La Loi de la Gravitation Universelle
Contexte : L'attraction des astres.
Depuis Isaac Newton, nous savons que tous les objets qui possèdent une masseGrandeur physique positive qui caractérise la quantité de matière d'un corps. Unité SI : kilogramme (kg). s'attirent mutuellement. Cette forceAction mécanique capable de déformer un corps ou de modifier son état de mouvement. Unité SI : Newton (N)., appelée gravitationInteraction fondamentale qui régit l'attraction mutuelle des corps massifs. Elle est responsable de la chute des corps et du mouvement des planètes., est universelle : elle s'applique aussi bien à une pomme qui tombe d'un arbre qu'aux planètes qui tournent autour du Soleil. Cet exercice explore cette loi fondamentale en calculant les forces en jeu entre la Terre, la Lune et un satellite artificiel.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi de Newton pour calculer une force de gravitation, à manipuler les puissances de dix (notation scientifique) et à comprendre comment la masse des objets et la distance qui les sépare influencent cette force.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi de la gravitation universelle de Newton.
- Calculer la valeur d'une force d'interaction gravitationnelle.
- Utiliser la notation scientifique pour des calculs astronomiques.
- Comprendre l'influence de la masse et de la distance sur l'intensité de la force.
Données de l'étude
| Grandeur | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse de la Terre | \(M_T\) | \(5,97 \times 10^{24} \text{ kg}\) |
| Masse de la Lune | \(M_L\) | \(7,35 \times 10^{22} \text{ kg}\) |
| Masse du satellite | \(m_s\) | \(2 \ 000 \text{ kg}\) |
| Distance Terre-Lune | \(d_{TL}\) | \(3,84 \times 10^8 \text{ m}\) |
| Altitude du satellite | \(h_s\) | \(3,58 \times 10^7 \text{ m}\) |
| Rayon de la Terre | \(R_T\) | \(6,37 \times 10^6 \text{ m}\) |
| Constante de gravitation universelle | \(G\) | \(6,67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\) |
Représentation schématique du système
Visualisation 3D du Mouvement
Utilisez la souris pour faire pivoter la scène.
Questions à traiter
- Calculer la valeur de la force d'interaction gravitationnelle \(F_{T/L}\) exercée par la Terre sur la Lune.
- Représenter cette force sur un schéma, sans souci d'échelle.
- Calculer la distance \(d_{TS}\) entre le centre de la Terre et le satellite.
- Calculer la valeur de la force d'interaction gravitationnelle \(F_{T/s}\) exercée par la Terre sur le satellite.
- Comparer les deux forces calculées. Que peut-on en conclure ?
Les bases de la Gravitation
Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons la loi de la gravitation universelle énoncée par Isaac Newton.
Loi de la Gravitation Universelle
Deux corps ponctuels A et B, de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\), exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction opposées, dirigées selon la droite (AB). La valeur de ces forces est donnée par :
\[ F_{A/B} = F_{B/A} = G \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \]
Où \(G\) est la constante de gravitation universelle.
Correction : La Loi de la Gravitation Universelle
Question 1 : Calculer la force Terre-Lune \(F_{T/L}\)
Principe
On applique directement la loi de la gravitation universelle en utilisant les masses de la Terre et de la Lune, ainsi que la distance qui les sépare.
Mini-Cours
La loi de la gravitation universelle est une loi fondamentale de la physique qui décrit l'attraction entre les corps ayant une masse. Elle est dite "universelle" car elle s'applique à tous les objets, partout dans l'univers, quelle que soit leur taille ou leur composition.
Remarque Pédagogique
La première étape cruciale en physique est l'homogénéité des unités. Avant tout calcul, assurez-vous que toutes vos grandeurs sont exprimées dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes...). C'est la source d'erreur la plus fréquente.
Normes
Cet exercice ne fait pas appel à des normes d'ingénierie spécifiques mais se base sur les lois fondamentales de la mécanique newtonienne.
Formule(s)
La formule à utiliser est celle de la loi de Newton :
Hypothèses
Pour ce calcul, on considère la Terre et la Lune comme des points matériels. C'est une approximation valable car la distance qui les sépare est très grande par rapport à leurs rayons respectifs.
Donnée(s)
- \(G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
- \(M_T = 5,97 \times 10^{24} \text{ kg}\)
- \(M_L = 7,35 \times 10^{22} \text{ kg}\)
- \(d_{TL} = 3,84 \times 10^8 \text{ m}\)
Astuces
Lors des calculs avec des puissances de dix, il est plus simple de calculer d'abord la partie numérique, puis de s'occuper des puissances de dix en utilisant les règles de calcul : \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) et \((10^a)^2 = 10^{2a}\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La force est colossale : près de 200 mille milliards de milliards de Newtons. C'est cette force immense qui maintient la Lune en orbite autour de la Terre et qui est responsable du phénomène des marées.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre la distance au carré. Une autre erreur commune est de se tromper dans les calculs avec les puissances de dix.
Points à retenir
La force de gravitation est toujours attractive. La Terre attire la Lune avec la même intensité que la Lune attire la Terre (principe des actions réciproques).
Le saviez-vous ?
La théorie de la relativité générale d'Einstein a affiné notre compréhension de la gravité. Elle n'est plus vue comme une force, mais comme une courbure de l'espace-temps causée par la masse et l'énergie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la masse de la Lune était deux fois plus grande, quelle serait la nouvelle force ?
Question 2 : Représenter la force sur un schéma
Principe
La force \(F_{T/L}\) est la force exercée PAR la Terre SUR la Lune. C'est donc un vecteur qui part du centre de la Lune et qui est dirigé vers le centre de la Terre.
Mini-Cours
En physique, une force est une grandeur vectorielle. Elle possède quatre caractéristiques : un point d'application (où la force s'exerce), une direction (la droite sur laquelle elle agit), un sens (vers où elle pointe) et une valeur (son intensité en Newtons).
Remarque Pédagogique
Un bon schéma est essentiel en physique. Il permet de visualiser la situation, de poser correctement les vecteurs et d'éviter les erreurs de signe ou de direction dans les étapes ultérieures.
Normes
La représentation des vecteurs suit des conventions universelles en mathématiques et en physique.
Formule(s)
Pas de formule mathématique ici, il s'agit d'une représentation graphique.
Hypothèses
On représente les corps comme des sphères et les forces comme des flèches partant de leurs centres de gravité.
Donnée(s)
Les données ne sont pas numériques mais conceptuelles : la force est attractive et exercée par la Terre sur la Lune.
Astuces
Pour ne pas se tromper, lire F_A/B comme "Force exercée par A sur B". Le point d'application est donc B.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Aucun calcul n'est nécessaire pour cette question.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le schéma montre bien que la force est une attraction : la Terre "tire" la Lune vers elle. Le principe des actions réciproques (3ème loi de Newton) nous dit qu'il existe une force opposée F_L/T de même valeur, exercée par la Lune sur la Terre.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser le sens de la flèche. Une erreur commune est de dessiner la force partant de la Terre vers la Lune.
Points à retenir
Le vecteur force F_A/B (force de A sur B) a pour origine le centre de l'objet qui subit la force (B) et pour direction le centre de l'objet qui exerce la force (A).
Le saviez-vous ?
C'est la force F_L/T qui est principalement responsable des marées sur Terre. L'attraction de la Lune déforme légèrement les océans, créant des "bourrelets" d'eau.
FAQ
Résultat Final
Le schéma ci-dessus constitue la réponse finale.
A vous de jouer
Cette question étant graphique, il n'y a pas d'exercice interactif.
Question 3 : Calculer la distance Terre-Satellite \(d_{TS}\)
Principe
La distance \(d\) dans la formule de gravitation est la distance entre les centres des deux objets. Pour un satellite en orbite, cette distance est la somme du rayon de la Terre et de l'altitude du satellite.
Mini-Cours
L'altitude est la distance par rapport à la surface d'un astre. La distance orbitale, ou rayon de l'orbite, est la distance par rapport au centre de cet astre. En physique spatiale, c'est presque toujours la distance entre les centres de masse qui est utilisée dans les calculs.
Remarque Pédagogique
Visualisez bien la situation : le satellite n'est pas à la surface. La distance totale qui le sépare du centre de la Terre est cruciale. C'est une étape préliminaire indispensable avant de pouvoir calculer la force.
Normes
Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application géométrique simple.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que la Terre est une sphère parfaite pour pouvoir simplement additionner le rayon et l'altitude.
Donnée(s)
- \(R_T = 6,37 \times 10^6 \text{ m}\)
- \(h_s = 3,58 \times 10^7 \text{ m}\)
Astuces
Pour additionner des nombres en notation scientifique, il est souvent plus simple de les mettre à la même puissance de dix. Ici, \(6,37 \times 10^6 = 0,637 \times 10^7\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La distance du satellite au centre de la Terre est d'environ 42 200 km. On remarque que l'altitude (environ 36 000 km) est bien plus grande que le rayon de la Terre (environ 6 400 km). Le satellite est donc très loin de la surface.
Points de vigilance
Ne jamais oublier d'ajouter le rayon de la planète lorsqu'on vous donne une altitude. La distance d'interaction se mesure de centre à centre.
Points à retenir
La distance \(d\) dans la formule de gravitation est toujours la distance de centre à centre. Si une altitude est donnée, il faut y ajouter le rayon de l'astre central.
Le saviez-vous ?
L'altitude de 35 800 km n'est pas choisie au hasard. C'est l'altitude de l'orbite géostationnaire, où un satellite tourne exactement à la même vitesse que la Terre. Vu du sol, il semble donc immobile dans le ciel, ce qui est idéal pour les télécommunications.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la distance \(d_{TS}\) pour un satellite en orbite basse à une altitude de 400 km (\(4 \times 10^5\) m).
Question 4 : Calculer la force Terre-Satellite \(F_{T/s}\)
Principe
On utilise la même loi que pour la question 1, mais avec la masse du satellite et la distance \(d_{TS}\) calculée précédemment.
Mini-Cours
La loi de la gravitation s'applique de la même manière aux objets de masse très différente. La force exercée par la Terre sur un satellite est calculée avec la même formule que la force exercée sur la Lune. C'est l'universalité de cette loi qui est remarquable.
Remarque Pédagogique
Cette force est ce qu'on appelle le "poids" du satellite à cette altitude. Contrairement à une idée reçue, il n'y a pas d'apesanteur en orbite : le satellite est constamment en train de "tomber" vers la Terre, mais sa vitesse horizontale est si grande qu'il "manque" la surface en permanence.
Normes
Pas de norme spécifique, on applique les lois fondamentales de la physique.
Formule(s)
Hypothèses
On considère le satellite comme un point matériel, ce qui est tout à fait justifié étant donné sa taille par rapport à la Terre et à la distance qui les sépare.
Donnée(s)
- \(G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}\)
- \(M_T = 5,97 \times 10^{24} \text{ kg}\)
- \(m_s = 2 \ 000 \text{ kg} = 2 \times 10^3 \text{ kg}\)
- \(d_{TS} = 4,22 \times 10^7 \text{ m}\)
Astuces
Réutilisez le résultat de la question précédente. Une bonne organisation dans la résolution d'un problème permet de gagner du temps et d'éviter de refaire les mêmes calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Une force de 447 N peut sembler faible, mais c'est elle qui est suffisante pour courber en permanence la trajectoire du satellite et le maintenir en orbite circulaire autour de la Terre, l'empêchant de s'échapper en ligne droite dans l'espace.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser la distance au centre de la Terre (\(d_{TS}\)) et non juste l'altitude (\(h_s\)) dans la formule de la force.
Points à retenir
La force de gravitation est responsable du maintien en orbite des satellites. Sans cette force, ils partiraient en ligne droite dans l'espace selon le principe d'inertie.
Le saviez-vous ?
Il y a des milliers de satellites en orbite, mais aussi des centaines de milliers de débris (anciens satellites, morceaux de fusées...). La gestion de ce "trafic" spatial est un enjeu majeur pour éviter les collisions.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la force si le satellite avait une masse de 4000 kg ?
Question 5 : Comparer les forces
Principe
Pour comparer deux valeurs très différentes, on calcule leur rapport. Cela permet de savoir combien de fois l'une est plus grande que l'autre.
Mini-Cours
La comparaison par ratio est un outil mathématique puissant pour évaluer l'ordre de grandeur entre différentes quantités. Un ratio de \(10^3\) signifie qu'une quantité est mille fois plus grande que l'autre. En physique, cela permet de déterminer quelles forces sont dominantes et lesquelles peuvent être négligées dans une situation donnée.
Remarque Pédagogique
Cette question met en évidence l'importance prépondérante de la masse dans l'interaction gravitationnelle. Même si la Lune est beaucoup plus loin que le satellite, sa masse gigantesque engendre une force incomparablement plus grande.
Normes
Pas de norme applicable, il s'agit d'une comparaison mathématique.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les calculs des questions 1 et 4 sont corrects pour que la comparaison soit valide.
Donnée(s)
- \(F_{T/L} \approx 1,98 \times 10^{20} \text{ N}\)
- \(F_{T/s} \approx 447 \text{ N}\)
Astuces
Avant de diviser, il est utile de mettre les deux nombres en notation scientifique avec le même exposant si possible, ou simplement de diviser les parties numériques et de soustraire les exposants.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La force exercée par la Terre sur la Lune est environ 440 millions de milliards de fois plus grande que celle exercée sur le satellite. Cette différence gigantesque s'explique principalement par la masse de la Lune, qui est immensément plus grande que celle du satellite.
Points de vigilance
Faire attention à la manipulation des ordres de grandeur. Une erreur dans les puissances de dix peut conduire à une conclusion complètement fausse sur l'échelle des forces.
Points à retenir
La masse est un facteur déterminant dans l'intensité de la force de gravitation. Même à grande distance, un objet très massif comme la Lune subit une force bien plus grande qu'un objet léger beaucoup plus proche.
Le saviez-vous ?
Même si la force du Soleil sur la Lune est plus de deux fois supérieure à celle de la Terre sur la Lune, la Lune reste en orbite autour de la Terre. C'est parce que la Terre et la Lune "tombent" ensemble vers le Soleil.
FAQ
Résultat Final
La force d'attraction Terre-Lune est \(4,4 \times 10^{17}\) fois plus grande que la force d'attraction Terre-satellite.
A vous de jouer
Comparez la force Terre-Lune à la force exercée par la Terre sur une pomme de 100g (\(F \approx 1 \text{ N}\)).
Outil Interactif : Simulateur de Gravitation
Utilisez les curseurs pour modifier les masses et la distance, et observez l'impact sur la force gravitationnelle.
Paramètres d'Entrée
Résultat
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la distance entre deux corps, la force de gravitation est :
2. La force de gravitation entre deux objets dépend :
- Force
- Action mécanique capable de déformer un corps ou de modifier son état de mouvement. Unité SI : Newton (N).
- Gravitation
- Interaction fondamentale qui régit l'attraction mutuelle des corps massifs. Elle est responsable de la chute des corps et du mouvement des planètes.
- Masse
- Grandeur physique positive qui caractérise la quantité de matière d'un corps. Unité SI : kilogramme (kg).
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