Application des Lois de Newton

Application des Lois de Newton : Mouvement d'un Solide

Contexte : La dynamique du solideLa branche de la mécanique qui étudie les mouvements des objets en tenant compte des forces qui les provoquent..

Cet exercice est un cas d'étude classique en physique de première. Il porte sur le mouvement d'un objet solide glissant sur un plan incliné. Nous allons appliquer la deuxième loi de Newton pour analyser les forces en jeu (poids, réaction du support, frottements) et déterminer l'accélérationLa variation de la vitesse d'un objet par unité de temps. Une accélération positive signifie que l'objet va de plus en plus vite. de l'objet, puis sa vitesse. C'est un excellent moyen de comprendre comment décomposer les forces et résoudre un problème de dynamique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à établir un bilan des forces, à les projeter sur des axes judicieusement choisis et à appliquer le principe fondamental de la dynamiqueAussi connu sous le nom de deuxième loi de Newton, il énonce que la somme des forces appliquées à un objet est égale au produit de sa masse par son accélération (ΣF = ma). pour résoudre un problème concret.

Objectifs Pédagogiques

Savoir faire le bilan des forces s'exerçant sur un système.
Maîtriser la projection de vecteurs forces dans un repère.
Appliquer la deuxième loi de Newton pour trouver une accélération.
Utiliser les équations du mouvement pour calculer une vitesse.

Données de l'étude

Un solide de masse $m$ est initialement au repos en bas d'un plan incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. On exerce sur ce solide une force de traction $\vec{F}$ parallèle au plan et dirigée vers le haut. Le contact entre le solide et le plan se fait avec des frottements, modélisés par une force $\vec{f}$ opposée au mouvement.

Schéma des forces sur le plan incliné

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du solide	$m$	5.0	kg
Angle d'inclinaison	$\alpha$	30	degrés
Intensité de la pesanteur	$g$	9.81	N/kg
Force de traction	$F$	40	N
Force de frottement (constante)	$f$	5.0	N

Questions à traiter

Calculer la valeur du poids $\vec{P}$ du solide.
Déterminer les coordonnées des forces $\vec{P}$, $\vec{R_N}$, $\vec{f}$ et $\vec{F}$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ lié au plan incliné (avec $\vec{i}$ parallèle à la pente et $\vec{j}$ perpendiculaire).
En appliquant la deuxième loi de Newton, calculer la valeur de l'accélération $a$ du solide.
Le solide parcourt une distance de 2.0 m le long du plan. Calculer sa vitesse finale.

Les bases sur les Lois de Newton

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser la deuxième loi de Newton, aussi appelée Principe Fondamental de la Dynamique.

1. Deuxième Loi de Newton
Dans un référentiel galiléenUn référentiel dans lequel le principe d'inertie (un objet au repos reste au repos et un objet en mouvement reste en mouvement à vitesse constante, sauf si une force agit sur lui) est vérifié. Le référentiel terrestre est une bonne approximation., la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération. \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]

2. Projection des forces
Pour appliquer cette loi, il faut la projeter sur les axes d'un repère bien choisi. Pour un plan incliné, on choisit généralement un axe parallèle à la pente et un autre perpendiculaire. La projection du poids $\vec{P}$ donne deux composantes : $P_x = -P \sin(\alpha)$ et $P_y = -P \cos(\alpha)$ dans un repère où $\vec{i}$ est orienté vers le haut de la pente.

Correction : Application des Lois de Newton : Mouvement d'un Solide

Question 1 : Calculer la valeur du poids $\vec{P}$ du solide.

Principe

Le poids est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. Il est toujours vertical, dirigé vers le bas, et sa valeur (ou norme) est directement proportionnelle à la masse de l'objet.

Mini-Cours

Le poids $\vec{P}$ d'un objet de masse $m$ est lié à l'accélération de la pesanteur $\vec{g}$ par la relation vectorielle $\vec{P} = m\vec{g}$. L'intensité de la pesanteur $g$ est la norme de ce vecteur, $g \approx 9.81 \text{ N/kg}$ sur Terre. Le poids est donc une force qui s'exprime en Newtons (N).

Remarque Pédagogique

Ne confondez jamais la masse (en kg), qui est une quantité de matière propre à l'objet, et le poids (en N), qui est une force dépendant de l'astre sur lequel se trouve l'objet. Votre masse est la même sur la Terre et sur la Lune, mais votre poids y est six fois plus faible !

Normes

Le calcul du poids est une application directe des principes de la mécanique newtonienne, qui constituent le cadre de référence ("la norme") pour ce type de problème en physique classique.

Formule(s)

Relation Poids-Masse

P = m \times g

Hypothèses

On suppose que l'intensité de la pesanteur $g$ est constante sur toute la hauteur du mouvement, ce qui est une excellente approximation pour les mouvements proches de la surface de la Terre.

Donnée(s)

Masse, $m = 5.0 \text{ kg}$
Intensité de la pesanteur, $g = 9.81 \text{ N/kg}$

Astuces

Pour un calcul rapide, on peut parfois utiliser l'approximation $g \approx 10 \text{ N/kg}$. Cela donne un ordre de grandeur (ici 50 N) très utile pour vérifier un résultat plus précis.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du poids

Calcul(s)

Application Numérique

\begin{aligned} P &= 5.0 \text{ kg} \times 9.81 \text{ N/kg} \\ &= 49.05 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vecteur Poids Calculé

Réflexions

Un objet de 5 kg pèse environ 49 N. Ce résultat est cohérent. C'est la force avec laquelle la Terre attire le solide verticalement vers son centre.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de faire le calcul et d'utiliser la masse (5.0 kg) à la place du poids (49.05 N) dans les étapes suivantes. Assurez-vous de toujours utiliser des Newtons pour les forces.

Points à retenir

La formule $P=mg$ est fondamentale. Le poids est une force, verticale, vers le bas, exprimée en Newtons.

Le saviez-vous ?

L'unité "N/kg" pour $g$ est strictement équivalente à des "m/s²". La première est souvent préférée dans le contexte des forces (loi de Newton), tandis que la seconde est plus utilisée en cinématiqueBranche de la mécanique qui étudie le mouvement des objets (trajectoire, vitesse, accélération) sans s'intéresser aux forces qui le provoquent. (étude du mouvement).

FAQ

Résultat Final

La valeur du poids du solide est de $49.1 \text{ N}$ (arrondi à 3 chiffres significatifs).

A vous de jouer

Quel serait le poids de ce même objet sur Mars, où l'intensité de la pesanteur est de $g_M = 3.71 \text{ N/kg}$ ?

Question 2 : Déterminer les coordonnées des forces.

Principe

Pour appliquer les lois de la physique, il faut transformer les vecteurs (qui ont une direction et un sens) en nombres. Pour cela, on les projette sur les axes d'un repère. Le choix du repère est stratégique : on l'aligne avec le mouvement pour simplifier les calculs.

Mini-Cours

Projeter un vecteur $\vec{V}$ sur un axe, c'est trouver sa "longueur" selon cet axe. Si l'angle entre le vecteur et l'axe est $\theta$, la coordonnée est $V \cos(\theta)$. Pour un plan incliné d'angle $\alpha$, le vecteur poids $\vec{P}$ (vertical) forme un angle $\alpha$ avec la normale au plan (l'axe $\vec{j}$) et un angle de $90^\circ - \alpha$ avec la ligne de plus grande pente (l'axe $\vec{i}$). On utilise alors sinus et cosinus pour trouver ses composantes $P_x$ et $P_y$.

Remarque Pédagogique

Le plus difficile est la projection du poids. Prenez l'habitude de refaire le schéma au brouillon. L'angle $\alpha$ du plan se retrouve entre le vecteur poids $\vec{P}$ et l'axe $\vec{j}$. Ainsi, la composante sur $\vec{j}$ sera en $\cos(\alpha)$ et celle sur $\vec{i}$ (le côté opposé) en $\sin(\alpha)$.

Formule(s)

Projection du poids sur l'axe $\vec{i}$

P_x = -P \sin(\alpha)

Projection du poids sur l'axe $\vec{j}$

P_y = -P \cos(\alpha)

Les signes négatifs viennent du fait que le poids "tire" le solide dans le sens négatif des deux axes $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

Donnée(s)

$P = 49.05 \text{ N}$
$\alpha = 30^\circ$
$F = 40 \text{ N}$
$f = 5.0 \text{ N}$

Schéma (Avant les calculs)

Projection du poids

Calcul(s)

Calcul de la composante $P_x$

\begin{aligned} P_x &= -P \sin(\alpha) \\ &= -49.05 \times \sin(30^\circ) \\ &= -49.05 \times 0.5 \\ &= -24.525 \text{ N} \end{aligned}

Calcul de la composante $P_y$

\begin{aligned} P_y &= -P \cos(\alpha) \\ &= -49.05 \times \cos(30^\circ) \\ &\approx -49.05 \times 0.866 \\ &\approx -42.479 \text{ N} \end{aligned}

Pour les autres forces, c'est direct :

$\vec{R_N}$ est selon $\vec{j}$ : $R_{Nx}=0 \text{ N}$, $R_{Ny}=R_N$.
$\vec{F}$ est selon $\vec{i}$ : $F_x=40 \text{ N}$, $F_y=0 \text{ N}$.
$\vec{f}$ est opposée à $\vec{i}$ : $f_x=-5.0 \text{ N}$, $f_y=0 \text{ N}$.

Schéma (Après les calculs)

Bilan des forces projetées

Points de vigilance

Attention aux signes ! Le choix de l'orientation des axes est crucial. Ici, $\vec{i}$ est vers le haut, donc les forces qui s'opposent à la montée ($\vec{f}$ et la composante tangentielle du poids $\vec{P_x}$) ont une coordonnée négative.

Résultat Final

Les coordonnées des vecteurs forces (en N) sont :
$\vec{P} \begin{pmatrix} -24.5 \\ -42.5 \end{pmatrix}$, $\vec{R_N} \begin{pmatrix} 0 \\ R_N \end{pmatrix}$, $\vec{F} \begin{pmatrix} 40 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{f} \begin{pmatrix} -5.0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

A vous de jouer

Quelles seraient les coordonnées de $\vec{P}$ si l'angle $\alpha$ était de 45° ? (Utilisez $P=49.05 \text{ N}$)

Question 3 : Calculer la valeur de l'accélération $a$.

Principe

C'est l'application directe de la deuxième loi de Newton. La somme de toutes les forces (enfin, de leurs coordonnées sur un axe) est ce qui "crée" l'accélération. En isolant l'accélération, on quantifie le changement de vitesse du système.

Mini-Cours

Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) s'écrit $\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \vec{a}$. Cette équation vectorielle est équivalente à deux équations scalaires (une par axe) : $\sum F_x = m a_x$ et $\sum F_y = m a_y$. Comme le mouvement se fait le long du plan, l'accélération est nulle sur l'axe perpendiculaire ($a_y=0$), ce qui signifie que les forces sur cet axe se compensent parfaitement.

Remarque Pédagogique

La clé est de ne s'intéresser qu'à l'axe du mouvement, ici l'axe $\vec{i}$. Faites la somme de toutes les "flèches" qui sont parallèles à la pente. Celles qui aident le mouvement sont positives, celles qui s'y opposent sont négatives. Le résultat de cette "lutte" des forces, divisé par la masse, donne l'accélération.

Formule(s)

Application du PFD sur l'axe $\vec{i}$

a = a_x = \frac{\sum F_x}{m} = \frac{P_x + R_{Nx} + f_x + F_x}{m}

Hypothèses

On suppose que le solide est un point matériel (toutes les forces s'appliquent au même point) et que l'on est dans un référentiel galiléen (le laboratoire), où la loi de Newton est applicable.

Donnée(s)

$P_x = -24.525 \text{ N}$
$f_x = -5.0 \text{ N}$
$F_x = 40 \text{ N}$
$R_{Nx} = 0 \text{ N}$
$m = 5.0 \text{ kg}$

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des forces sur l'axe du mouvement

Calcul(s)

Application Numérique

\begin{aligned} m \times a &= \sum F_x \\ 5.0 \times a &= P_x + R_{Nx} + f_x + F_x \\ 5.0 \times a &= (-24.525) + 0 + (-5.0) + 40 \\ 5.0 \times a &= 10.475 \\ \Rightarrow a &= \frac{10.475}{5.0} \\ &= 2.095 \text{ m/s}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Somme des forces et accélération

Réflexions

L'accélération est positive ($2.1 \text{ m/s}^2$). Cela confirme que la force de traction est suffisante pour vaincre les forces résistantes (frottements et composante du poids) et mettre le solide en mouvement vers le haut. La vitesse du solide va donc augmenter.

Points de vigilance

Une erreur de signe dans les projections de la question 2 entraînera inévitablement un résultat faux ici. Vérifiez toujours la cohérence : si l'objet est censé monter, l'accélération doit être positive dans le sens de la montée.

Points à retenir

La 2ème loi de Newton se projette sur chaque axe indépendamment.
L'accélération est le rapport de la force résultante (la somme de toutes les forces) sur la masse.

Le saviez-vous ?

La deuxième loi de Newton est un principe fondamental, mais elle a des limites. Elle ne s'applique plus pour les objets allant à des vitesses proches de celle de la lumière (où la relativité d'Einstein prend le relais) ou à l'échelle atomique (où la mécanique quantique est nécessaire).

FAQ

Résultat Final

L'accélération du solide est de $2.1 \text{ m/s}^2$.

A vous de jouer

Quelle serait l'accélération si la force de frottement était de 15 N au lieu de 5 N ?

Question 4 : Calculer la vitesse finale.

Principe

Nous passons de la dynamique (l'étude des causes, les forces) à la cinématiqueBranche de la mécanique qui étudie le mouvement des objets (trajectoire, vitesse, accélération) sans s'intéresser aux forces qui le provoquent. (l'étude des conséquences, le mouvement). Connaissant l'accélération constante, on peut prédire la vitesse de l'objet après une certaine distance.

Mini-Cours

Pour un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA), ce qui est le cas ici car l'accélération est constante, plusieurs équations décrivent le mouvement. L'une d'elles est particulièrement utile quand on ne connaît pas le temps : $v_f^2 - v_i^2 = 2ad$. Elle relie directement la vitesse finale ($v_f$), la vitesse initiale ($v_i$), l'accélération ($a$) et la distance parcourue ($d$).

Remarque Pédagogique

Cette formule est très pratique ! Elle évite de devoir d'abord calculer le temps du parcours avec $d = \frac{1}{2}at^2$ puis d'utiliser ce temps pour trouver la vitesse avec $v_f = at$. C'est un raccourci puissant à mémoriser.

Formule(s)

Relation Vitesse-Distance

v_f = \sqrt{v_i^2 + 2ad}

Hypothèses

On suppose que l'accélération reste constante sur toute la distance parcourue, ce qui est vrai car toutes les forces (traction, poids, frottement) sont considérées comme constantes.

Donnée(s)

Vitesse initiale, $v_i = 0 \text{ m/s}$ (le solide part du repos)
Accélération, $a = 2.095 \text{ m/s}^2$
Distance, $d = 2.0 \text{ m}$

Schéma (Avant les calculs)

Situation cinématique

Calcul(s)

Application Numérique

\begin{aligned} v_f^2 &= v_i^2 + 2ad \\ v_f^2 &= 0^2 + 2 \times 2.095 \times 2.0 \\ v_f^2 &= 8.38 \\ \Rightarrow v_f &= \sqrt{8.38} \\ &\approx 2.895 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Évolution de la vitesse

Réflexions

Une vitesse de $2.9 \text{ m/s}$ (soit environ $10.4 \text{ km/h}$) après seulement 2 mètres de montée semble un résultat plausible pour un objet de 5 kg poussé par une force nette d'environ 10 N.

Points de vigilance

N'oubliez pas la racine carrée à la fin du calcul ! Une erreur fréquente est de s'arrêter à $v_f^2$. Pensez aussi à vérifier que toutes vos unités sont dans le Système International (mètres, secondes) avant d'appliquer la formule.

Points à retenir

Pour un mouvement à accélération constante, la relation $v_f^2 - v_i^2 = 2ad$ est un outil essentiel pour lier vitesse et distance sans passer par le temps.

Le saviez-vous ?

Cette formule cinématique peut être vue comme une conséquence du théorème de l'énergie cinétiqueCe théorème stipule que le travail total de toutes les forces agissant sur un objet est égal à la variation de son énergie cinétique., qui stipule que la variation d'énergie cinétiqueL'énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle est égale à ½mv². ($\frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$) est égale au travail des forcesL'énergie fournie par une ou plusieurs forces lorsque leur point d'application se déplace. ($\sum F \cdot d$). En remplaçant $\sum F$ par $ma$, on retrouve la formule !

FAQ

Résultat Final

La vitesse finale du solide après avoir parcouru 2.0 m est de $2.9 \text{ m/s}$.

A vous de jouer

Quelle serait la vitesse finale si la distance parcourue était de 4.0 m au lieu de 2.0 m ?

Outil Interactif : Simulateur d'accélération

Utilisez les curseurs pour faire varier la force de traction et l'angle du plan. Observez comment l'accélération du solide est modifiée. Le graphique montre l'évolution de l'accélération en fonction de la force de traction pour l'angle sélectionné.

Paramètres d'Entrée

Force de traction F (N) 40 N

Angle d'inclinaison $\alpha$ (°) 30 °

Résultats Clés

Composante du poids $P_x$ (N) -

Accélération $a$ (m/s²) -

Principe Fondamental de la Dynamique (PFD): Autre nom pour la deuxième loi de Newton. Il établit la relation de cause à effet entre les forces agissant sur un corps et le mouvement de ce corps.
Référentiel Galiléen: Un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. Pour les exercices sur Terre, le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.
Force de frottement: Force qui s'oppose au mouvement (ou à la tendance de mouvement) entre deux surfaces en contact. Elle est toujours de sens opposé au vecteur vitesse.

D’autres exercices de physique premiere:

$Diffraction à travers une fente simple$

Application des Lois de Newton

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma des forces sur le plan incliné

Questions à traiter

Les bases sur les Lois de Newton

Correction : Application des Lois de Newton : Mouvement d'un Solide

Question 1 : Calculer la valeur du poids \(\vec{P}\) du solide.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du poids

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Vecteur Poids Calculé

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Déterminer les coordonnées des forces.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Donnée(s)

Schéma (Avant les calculs)

Projection du poids

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Bilan des forces projetées

Points de vigilance

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Calculer la valeur de l'accélération \(a\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des forces sur l'axe du mouvement

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Somme des forces et accélération

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Calculer la vitesse finale.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Schéma (Avant les calculs)

Situation cinématique

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Évolution de la vitesse

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer