Bilan des forces sur une masse suspendue
Analyser les forces agissant sur une masse suspendue en équilibre et déterminer les tensions des fils.
Lorsqu'un objet est suspendu et immobile, il est en équilibre sous l'action de plusieurs forces. Les forces couramment rencontrées sont le poids de l'objet et les tensions exercées par les fils de suspension.
- Le poids (\(\vec{P}\)) est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet. Il est toujours vertical, dirigé vers le bas, et sa valeur est \(P = mg\), où \(m\) est la masse de l'objet et \(g\) l'intensité de la pesanteur.
- La tension d'un fil (\(\vec{T}\)) est la force exercée par le fil sur l'objet auquel il est attaché. Elle est dirigée le long du fil, partant de l'objet vers le point d'attache du fil.
Si l'objet est en équilibre, la première loi de Newton (principe d'inertie) stipule que la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur lui est nulle : \(\sum \vec{F} = \vec{0}\).
Données du Problème
Une masse \(m = 5.0 \text{ kg}\) est suspendue par deux fils identiques, (1) et (2). Chaque fil fait un angle \(\alpha = 30^\circ\) avec la verticale. Le système est en équilibre.
On prendra l'intensité de la pesanteur \(g = 9.8 \text{ N/kg}\).
Questions
- Faire le bilan des forces s'exerçant sur la masse \(m\). Représenter ces forces sur un schéma (sans souci d'échelle pour l'instant, mais en respectant les directions et sens approximatifs).
- Calculer la valeur du poids \(\|\vec{P}\|\) de la masse.
- Écrire la condition d'équilibre de la masse \(m\) en utilisant la première loi de Newton.
- Choisir un repère orthonormé (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) avec l'axe (Oy) vertical ascendant et l'axe (Ox) horizontal. Projeter la relation vectorielle d'équilibre sur les axes (Ox) et (Oy).
- À partir des équations de projection, exprimer la valeur de la tension \(\|\vec{T_1}\|\) (et \(\|\vec{T_2}\|\)) exercée par chaque fil en fonction de \(m\), \(g\) et \(\alpha\).
- Calculer la valeur numérique de la tension exercée par chaque fil.
- Que deviendrait la valeur de la tension si les fils étaient verticaux (\(\alpha = 0^\circ\)) ? Cette situation est-elle possible avec deux fils distincts attachés en un même point sur la masse ?
Correction : Bilan des forces sur une masse suspendue
1. Bilan des forces et Schéma
La masse \(m\) est soumise à trois forces : son poids et les tensions des deux fils.
Les forces s'exerçant sur la masse \(m\) sont :
- Le poids \(\vec{P}\) : vertical, dirigé vers le bas, appliqué au centre de gravité de la masse.
- La tension \(\vec{T_1}\) exercée par le fil (1) : dirigée le long du fil (1), du point d'attache sur la masse vers le point de suspension du fil (1).
- La tension \(\vec{T_2}\) exercée par le fil (2) : dirigée le long du fil (2), du point d'attache sur la masse vers le point de suspension du fil (2).
Le schéma est fourni dans l'énoncé.
Forces : Poids \(\vec{P}\), Tension \(\vec{T_1}\), Tension \(\vec{T_2}\).
2. Valeur du poids \(\|\vec{P}\|\)
Le poids est donné par la relation \(P = m \times g\).
Données :
\(m = 5.0 \text{ kg}\)
\(g = 9.8 \text{ N/kg}\)
La valeur du poids de la masse est \(\|\vec{P}\| = 49 \text{ N}\).
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3. Condition d'Équilibre
La masse est en équilibre, donc la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur elle est nulle (Première loi de Newton).
La condition d'équilibre est \(\vec{P} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = \vec{0}\).
4. Projection de la Condition d'Équilibre
On projette la relation vectorielle sur les axes (Ox) horizontal et (Oy) vertical ascendant. L'angle \(\alpha\) est entre chaque fil et la verticale.
Données :
Angle \(\alpha = 30^\circ\) avec la verticale pour chaque fil.
Composantes des forces :
- Poids \(\vec{P}\) : \(P_x = 0\), \(P_y = -P = -mg\)
- Tension \(\vec{T_1}\) : \(T_{1x} = -\|\vec{T_1}\| \sin(\alpha)\), \(T_{1y} = \|\vec{T_1}\| \cos(\alpha)\)
- Tension \(\vec{T_2}\) : \(T_{2x} = \|\vec{T_2}\| \sin(\alpha)\), \(T_{2y} = \|\vec{T_2}\| \cos(\alpha)\)
Projection sur (Ox) :
Projection sur (Oy) :
Équations de projection :
- Sur (Ox) : \( - \|\vec{T_1}\| \sin(\alpha) + \|\vec{T_2}\| \sin(\alpha) = 0 \)
- Sur (Oy) : \( -mg + \|\vec{T_1}\| \cos(\alpha) + \|\vec{T_2}\| \cos(\alpha) = 0 \)
5. Expression de la Tension des Fils
On résout le système d'équations obtenu par projection. Comme les fils sont identiques et les angles symétriques, on s'attend à ce que \(\|\vec{T_1}\| = \|\vec{T_2}\| = T\).
De l'équation sur (Ox) :
Si \(\sin(\alpha) \neq 0\) (ce qui est le cas pour \(\alpha = 30^\circ\)), alors :
Posons \(T = \|\vec{T_1}\| = \|\vec{T_2}\|\). Remplaçons dans l'équation sur (Oy) :
L'expression de la valeur de la tension dans chaque fil est \(T = \frac{mg}{2 \cos(\alpha)}\).
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6. Valeur Numérique de la Tension
On applique la formule trouvée avec les valeurs numériques.
Données :
\(m = 5.0 \text{ kg}\)
\(g = 9.8 \text{ N/kg}\)
\(\alpha = 30^\circ\)
On a \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\).
La valeur de la tension exercée par chaque fil est \(T \approx 28.3 \text{ N}\).
7. Cas où les Fils Sont Verticaux (\(\alpha = 0^\circ\))
Si \(\alpha = 0^\circ\), alors \(\cos(0^\circ) = 1\).
L'expression de la tension devient :
Numériquement :
Cette situation signifie que chaque fil supporterait la moitié du poids de la masse. Cela est possible si les deux fils sont parallèles et verticaux, et attachés en deux points distincts au-dessus de la masse, ou si la masse est symétrique et les fils sont attachés de manière symétrique. Si les deux fils sont attachés exactement au même point sur la masse et sont tous les deux parfaitement verticaux, ils agissent comme un seul fil supportant tout le poids, ce qui contredirait le \(\frac{mg}{2}\) à moins de considérer que la tension totale est \(mg\) et qu'elle se répartit. Dans le contexte de deux fils distincts contribuant à l'équilibre, chacun prendrait \(mg/2\).
Si \(\alpha = 0^\circ\), la tension dans chaque fil serait \(T = 24.5 \text{ N}\). Cette situation est physiquement réalisable si les deux fils sont parallèles et verticaux.
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Glossaire des Termes Clés
Force :
Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de repos d'un corps, ou de le déformer. C'est une grandeur vectorielle.
Poids (\(\vec{P}\)) :
Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet. Vertical, vers le bas, valeur \(P = mg\).
Tension d'un Fil (\(\vec{T}\)) :
Force exercée par un fil tendu sur l'objet auquel il est attaché. Dirigée le long du fil, en s'éloignant de l'objet.
Équilibre :
État d'un corps dont le mouvement ne change pas (immobile ou en mouvement rectiligne uniforme). Implique que la somme vectorielle des forces agissant sur lui est nulle.
Première Loi de Newton (Principe d'Inertie) :
Un corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)).
Projection d'un Vecteur :
Décomposition d'un vecteur selon des axes donnés. Les composantes scalaires sont obtenues en utilisant les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Que se passe-t-il si l'un des deux fils casse ? La masse restera-t-elle en équilibre ?
2. Si la masse était en train d'être soulevée à vitesse constante par les deux fils, la condition d'équilibre serait-elle toujours \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) ? Les tensions seraient-elles les mêmes ?
3. Imaginez que la masse soit suspendue par trois fils non coplanaires. Comment aborderait-on le problème pour trouver les tensions ?
4. Quelle est la tension maximale qu'un fil peut supporter avant de rompre ? Comment ce concept (appelé résistance à la rupture) interviendrait-il dans le choix des fils pour suspendre une masse donnée ?
5. Si l'angle \(\alpha\) tend vers 90° (les fils deviennent presque horizontaux), que devient la valeur de la tension \(T\) ? Est-ce physiquement réalisable de suspendre une masse avec deux fils parfaitement horizontaux ? Pourquoi ?
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