglementaire)
Cette étape n'est pas régie par une norme, mais elle est la base universelle de toute analyse mécanique, qu'elle soit scolaire ou professionnelle.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Aucune formule n'est nécessaire à ce stade, il s'agit d'une analyse qualitative.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les seules forces significatives sont le poids et les tensions des fils. On néglige par exemple la poussée d'Archimède de l'air.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Aucune donnée chiffrée n'est requise pour cette question purement descriptive.
Astuces(Pour aller plus vite)
Toujours commencer par le poids : c'est la force la plus facile à identifier et elle est présente dans la quasi-totalité des problèmes de mécanique sur Terre.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des forces à l'équilibre
Calcul(s) (l'application numérique)
Cette étape ne comporte pas de calculs.
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des forces à l'équilibre
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le diagramme montre bien que les tensions des fils ont des composantes verticales qui s'opposent au poids, et des composantes horizontales qui s'opposent entre elles pour garantir l'équilibre.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre les forces exercées *sur* le système avec les forces que le système exerce *sur* l'extérieur. Ici, on ne représente pas la force que la masse exerce sur les fils.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour un bilan des forces réussi : 1. Définir le système. 2. Identifier les forces de contact (ici, les tensions T1 et T2). 3. Identifier les forces à distance (ici, le poids P). 4. Représenter chaque force par un vecteur avec la bonne origine, la bonne direction et le bon sens.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de "diagramme du corps isolé" (ou "free body diagram" en anglais) a été popularisé par des ingénieurs et physiciens comme Irving Shames pour systématiser la résolution des problèmes de mécanique et éviter les erreurs.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le système {masse} est soumis à trois forces extérieures :
- Le poids \(\vec{P}\)
- La tension du fil 1, \(\vec{T_1}\)
- La tension du fil 2, \(\vec{T_2}\)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Imaginez qu'un aimant est placé sous la masse et exerce une force d'attraction verticale \(\vec{F}_a\) vers le bas. Combien de forces s'exerceraient alors au total sur la masse ?
Question 2 : Application du principe d'inertie
Principe (le concept physique)
Le système est décrit comme étant "en équilibre", ce qui signifie qu'il est immobile. Le principe d'inertie (ou première loi de Newton) est le concept fondamental qui régit l'état des systèmes immobiles ou en mouvement rectiligne uniforme.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le principe d'inertie est une pierre angulaire de la mécanique classique. Il affirme que pour modifier l'état de mouvement d'un corps (le mettre en mouvement, l'arrêter, changer sa trajectoire), une action extérieure nette (une force résultante non nulle) est nécessaire. En l'absence d'une telle force, le corps "persévère" dans son état : le repos ou le mouvement rectiligne uniforme.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Il est crucial d'écrire cette loi sous sa forme vectorielle en premier. Passer directement aux projections sans écrire la loi vectorielle est une source d'erreur fréquente, car on risque d'oublier une composante ou de se tromper dans les signes.
Normes (la référence réglementaire)
Le Principe Fondamental de la Statique (PFS), qui dérive du principe d'inertie, est la base de tous les calculs de stabilité des structures en génie civil et mécanique, et est donc un pilier de toutes les normes de construction.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le principe d'inertie se traduit mathématiquement par la condition d'équilibre : la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au système doit être égale au vecteur nul.
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'application de ce principe suppose que l'on se trouve dans un référentiel galiléen, une hypothèse presque toujours valide pour le référentiel terrestre dans les exercices de ce niveau.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données ne sont pas encore nécessaires, car on écrit une relation de principe.
Astuces(Pour aller plus vite)
Cette étape est purement conceptuelle et rapide : il s'agit simplement d'écrire la somme des forces identifiées à la question 1 et de l'égaler au vecteur nul.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des forces avec repère
Calcul(s) (l'application numérique)
Il n'y a pas de calcul numérique ici, seulement l'écriture de l'équation littérale vectorielle.
Schéma (Après les calculs)
Triangle des forces (condition d'équilibre)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation vectorielle \(\vec{P} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = \vec{0}\) est très riche. Elle implique que les trois forces se compensent parfaitement. Graphiquement, si on dessine les vecteurs les uns à la suite des autres (par exemple \(\vec{T_1}\), puis \(\vec{T_2}\) au bout de \(\vec{T_1}\), puis \(\vec{P}\) au bout de \(\vec{T_2}\)), on doit revenir au point de départ. Les trois vecteurs forment un triangle fermé.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier la notation vectorielle (la flèche au-dessus des forces) ou d'écrire "= 0" au lieu de "= \(\vec{0}\)". Une somme de vecteurs ne peut être égale qu'à un autre vecteur (le vecteur nul), pas au nombre zéro.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Équilibre \(\Rightarrow\) Somme des forces nulle. C'est le réflexe à avoir pour tout problème de statique. Il est crucial de bien écrire l'équation sous forme vectorielle avant de passer aux projections.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Bien qu'attribuée à Newton (1687), l'idée de l'inertie a été approchée bien avant par des penseurs comme Galilée et même le philosophe chinois Mo Tzu au 3ème siècle avant J.-C.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La relation vectorielle liant les forces est :
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'objet était en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante), quelle serait la relation vectorielle entre les forces ?
La même / Différente ?
Question 3 : Calcul des tensions T₁ et T₂
Principe (le concept physique)
Une équation vectorielle dans un plan est équivalente à deux équations scalaires (avec des nombres). Pour obtenir ces équations, on projette la relation vectorielle sur les deux axes d'un repère judicieusement choisi (ici, un axe horizontal et un axe vertical).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La projection d'un vecteur sur un axe consiste à trouver sa "longueur" selon la direction de cet axe. On utilise la trigonométrie (cosinus et sinus) pour cela. Le choix d'un repère cartésien (Ox, Oy) est puissant car il transforme un problème de géométrie vectorielle en un simple système de deux équations algébriques à deux inconnues, que l'on sait résoudre.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La méthode est toujours la même : 1. Exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir de la première équation (la plus simple, souvent celle sur l'axe Ox). 2. Substituer cette expression dans la deuxième équation. 3. Résoudre l'équation à une seule inconnue. 4. Calculer la deuxième inconnue avec le résultat de la première.
Normes (la référence réglementaire)
Ce principe de décomposition des forces est à la base de toutes les normes de calcul de structures en ingénierie (comme les Eurocodes en Europe). Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour cet exercice scolaire, la méthode est universelle et réglementaire dans le monde professionnel.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les outils mathématiques sont la projection de forces et la résolution de système.
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le référentiel terrestre est supposé galiléen.
- Les fils sont inextensibles et de masse négligeable.
- L'objet est assimilé à un point matériel (ses dimensions sont négligées).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse, \(m = 5,0 \text{ kg}\)
- Angle, \(\alpha = 30^\circ\)
- Angle, \(\beta = 45^\circ\)
- Pesanteur, \(g = 9,81 \text{ N/kg}\)
Astuces (Pour aller plus vite)
Dans l'équation projetée sur l'axe y, on peut voir que la somme des composantes verticales des tensions (\(T_{1y} + T_{2y}\)) doit exactement compenser le poids P. C'est une bonne façon de vérifier la cohérence du calcul : les fils "soutiennent" ensemble le poids de l'objet.
Schéma (Avant les calculs)
Projection des forces sur les axes
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul du poids P
Étape 2 : Résolution du système
De l'équation sur (Ox), on tire : \( T_2 = T_1 \frac{\cos(30^\circ)}{\cos(45^\circ)} \). On injecte dans l'équation sur (Oy) :
On en déduit \(T_2\) :
Schéma (Après les calculs)
Intensités des forces calculées
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On remarque que \(T_2 > T_1\). C'est logique car le fil 2 est plus "horizontal" (angle \(\beta=45^\circ < 90^\circ - \alpha=60^\circ\)). Pour fournir la même "aide" verticale, il doit tirer plus fort globalement. Le fil le plus vertical est toujours celui qui supporte la charge le plus efficacement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
1. Erreurs de projection : Attention aux signes ! Une composante est négative si elle est dans le sens opposé de l'axe. 2. Erreurs de calculatrice : Toujours vérifier que la calculatrice est en mode DEGRÉS avant de calculer des cosinus ou sinus d'angles donnés en degrés. 3. Erreurs d'unités : Toutes les forces doivent être en Newtons (N) et les masses en kilogrammes (kg).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La méthode de résolution est un pilier de la mécanique : Bilan des forces \(\Rightarrow\) Application du Principe Fondamental (ici, l'inertie) \(\Rightarrow\) Choix d'un repère \(\Rightarrow\) Projection de l'équation vectorielle \(\Rightarrow\) Résolution du système d'équations scalaires. Cette méthode est applicable à une multitude de problèmes de statique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La méthode de décomposition des forces a été formalisée par le mathématicien et ingénieur français Pierre Varignon (1654-1722). Le "théorème de Varignon" est encore aujourd'hui un outil de base pour les ingénieurs en génie civil et mécanique pour calculer les efforts dans les structures complexes comme les treillis de ponts ou les charpentes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
En respectant les chiffres significatifs des données, les intensités des forces de tension sont :
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Recalculez la tension T₁ si la masse de l'objet est doublée (m = 10,0 kg), les angles restant les mêmes. Entrez votre réponse en Newtons, arrondie à l'entier le plus proche.
Outil Interactif : Simulateur d'équilibre
Ce simulateur vous permet de faire varier la masse de l'objet et l'angle \(\alpha\) du premier fil pour observer en temps réel leur influence sur les tensions des fils, l'angle \(\beta\) restant fixe à 45°.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la masse de l'objet augmente, que se passe-t-il pour les tensions T₁ et T₂ (les angles restant inchangés) ?
2. Si les deux fils sont symétriques (α = β), que peut-on dire des tensions T₁ et T₂ ?
Glossaire
- Principe d'Inertie
- Aussi appelé première loi de Newton, il énonce que dans un référentiel galiléen, un corps reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme si la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle.
- Équilibre Statique
- État d'un système qui est immobile. La condition nécessaire est que la somme vectorielle des forces extérieures soit nulle.
- Tension (d'un fil)
- Force de traction exercée par un fil, une corde ou un câble sur un objet auquel il est attaché. Elle est toujours dirigée le long du fil.
- Bilan des forces
- Action d'identifier et de lister toutes les forces extérieures qui s'appliquent à un système physique donné.
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